2025年高考數(shù)學熱點題型：切線問題綜合（十一類題型）含答案

2025年高考數(shù)學熱點題型：切線問題綜合」

類題型

翎線問題綜合

近5年考情（2020—2024）

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年甲卷第6題，5分

2024年新高考/卷第13題，5分

（1）求在某處的切線

2023年甲卷第8題，5分

考察導數(shù)的幾何意義，切線的

（2）設切點求過某點的切線以及公切線

相關計算求值求參

2022年/卷第15題，5分

（3）利用切線的條數(shù)求參數(shù)范圍

2021年甲卷第13題，5分

2021年/卷第7題，5分

O【熱點題型解讀（目錄）IO

【題型1】求在曲線上一點的切線

【題型2】求過某點的切線

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

【題型6】切線斜率取值范圍問題

【題型7】公切線問題

【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍

【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題

【題型10】與切線有關的參數(shù)范圍或最值問題

【題型11】牛頓迭代法

（核心題型?舉一反三）

【題型1】求在曲線上一點的切線

基礎知識1

/班=/(0)

函數(shù)y=f{x）在點A（x00，/（?o））處的切線方程為y-f（.Xo）=/，（g）（土一g）,抓住關鍵\k=f'(xo)

1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(文))曲線/(為=T+37—1在(0,—1)處的切線與坐標軸圍成的面積為

()

QX

。2

2.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理))設函數(shù)/(為=宜土駕些,則曲線y=/(x)在(0,1)處的切線與兩坐標

1+x

軸圍成的三角形的面積為()

A-f11B11C49D-f

3.已知曲線/(c)=Mnc在點(1J(1))處的切線為Z,則Z在夕軸上的截距為()

A.-2B.-1C.1D.2

4.(23-24高三?福建寧德?期末)已知函數(shù)了(乃在點，=-1處的切線方程為c+0—1=0,則r(―1)+

/(-1)=()

A.-1B.0C.1D.2

【題型2】求過某點的切線

基礎知識

【方法技巧】

設切點為P(g,坊)，則斜率k=r(g),過切點的切線方程為：g—%=/(20)3—g),

又因為切線方程過點A(a,b),所以b—塊=一費)然后解出g的值.

5.(2024.全國.模擬預測)過坐標原點作曲線/Q)=e*Q2_2c+2)的切線，則切線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.(2022年新高考全國/卷T15)曲線g=In團過坐標原點的兩條切線的方程為,.

7.已知直線夕=皈一2是曲線g=ln力的切線,則切點坐標為()

A.(p-1)B.(e,l)C.(pl)D.(0,1)

8.(2024?山西呂梁?二模)若曲線/(①)=In2在點P(g,%)處的切線過原點0(0,0),則x0=.

9.(2019?江蘇卷)在平面直角坐標系①Oy中，點［在曲線沙=In立上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(

-e,—1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點［的坐標是.

10.(23—24高三.廣東?期中)過點P(l,l)作曲線夕=/的兩條切線"，為.設小??的夾角為6,則tan。=

()I

___________F

C9

A—BCD

13-i-l3-i

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

基礎知識

已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線

的斜率;②切點在曲線上;③切點在切線上.

___________________一.一.一?一?一?一?一?一,一,一?一?一,一?一,一,一?一

11.（2024?湖北武漢?模擬預測）已知曲線/㈤=Inc+之在點（1J（1））處的切線的傾斜角為多則a的值

CLO

為.

12.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線g="—31n力的一條切線方程為g=—c+zn,則實數(shù)?n=（）

