2024年中考數(shù)學(xué)壓軸突破幾何中的折疊題型匯編（含答案解析）

幾何中妁折費(fèi)冏薇

，題目切如圖,在菱形ABCD中，AD=5,tanB=2,E是AB上一點(diǎn)，將菱形ABCD沿。E折疊，使B、C的

對應(yīng)點(diǎn)分別是當(dāng)/BEF=90°時(shí)，則點(diǎn)。'到的距離是（）

BBCC

A.5+V5B.2V5+2C.6D.375

【答案】D

【分析】過。作CH±AD于〃，過。'作C'F±AD于F,由菱形性質(zhì)和正切定義求出HC=275,

再由折疊證明ABED=NPED=135°,得到AEDC=2EDC'=45°,從而得到△CHD篤4DFC',則C'F=

則問題可解.

【詳解】解:過。作S_L4D于H,過。'作C'F_L4D于F,

由已知，AD—5,tanB=2,

設(shè)HD=①，則HC—2x,

：.在Rt^HDC中，HC2+HD2=CD2,

(24+/=52,

解得x—V5,

:.HD=A,HC=2瓜

由折疊可知，ABED=ABED,AEDC=4EDC',CD=C'D

；2BEB=90°,

AABED=AB'ED=135°,

?：AB//DC,

：.ZEDC=180°-ABED=45°,

ZEDC=4EDC'=45°

2CDC=90°

?.?/CHD=/CAD=90°,

：.ZCDH+C'DF=9Q°,

?：^CDH+AHCD^90°,

：.2C'DF=ZHCD,

：.ACHD^^DFC,

：.C'F=HD=V5,

.?.點(diǎn)C到BC的距離是C'F+CH=右+2V5=3V5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、圖形的折疊以及正切定義的應(yīng)用，解答關(guān)鍵是根

據(jù)折疊的條件推出ABED=/BED=135°.

遮目區(qū)如圖，將△4BC折疊,使力。邊落在AB邊上,展開后得到折痕I與BC交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P到AB的距

離為3cm,點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為()

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm

【答案】。

【分析】由折疊可得：PA為乙民4。的角平分線，根據(jù)垂線段最短即可解答.

【詳解】解：?.?將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，

PA為ABAC的角平分線，

?.?點(diǎn)Q為AC上任意一點(diǎn)，

PQ的最小值等于點(diǎn)P到AB的距離3cm.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識點(diǎn)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等

是解答本題的關(guān)鍵.

題目①如圖，在OABCD中，6。=8,48=人。=4，^,點(diǎn)石為07邊上一點(diǎn)，8￡；=6,點(diǎn)干是48邊上的動

點(diǎn)，將ABEF沿直線EF折疊得到△GEF，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,連接OE,有下列4個(gè)結(jié)論:①tanB=2；②

DE=10；③當(dāng)GE，BC時(shí)，EF=3疙；④若點(diǎn)G恰好落在線段DE上時(shí)，則%=其中正確的是

()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

MS

【答案】。

【分析】過點(diǎn)A作AH_LBC于點(diǎn)H,利用三線和一以及正切的定義，求出tanB,即可判斷①;過點(diǎn)D作DK

_L于點(diǎn)K,利用勾股定理求出DE,判斷②；過點(diǎn)F作FM工BC于點(diǎn)證明AEMF為等腰直角三角

形，設(shè)EAf=FM=a;,三角函數(shù)求出BA1的長，利用=求出z的值，進(jìn)而求出EF的長，判斷

③;證明LAND?ACNE，推出4ENC=NECN，根據(jù)折疊的性質(zhì)，推出EF〃CA,利用平行線分線段成比

例，即可得出結(jié)論，判斷④.

