《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊 第2版》課件 9-4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第九章多元函數(shù)微分學(xué)第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的微分法二、一階全微分形式的不變性三、小結(jié)一、多元復(fù)合函數(shù)的微分法1．復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)時(shí)的情形點(diǎn)可導(dǎo)；定理1（1）函數(shù)都在（2）函數(shù)在對應(yīng)的點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．在點(diǎn)可導(dǎo)，且有則復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t樹形圖

全導(dǎo)數(shù)區(qū)分導(dǎo)數(shù)的符號分段相乘；分叉（路徑）相加；

在與定理1相類似的條件下點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)對于t是可導(dǎo)的，且有都在例如，設(shè)函數(shù)

鏈?zhǔn)椒▌t可以推廣到復(fù)合函數(shù)的變量多于兩個的情形．例1

設(shè)函數(shù)其中，求解由于由鏈?zhǔn)椒▌t，得2．復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形定理2(1)函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)；在的對應(yīng)點(diǎn)(2)函數(shù)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有鏈?zhǔn)椒▌t例2

設(shè)函數(shù)，其中，求解

由鏈?zhǔn)椒▌t,得例3

設(shè)函數(shù)，求解

令，這時(shí)，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有例4

設(shè)函數(shù)，f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求則解

令顯然f是一個抽象復(fù)合函數(shù)，由鏈?zhǔn)椒▌t，有需要注意的是，樹形結(jié)構(gòu)與f相同.仍為抽象復(fù)合函數(shù)，例4

設(shè)函數(shù)，f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求解

于是根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有為了書寫方便，引入下面得到記號：中的下標(biāo)1表示對第一個中間變量u求偏導(dǎo)，中的下標(biāo)2表示對第二個中間變量v求偏導(dǎo)，表示先對第一個中間變量u,再對第二個中間變量v求偏導(dǎo)，從而例3的結(jié)果可以寫為3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形定理3(1)函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，在x可導(dǎo)；在的對應(yīng)點(diǎn)(2)函數(shù)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有

對中間變量有三個或三個以上，而其中有的是多元函數(shù)，有的是一元函數(shù)時(shí)，也有類似的結(jié)論.設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)可看作情形2中由鏈?zhǔn)椒▌t可得復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)為想一想，這里的有什么區(qū)別？例5

設(shè)函數(shù)而，求解

由鏈?zhǔn)椒▌t例6

設(shè)其中求解

由鏈?zhǔn)椒▌t例7

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解

令，則由鏈?zhǔn)椒▌t，有二、一階全微分形式的不變性多元函數(shù)也有類似的性質(zhì).設(shè)函數(shù)z=f(u,v)可微，當(dāng)是自變量時(shí)，有全微分當(dāng)是的中間變量時(shí)，即且都具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分為對復(fù)合函數(shù)利用鏈?zhǔn)椒▌t，有所以由此可見，無論u和v是自變量還是中間變量，函數(shù)z=f(u,v)的全微分形式是一樣的.例8

利用微分形式不變性求且的全微分.解

由一階全微分形式的不變性，有又u和v是關(guān)于x和y的函數(shù)，且代入合并含有dx和dy的項(xiàng)，有三、小結(jié)1、多元復(fù)合函數(shù)的微分法（鏈?zhǔn)椒▌t）