A.—2B.—1C.1D.2

13.（2024?全國?高考真題）若曲線g=e，+/在點（0,1）處的切線也是曲線g=ln（/+1）+Q的切線，則Q=

14.（23-24高三.山西晉城?期末）過原點O作曲線f（*）=ex-ax的切線，其斜率為2,則實數(shù)a=（）

A.eB.2C.e+2D.e-2

15.（2024?四川?模擬預測）已知nz>0,?i>0,直線y=—x+nz+l與曲線g=In力一n+3相切，則nz+n=

e

16.（23-24高三?安徽合肥?期末）若函數(shù)/（%）=與g（x）—1一。一b在力=1處有相同的切線,貝Ua+b=

（）

A.-1B.0C.1D.2

17.（2024.河北滄州.模擬預測）已知直線=是曲線/（力）=e，+i和g（x）—\nx+a的公切線，則實數(shù)a=

【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值

基礎知識

利用導數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

18.（23-24高三?安徽?階段練習）已知P是函數(shù)/Q）=1+/圖象上的任意一點，則點P到直線x-y-9

=0的距離的最小值是（）

A.3V2B.5C.6D.572

19.（23-24高三?廣東惠州?階段練習）已知點P在函數(shù)/Q）=+o+9的圖象上，則P到直線l：3x-y-

10=0的距離的最小值為.

20.（23-24高三?河南南陽?階段練習）點P是曲線/（⑼=H上一個動點，則點P到直線①—4+2=0的距

離的最小值是（）

A.gB—C.乎D.|

8444

21.（23-24高三?河北石家莊?階段練習）曲線夕=ln（3①—2）上的點到直線3c—夕+7=0的最短距離是

（）

A.V5B.V10C.3V5D.1

22.（23-24高三?河南?階段練習）最優(yōu)化原理是要求在目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達到

事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的最優(yōu)化問題,我們常

常需要在數(shù)學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關曲線與直線上點的距離的最值問題,請你利

用所學知識來解答:若點P是曲線"=31nx-j-x2上任意一點，則P到直線4多一29+5=0的距離的最

小值為.

23.（2024?山西朔州?模擬預測）已知力，8分別為曲線4=2夕+2和直線7=3,一3上的點，則|力引的最小

值為.

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

基礎知識

奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).

24.已知/（為為奇函數(shù)，且當比<0時，/（T）=%，其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則曲線/（乃在點（1J（1））處

的切線方程為.

25.（2024.福建福州.模擬預測）已知函數(shù)/（6）是偶函數(shù)，當①>0時，/（力）=d+2c,則曲線0=/（2；）在￡=

—1處的切線方程為（）

A.y=—5x—2B.y=—5x—8C.y=5x+2D.y=5x+8

26.（2024.湖北.一模）已知函數(shù)/⑺為偶函數(shù)，其圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為2—24+1=0,記/⑸

的導函數(shù)為ro），則r（—1）=（）

A.—B.C.-2D.2

27.已知/（乃是奇函數(shù)，當2<0時，/（乃=產(chǎn)［則函數(shù)/（為的圖象在力=1處的切線方程為（）

x-\-2

A.2x—y+l=QB.x—2y+l=QC.2x—y—l=QD./+2g—1=0

28.（23-24高三?河南洛陽?期末）已知函數(shù)gQ）為奇函數(shù)，其圖象在點（Q,g（a））處的切線方程為22—g+

1=。,記gO）的導函數(shù)為g，O）,則g，（一Q）=（）

A.2B.-2C.JD.—

29.（2024.山東濟寧.三模）已知函數(shù)/（力）為偶函數(shù)，當力V0時，于（x）=ln（—x）+砂,則曲線y=/（力）在點（1,

/（1））處的切線方程是（）

A.3x—y—2=0B.3%+g—2=0C.3力+g+2=0D.3x—y+2=0

30.（2024?海南?？?二模）已知函數(shù)/（為的定義域為R,f（x+l）是偶函數(shù)，當x<J時，f（x）=ln（l-2x）,

則曲線"=/（乃在點（2J（2））處的切線斜率為（）

99

A.4B.-4C.2D.-2

55

31.（23-24高三?廣東深圳?期中）已知函數(shù)/⑸=與偶函數(shù)g（x）在交點（l,g⑴）處的切線相同，則函

數(shù)gQ）在力=—1處的切線方程為（）

A.ex—y+e=0B.ex+y—e—QC.ex—y—e=0D.ex+y+e=0

【題型6】切線斜率取值篦國問題

基礎知識

利用導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.