【詳解】解:①過點(diǎn)A作Af/工于點(diǎn)H,

?：BC=8,AB=>1(7=475,

：.BH=^-BC=4,

：.AH=^AB2-BH2=8,

tanB==2;故①正確；

1JDHq

②過點(diǎn)。作。K_LBC于點(diǎn)K,則：四邊形4HKD為矩形,

??.DK=AH=8,HK=AD=BC=8,

???BE=6,

:.CE=2,

?；CH=WBC=4,

??.CK=4,

:?EK=CE+CK=6,

??.DE=YEH+DK?=10；故②正確；

③過點(diǎn)F作FM_LBC于點(diǎn)、M,

?：GE_LBC,

：./BEG=90°,

,/翻折，

???/BEF=/GEF=45°,

：.NEFM=ABEF=45°,

：.EM=FM,

設(shè)EM=FM=oc,

.??tanB=譙=2,

：.BE—BM+EM=-^-x+2=6,

?，?力=4,

；.EM=FM=4,

：.EF=V2EM=4V2;故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段OE上時(shí)，如圖：設(shè)入。與DE交于點(diǎn)N,

???OABCD,

??.AD//BC,

???/\AND?4CNE,

EN=CE=2=\

D7V-AD--8

EN_1

~DE~~59

:,EN=+DE=2=CE,

5

???4ENC=NECN,

：.ABEN=ZENC+/ECN=24ECN,

,/翻折，

??.ZBEN=2ZBEFf

：.ZBEF=AECN,

：.EF//AC,

綜上：正確的是①②④；

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的折疊問題，同時(shí)考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，勾股定理.本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，是中考常見的壓軸題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，添加合適

的輔助線，構(gòu)造特殊三角形，是解題的關(guān)鍵.

面目④如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。是。O上一點(diǎn)，將劣弧BC沿弦3。折疊交直徑AB于點(diǎn)。，連接CD,

若乙4BC=a(0°VaV45°),則下列式子正確的是()

A.sin(7=——-B.sin(2=――-C.cos(7=D.cosdf=——-

ABABJDL)

【答案】B

【分析】連AC,由AB是。。的直徑，可知AACB=90°,由折疊，念和①所在的圓為等圓，可推得=

CD,再利用正弦定義求解即可.

【詳解】解:連AC,

?/AB是的直徑,

乙4cB=90°,

MS

由折疊，AC和CD所在的圓為等圓，

又；NCBD=NABC,

：,念和歷所對的圓周角相等，

:.AC=CD,

：.AC=CD,

在Rt/\ACB中，

.ACCD

sma=---=——,

ABAB

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及正弦、余弦定義，解答關(guān)鍵是通過折疊找到公

共的圓周角推出等弦.

[題目區(qū)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，OA在，軸正半軸上，在y軸正半軸上，以。4OC為邊構(gòu)造矩形

OABC,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,6),。,E分別為。4,BC的中點(diǎn)，將AABE沿4E折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落

在CD上，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為()

4(普畏B.(f1)C.(f>)D.f20

'13'13，

【答案】A

【分析】先求得直線CD的解析式，過點(diǎn)F作FM±CE于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN±。。于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)

|-m+6),在RtLEMF中，再利用勾股定理得到關(guān)于小的方程,解方程即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,6),四邊形。43。是矩形，。，石分別為Q4,BC的中點(diǎn)，

.?.0(0,6),0(4,0),E(4,6),

由折疊的性質(zhì)可得：EF=BE=4,

設(shè)直線CD的解析式為沙=皿+仇

則(6=6

、」14%+6=0'

解得：2,

[b=6

直線CD的解析式為9=一壇+6,

過點(diǎn)F作FM_LCE于點(diǎn)、M■，過點(diǎn)F作FN±OC于點(diǎn)、N,

MS

設(shè)點(diǎn)―^-m+6),

則MF—CN=6—(—+6)=EM—4—m,

在Rt^EMF中，EM2+MF2=EF2,

???(4-m)2+(ym)2=42,

解得：?n=等或M=0(不合題意，舍去)，

io

出32升332..30

當(dāng)…近時(shí)，。=—/v而+6=育

.??點(diǎn)歹的坐標(biāo)為(管,普)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與幾何綜合題，考查了求一次函數(shù)解析式，勾股定理，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，中點(diǎn)

的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

題目回綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以矩形紙片的折疊為主題開展數(shù)學(xué)活動.如圖，將矩形紙片

ABCD對折,折痕為EF,再把點(diǎn)A折疊在折痕EF上，其對應(yīng)點(diǎn)為A,折痕為DP,連接若AB=2,BC

=通，則tan/ABF的值為（）

【答案】A

【分析】先證明EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=吟,ADEA=90°,ZAFB=90°,人。=4。=四，可

得HE=VAD2-DE2=—,AF=2-■|=。,再利用正切的定義求解即可.