一般地，直線的斜率與傾斜角的關系是:直線都有傾斜角，但不一定都有斜率

32.點P在曲線片^一日靠上移動，設點p處切線的傾斜角為明則角&的范圍是（）

O

A［嶺］B.居，］C.兀）D.［0,f）U產(chǎn),兀）

33.（2021?河南洛陽?二模）已知點P在曲線9=上移動，設點p處切線的傾斜角為則角a的取值范

圍是.

34.過函數(shù)/Q）=5e2，—力圖像上一個動點作函數(shù)的切線,則切線傾斜角范圍為（）

A」。，）B.[OA）U（^）-D?信，苧）

35.（22-23高三?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習）點P在曲線“=/—手①+X上移動,設點p處切線的傾斜角為

O4

則角a的范圍是（）

【題型7】公切線問題

基礎知識1

公切線問題應根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關切點橫坐標

的方程組，通過解方程組進行求解.

公切線問題主要有以下3類題型

（1）求2個圖敦的公切線

解題方法:設2個切點坐標，利用切線斜率相同得到3個相等的式子，聯(lián)立求解

（2）2個函數(shù)存在公切線,求參數(shù)篦國

解題方法：設2個切點坐標，列出斜率方程,再轉(zhuǎn)化為方程有解問題

（3）已知兩個晶數(shù)之間公切線條數(shù)，求步數(shù)篦國

解題方法：設2個切點坐標，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題

?2

36.（浙江紹興二模T15）與曲線夕=4和"=—亍都相切的直線方程為.

37.（2024.廣東茂名.一模）曲線y=hKC與曲線0=22+2ac有公切線,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（一co,—；]B,[-p+co）C.D.",+co）

38.（2024?福建泉州?模擬預測）若曲線"=療與0=加%￡￥0）恰有兩條公切線，則力的取值范圍為（）

A.（0,宏）B.（3+CO）,

C.（―oo,0）U（弓,+oo）D.（—oo,0）U

___________F

39.(23—24高三.江西吉安?期末)函數(shù)/(GuZ+lnrr與函數(shù)9(力)=1公切線的斜率為()

A.1B.±eC.1或eD.1或e?

40.已知直線y=are+b(aC_R,b>0)是曲線/(2)=e"與曲線g(rr)=Inrr+2的公切線，則a+b的值為

41.已知直線Z與曲線G：u="和02：9=—工均相切，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.

X------

42.已知函數(shù)/(2)=mx+lnx,g(x)=/—nzc,若曲線g=/(為)與曲線g=g(力)存在公切線，則實數(shù)?n的

最大值為.

43.(2024?湖南長沙?三模)斜率為1的直線，與曲線夕=InQ+a)和圓d+，=］都相切，則實數(shù)a的值為

()

A.0或2B.-2或2C.—1或0D.0或1

44.(長沙雅禮中學月考(六))已知函數(shù)/(1)=21nrr,g(x)=a/—①—,若直線夕=—b與函數(shù),

=/(*)，y=g(x)的圖象均相切，則a的值為；若總存在直線與函數(shù)夕=/(力)，y=g(x)圖象均相

切，則a的取值范圍是

【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)篦國

基礎知識

設切點為P(0?！?)，則斜率k=r(g),過切點的切線方程為：y—yo=r(g)(①―0),

又因為切線方程過點A(a,b)，所以6—yo—f'(xo)(a—g)然后解出&)的值，有多少個解對應有多少條切線.

45.(2022年新高考全國/卷數(shù)學真題)若曲線夕=Q+a)e，有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是

46.(2024?河南信陽?模擬預測)若過點(1,a)僅可作曲線夕=21的兩條切線，則a的取值范圍是.

47.(2024屆廣東省六校高三第一次聯(lián)考T8)已知函數(shù)/(工)=—/+2/—①若過點。(1,力)可作曲線,=

f(x)的三條切線，則t的取值范圍是

48.(23-24高三?湖北武漢?階段練習)已知過點A(a,0)可以作曲線夕=(,—l)e。的兩條切線，則實數(shù)a的

取值范圍是()

A.(1,+co)B.(—00,—e)U(2,+co)

C.(—oo,—2)U(2,+oo)D.(—oo,—3)U(1,+oo)

49.(2024屆?廣州中山大學附屬中學?？?過點(3,0)作曲線/(力)==葭的兩條切線，切點分別為

(如f(g)),(%f(g))，則g+工2=()

A.-3B.-V3C.V3D.3

50.（2024.寧夏銀川?二模）已知點不在函數(shù)/（t）=a?—3mx的圖象上，且過點P僅有一條直線與

/Q）的圖象相切，則實數(shù)小的取值范圍為（）

A-（°4）UC）B.（―8,0）U+00）

c-（°'j）U（T+°°）D-u（y>+°°）

51.（2024?內(nèi)蒙古?三模）若過點（a,2）可以作曲線u=lnt的兩條切線，則a的取值范圍為（）

A.（-<?,e2）B.（—8,ln2）C.（O,e2）D.（0,ln2）

52.已知點A在直線ic=2上運動，若過點A恰有三條不同的直線與曲線y=/一①相切，則點人的軌跡長

度為（）

A.2B.4C.6D.8

53.若曲線/（c）有三條過點（0,a）的切線，則實數(shù)a的取值范圍為（

e

A.（0,5）B.（0號）C.（oA）

54.若過點（a,b）可以作曲線沙=ln①的兩條切線，則（）

6

A.e>0>aB.Ina>0>feC.心>Q>0D.Ina>b>0

55.（2024高三.遼寧本溪?期中）若過點（1,匕）可以作曲線沙=111（力+1）的兩條切線,則（）

A.In2<b<2B.b>ln2C.0<6<ln2D.fe>1

【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題

基礎知識

利用導數(shù)的幾何意義進行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為一1.

56.（2024?河北邢臺?二模）已知函數(shù)/（力）=x2+2lnx的圖像在4g,/（g））,B（x,7（a:））兩個不同點處的切

22?

線相互平行，則下面等式可能成立的是()

A.電+/2=2B.0+32=￥C./逆2=2D./便2=當

OO

57.已知函數(shù)/(c)=(a—3)T3+(a-2)?2+(a—l)x+a若對任意如CA,曲線g=/Q)在點(g,/(g))和

(—&,/(—g))處的切線互相平行或重合，則實數(shù)&=()

A.0B.1C.2D.3

58.(2024.遼寧.二模)已知函數(shù)％=X卷的圖象與函數(shù)"2=a"(a>0且aWl)的圖象在公共點處有相同的切

線，則a=，切線方程為.

59.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/⑸=Q+ay+In①的圖象上存在不同的兩點48,使得曲線y=f(x)

在點A,B處的切線都與直線2：+2u=0垂直,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—oo,1-B.(1一V2,0)C.(—℃>,1+A/2^)D.(0,1+A/2^)

60.(23—24高三?遼寧?階段練習)已知函數(shù)/(C)=①(小一4),曲線y=/Q)上存在不同的兩點，使得曲線在

這兩點處的切線都與直線0=①平行，則實數(shù)山的取值范圍是()

A.(1—e)1)B.(—1—e2,—1)C.(—e2,0)D.(1—e)+8)

61.(2024.河南.三模)已知函數(shù)/3)=](：+專戶收>0,點在曲線y=/(c)上(A在第一象限)，過4

B的切線相互平行,且分別交沙軸于P,Q兩點,則工的最小值為.

62.(2024.北京朝陽.一模)已知函數(shù)/(乃=]sin2c.若曲線0=/(為在點人⑶力儂))處的切線與其在點

/(g))處的切線相互垂直，則?—g的一個取值為.

【題型10】與切線有關的參數(shù)范圍或最值問題

基礎知識

利用導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而求出相關式子的取值范圍.

63.(2024.全國.模擬預測)若直線y=2x—b與曲線/(①)=e2x—2ax(a>—1)相切,則b的最小值為()

A.-eB.-2C.-1D.0

64.(2024?重慶?模擬預測)已知直線J=Q6+b與曲線g=e，相切于點(如一的儲若電)^(―8,3),則a+b的

取值范圍為()

A.(—oo,e]B.(—e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

65.(2024.廣東廣州.模擬預測)已知直線夕=+6恒在曲線y=lnQ+2)的上方，則與的取值范圍是

()

A.(l,+oo)B.([,+8)C.(0,+oo)D.4,+oo)

66.已知直線夕=for+b與函數(shù)/(a?)=-^-x2+Ina?的圖象相切,則k—b的最小值為.