【詳解】解：?.?矩形紙片ABCD對折,折痕為EF,4B=2,8。=通，

:.EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=號,ADEA^90°,ZAFB=90°,

由折疊可得：AD=AD=V3,

：.AE=y/AD2-DE2=-1-,

.?0=2-=

MS

~2~

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，熟記軸對稱的性質(zhì)是

解本題的關(guān)鍵.

趣目17〕如圖，矩形4BCD中，AB=2,BC=3,P是邊中點(diǎn),將頂點(diǎn)。折疊至線段4P上一點(diǎn)D,折痕為

EF,此時(shí)，點(diǎn)。折疊至點(diǎn)C.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.COSZBAP=4B.當(dāng)=?時(shí)，DE_LAP

53

C.當(dāng)AB=18—6，K時(shí)，△AZ7E是等腰三角形D.sin/D4P=§

5

【答案】。

［分析］根據(jù)矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，折疊的性質(zhì)計(jì)算判斷即可.

【詳解】：矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是邊BC中點(diǎn),

：.BP=^-BC=^-,ZB=90°,

AP=^AB2+BP'2=^22+(-1)2=-1,

：.cosZBAF=4?=4-=4-

APA5

2

故A正確；

?.?矩形ABCD,

：.AD//BC,

：.NDAP=NAPB,

：.sinADAP=sinZAFB=cosZBAP=二,

5

故D正確；

設(shè)DE=DE=a:,

根據(jù)題意，得AE=AO—OE=3—msin/OAP=g,

5

?：DfE±AP,

解得力二今，

0

：.AE=AD-DE=3-x=^-,

o

故3正確；

當(dāng)=時(shí)，

設(shè)OE=D'E=2,根據(jù)題意，得AE=AD—DE=3-①,MS

J.X—6—X,

解得

此時(shí)。',4重合，三角形不存在，不符合題意；

當(dāng)=時(shí)，過點(diǎn)。'作iyN_LA。于點(diǎn)N,

則AN=NE;

??,矩形ABCD,

??.AD//BC,

???/DAP=/APB,

3

-

2

cosZDAF=cosZAFB5

-

2

設(shè)。石=。'石=力，根據(jù)題意，得4E；=AD—0E=3—力，。'石=AD'=c,

.AN=AN=3

Aor-^r-T,

解得AN=yrx;

5

AE=AD—DE=3—T=2AN=§力,

5

解得/=*；

.6_15_18.

“一5X11-11,

當(dāng)AB=AD'時(shí)，過點(diǎn)。'作。'H_LAD于點(diǎn)H,

設(shè)。E=￡>'E=①，根據(jù)題意，得4E=AD'=AD—DE=3—H,

：.LfH=AiysinZDAP=-^(3—x),AH=ALfcosADAP=-1-(3—z),

00

HE—AE—AH—(3-x)—^-(3-x)—-~-(3-x),

00

根據(jù)勾股定理,得HE2+D'H2=D^E2,

，［卷(3-?)T+弓(3-2)丫=X2

解得x=6V5—12;

AE=3—力=15—6V5;

綜上所述，40=15-6，^或4&=*，

故。錯(cuò)誤，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù),

勾股定理,矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

〔題目可如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)。為圓心，點(diǎn)。是弧上的一點(diǎn),沿CB為折痕折疊自己交AB于點(diǎn)、M,

連接CM,若點(diǎn)河為AB的黃金分割點(diǎn)則sin/BCM的值為（）

???