67.對給定的實數(shù)b,總存在兩個實數(shù)a,使直線夕=加—b與曲線y=\n(x-b)相切，則b的取值范圍為

【題型11】牛頓迭代法

基礎知識

數(shù)形結合處理

68.(23-24高三.河南鄭州?期中)“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高次

方程的根.如圖，r是函數(shù)/(為的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實數(shù)3,亞,

22'…,劣'其中g是/(2)在2=割處的切線與立軸交點的橫坐標，22是/(])在土=g處的切線與X軸

交點的橫坐標，…，依次類推.當成-刊足夠小時，就可以把4的值作為方程/3)=0的近似解.若

69.(2024.山東濰坊.三模)牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程”為=0的根就是函數(shù)

f(x)的零點r,取初始值如/(為的圖象在點(gj(g))處的切線與立軸的交點的橫坐標為如/(為的圖

象在點(處/⑶))處的切線與2軸的交點的橫坐標為電,一直繼續(xù)下去，得到處亞，???它們越來越接

近7?設函數(shù)/(乃=/+所，而=2,用牛頓迭代法得到為=魯，則實數(shù)6=()

_______________________________~

L7L

19Q

A.1B.卷C.D.-^

ZJ4

70.牛頓迭代法是求方程近似解的另一種方法.如圖，方程/（0=0的根就是函數(shù)/Q）的零點,，取初始值

g，/（/）的圖象在橫坐標為g的點處的切線與力軸的交點的橫坐標為。，于（x）的圖象在橫坐標為新的

點處的切線與力軸的交點的橫坐標為C2,一直繼續(xù)下去，得到二1，/2,…，叫，它們越來越接近/.若/（力）

=啰2—2Q>0）,g=2,則用牛頓法得到的『的近似值g約為（）

A.1.438B.1.417C.1.416D.1.375

71.（2023?湖北咸寧?模擬預測）英國數(shù)學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Ne以加-

Raphsonme譏od譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設度是/（力）=0的根，選取g作為r的初始近似值,

過點（g，/（g））作曲線g=/（c）的切線I-g—/（g）=（（須））（力一g）,則I與力軸交點的橫坐標為g=g

-婁4（/'（g）￥0），稱的是r的一次近似值；重復以上過程，得r的近似值序列，其中為+1=%—

/（g）

變4（尸（彩）W0）,稱為+1是r的n+1次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點大

f（xn）

小，則函數(shù)=Imr+①—3的零點一次近似值為（）（精確到小數(shù)點后3位,參考數(shù)據(jù)：ln2=

0.693）

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

72.（多選）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法--牛頓法.具體做法如下：如

圖，設r是/（尤）=0的根，首先選取x0作為r的初始近似值，在①=g處作/（土）圖象的切線,切線與t軸

的交點橫坐標記作◎，稱g是r的一次近似值，然后用X1替代x0重復上面的過程可得g,稱芯是「的二

次近似值;一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)如如如-,xn,…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當

x^x^nEN*）近似值相等時，該值即作為函數(shù)/（，）的一個零點r,若使用牛頓法求方程d=3的近似

口fM/(g)/(g)/(g)

A.若初始近似值為1,則一次近似值為3

f'go)/'(0)/'(電)/'(%)

D.任意TieN*,4+1=]g+產(chǎn)一(吃力0)

C.對任意neN*,21rl<4+1

/zxn

___________F

翎線問題綜合

近5年考情(2020—2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年甲卷第6題，5分

2024年新高考/卷第13題，5分

（1）求在某處的切線

2023年甲卷第8題，5分

考察導數(shù)的幾何意義，切線的

（2）設切點求過某點的切線以及公切線

相關計算求值求參

2022年/卷第15題，5分

（3）利用切線的條數(shù)求參數(shù)范圍

2021年甲卷第13題，5分

2021年/卷第7題，5分

C熱點題型解讀（目錄））

【題型1】求在曲線上一點的切線

【題型2】求過某點的切線

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

【題型6】切線斜率取值范圍問題

【題型7】公切線問題

【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍

【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題

【題型10】與切線有關的參數(shù)范圍或最值問題

【題型11】牛頓迭代法

核心題型?舉一反三］O

【題型1】求在曲線上一點的切線

基礎知識

/班=/(0)