追_1逐+1

A.B.D

22-f

【答案】A

【分析】過點(diǎn)_M'作MD±CB,垂足為。，延長MD交半。O于點(diǎn),連接CM',BM',根據(jù)折疊的性質(zhì)可得:

ACMB=ACM'B,BC±MM'，從而可得ABDM=90°,再根據(jù)黃金分割的定義可得芻譬="二上,然后

AB2

利用直徑所對的圓周角是直角可得/力CB=90°,從而證明A字模型相似三角形?△CR4,進(jìn)而利

用相似三角形的性質(zhì)可得第=察=41，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)以及平角定義定義可

得：=從而可得CA=CM,再在①△CDM中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)"作MO_LCB,垂足為。，延長交半。。于點(diǎn)M7,連接W,BMr,

由折疊得：ACMB=ACMfB,BC_LMMf,

：.ZBDM=90°,

???點(diǎn)河為AB的黃金分割點(diǎn)(BM>AM),

.BMV5-1

9，~AB~2'

???AB為半圓O的直徑，

???乙4cB=90°,

???/ACB=/MDB,

???/DBM=/CBA,

???/\DBM?/\CBA,

.DM=BM_=V5-1

**AC~~AB~2'

???四邊形ACMrB是半。。的內(nèi)接四邊形,

：.ZA+ZCM^B=180°,

???ZAMC+ZC7WB=180°,ZCMB=/CMB

：.ZA=ZAMC,

：.CA=CM,

在Rt/XCDM中，sinZBCM=察《=耳譬=當(dāng)」.

dVLN

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，解直角三角形，翻折變換(折疊問題)，圓周角定理,

根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

［題目回如圖，將一張矩形紙片ABCD折疊,折痕為EF,折疊后，EC的對應(yīng)邊EH經(jīng)過點(diǎn)4co的對應(yīng)邊

HG交BA的延長線于點(diǎn)P.若PA=PG,AH=BE,CD=3,則的長為.

MS

G

R.

BEC

[^<]4V3

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.連接PF,設(shè)BC=2H,AH=BE

=a，證明Rt/\PAF咨Rt^PGF(地)，求得凡4=FG=FD=cc,由折疊的性質(zhì)求得BE=,在RtAABE

中，利用勾股定理列式計(jì)算，即可求解.

【詳解】解:連接PF,設(shè)8。=2%，AH=BE=a,

由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)知FG=FD,ZG=ZFAP=90°,AB=CD=3,AD=BC,

,:PA=PG,PF=PF,

：.RtAPAFTRt/\PGF(HL),

：.FA=FG=FD=^-AD=^-BC=xf

由矩形的性質(zhì)知：AD//BC

???4AFE=/FEC,

折疊的性質(zhì)知：4FEA=4FEC,

：./.FEA=/AFE,

：.AE=FA=x,

由折疊的性質(zhì)知石O=E"=A￡；+4H=%+Q,

BC=BE+EC=a+x-\-a=2x,

ii

a=—x,即BE=—x,

在Rt/\ABE中，AB2+BE2^AE2,即32+(ya;)2=x2,

解得/=2A/3,

BC=2x=4V3,

故答案為：4四

【題目皿如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,“為AD的中點(diǎn)，N為6。邊上一動點(diǎn)，把矩形沿MN折

疊，點(diǎn)4B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,8,連接AAr并延長交射線CD于點(diǎn)P,交MN于點(diǎn)、。，當(dāng)N恰好運(yùn)動到BC

的三等分點(diǎn)處時(shí)，CP的長為.

MS

4

-

-

-口

-

-

-

--

8

A

B'

5

】1或

【答案

=

當(dāng)BN

形；②

為矩

BNG

邊形A

,則四

點(diǎn)G

0于

G_L4

N作N

過點(diǎn)

N時(shí).

=2B

當(dāng)CN

況:①

種情

】分兩

【分析

1.再

G=

M-A

M=A

質(zhì)得G

的性

矩形

,根據(jù)

矩形

NG為

形AB

四邊

G,則

于點(diǎn)

±AD

作NG

點(diǎn)N

時(shí)，過

2cN

答案.

質(zhì)可得

定與性

形的判

似三角

根據(jù)相

°,然后

^90

AOM

可得A

性質(zhì)

疊的

由折

晌.

2BN

CN=

①當(dāng)

】解:

【詳解

形，

為矩

BNG

邊形A

則四

點(diǎn)G,

AD于

G±

N作N

，過點(diǎn)

如圖1

2.

=BN=

,AG

B=3

=A

:.NG

點(diǎn)，

的中

為AD

■：M

3,

AW=

，

對應(yīng)

與4

疊A

由折

90°,

圖1

,

=90°

AMO