函數(shù)y=f{x）在點A（x00，/（?o））處的切線方程為y-f（.Xo）=/，（g）（土一g）,抓住關鍵\k=f'(xo)

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文））曲線/（力）=T+3%—1在（0,—1）處的切線與坐標軸圍成的面積為

【答案】4

【解析】/'（劣）=6a;5+3,所以/'（0）=3,故切線方程為y=3（力一0）—1=36一1,

故切線的橫截距為《，縱截距為一1,故切線與坐標軸圍成的面積為上x1x=

3236

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理））設函數(shù)/（乃=宜土至手,則曲線y=f（x）在（0,1）處的切線與兩坐標

軸圍成的三角形的面積為（）

A-f11B-11C-19D-f

【答案】A

、（e"+2cosc）（l+a?）—（eH+2sinc）-2。

【斛析】/⑸=-------------E--------------，

（e°+2cos0）（l+0）—（e°+2sin0）x。=g

'“廣（i+o）2—'

即該切線方程為g—1=3/，即g=3力+1,

令力=0,則g=1,令g=0,則力=—~\,

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=4xlxI—=《.

21316

3.已知曲線/⑸在點（1J⑴）處的切線為/，貝卜在g軸上的截距為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/（力）=/In力得/（力）=ln6+1,所以直線I的斜率卜二/（1）=1,

又f（l）=0,所以直線I的方程為g=c—1,令力=0,得g=—1，即Z在g軸上的截距為一1.

4.（23-24高三?福建寧德?期末）已知函數(shù)在點名=—1處的切線方程為c+g—1=0,則/（—1）+

/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】。

【分析】由切線的幾何意義得r（—i）,將力=—i代入切線方程得了（—1）,從而得解.

【詳解】由切線方程力+g—1=0,得廣（-1）=k=—1,

將力=—1代入切線方程力+g—1=0,得g=2,所以『（一1）=2,

則7（T）+/（T）=T+2=1.

【題型2】求過某點的切線

基礎知識

_____________眇

【方法技巧】

設切點為P（g,jo）,則斜率k=r（g）,過切點的切線方程為：g—%=/（須））3—須））,

又因為切線方程過點A（a,6），所以b—%=一四））然后解出x0的值.

5.（2024.全國.模擬預測）過坐標原點作曲線/（力）=^（/—2/+2）的切線，則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】A

【分析】利用導數(shù)求出斜率，結合斜率公式列方程求出切點坐標即可得解.

【詳解】設切點為（g,e”。（舄—2g+2））,

由/（劣）=e3"（62—2力+2）可得（力）=x^ex,

則過坐標原點的切線的斜率k=屋（就―23+2）=曷曖，

60

故XQ—XQ+2（g—1）=0,即（g—1）（a?o+2）=0,

解得g=1,故過坐標原點的切線共有1條.

6.（2022年新高考全國/卷T15）曲線g=ln|/|過坐標原點的兩條切線的方程為,.

［答案］y——xy=---x

ee

【分析】分力＞0和/V0兩種情況，當力＞0時設切點為（g,lng），求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，

從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出即可求出切線方程，當力V0時同理可得；

【詳解】［方法一］:化為分段函數(shù),分段求

分力＞0和力V0兩種情況，當力＞0時設切點為（g,lng）,求出函數(shù)不導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表

示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出g,即可求出切線方程，當力V0時同理可得；

解：因為y=ln|力

當力＞0時g=In6,設切點為（g,lng），由式=工，所以式|『0=所以切線方程為y—inx0=—（X—XQ）,

XXQXQ

又切線過坐標原點，所以一g），解得g=e，所以切線方程為g—1=—（T—e）,即y——x\

x0ee

f

當力VO時。=hi（—i），設切點為，由式=1■，所以y\x=X1='，所以切線方程為y—ln（—0）=

—（T-Xi）,

又切線過坐標原點，所以一ln（—/J=—（—Xi）,解得出=—e，所以切線方程為y—1=」一（力+e）,即g二

X\-e

---x;故答案為：y=-x;y——--x

eee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結合

當力＞0時g=In力，設切點為（g,111g），由式=工，所以y'\x=XQ—」-，所以切線方程為y—lng=」■（6一g）,

XUyQ/0

又切線過坐標原點，所以一Ing=」-（—g），解得g=e，所以切線方程為y—l=—（a;—e）,即y=-x;

XQee

因為g=是偶函數(shù)，圖象為：

所以當a?<0時的切線，只需找到y(tǒng)=-x關于g軸的對稱直線y=—―x即可.

ee

7.已知直線g=e/—2是曲線g=ln/的切線，則切點坐標為（）

A.（p-1）B.（e,l）C.（pl）D.（0,1）

【答案】A

【分析】設切點坐標為（&In。，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，對比系數(shù)即可求出切點坐標.

【詳解】設切點坐標為（力In。，因為（111力丫=工,所以在點（力,1]1力）處切線的斜率為《，

xt

所以曲線g=In/在點（力,In力）處的切線方程為y—Int=十（力一力），

Ifl=61

即g—Int=一x—1,所以〈方,解得t=一,

t[-2=lnt-le

所以切點為（',一1）.

8.（2024.山西呂梁.二模）若曲線/（①）=In/在點P（g,g（））處的切線過原點0（0,0）,則須）=,

【答案】e

【分析】求導，根據(jù)點斜式求解直線方程，即可代入0（0,0）求解.

【詳解】因為力）=111%，所以/'（力）=—,

x

所以/（力）在點P（g,g（））處的切線方程為y—lnx=—（x—xo）.

og

又切線過原點0（0,0）,則一lng=—1,所以x^—e.

9.（2019?江蘇卷）在平面直角坐標系力。4中，點力在曲線g=In/上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（

-e,—1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.

【答案】（e,l）.

【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.

【詳解】設點A（g，Uo）,則伙）=lng.又y'=）,

當力=g時，y,

力。

點A在曲線g=In力上的切線為y—y0=—（T—G）,

g

即g_1ng=--1,

g

代入點（一e,—1）,得一1一Ing——--1,

力o

即XQIUXO=e,

考查函數(shù)HQ)=x\nx,當力e(0,1)時，H⑸VO,當力e(1,+oo)時，H(x)>0,

且H\x)=Inc+1,當力>1時，dQ)>0,HQ)單調(diào)遞增，

注意到H(e)=e，故/olng=e存在唯一的實數(shù)根g=e，此時隊=1,

故點A的坐標為A(e,l).

10.(23—24高三?廣東?期中)過點尸(1,1)作曲線沙=/3的兩條切線人,1.設小。的夾角為。，則tan9=

()

9

A—B?擊D

13,13-i

【答案】。

【分析】求出兩條切線的斜率，由兩直線的夾角公式求得夾角的正切值.

【詳解】兩條切線Z1,，2的傾斜角分別為。1,。2,

根據(jù)題意，yr=3rc2,

若點P是切點時，切線斜率為自=3,

若點Q(g,jo)是切點(點RQ不重合)，則式=3總

由3鬲=著'解得g=一三(3=1舍去)，

3--5-

tan0i—tan0J49

則tan。=|tan（夕1—。2）|=2

13,

1+tan01tan02l+3x1

【題型3】已知切微舒率求參數(shù)

基礎知識1

已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線

的斜率;②切點在曲線上;③切點在切線上.

11.(2024?湖北武漢?模擬預測)已知曲線/⑺=Imc+尤在點(1J(1))處的切線的傾斜角為多則a的值

CLo

為.

【答案】6+1

［分析］對原函數(shù)進行求導,2=1代入得出切線斜率.曲線f(X)在2=1處的切線傾斜角為手可得出斜率.構

造關于a的方程，解方程即可.

【詳解】曲線/⑸=Inc+式的導數(shù)r