人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第22講2.5.1直線與圓的位置關(guān)系(學(xué)生版+解析)

第09講2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法的代數(shù)法與幾何法。②會求與圓有關(guān)的直線方程與圓的方程。③會根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求坐標(biāo)、長度、面積、周長等。④會求待定參數(shù)并能解決與之相關(guān)的綜合問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會判斷直線與圓的位置關(guān)系，會求切線方程、弦長及弦所在的直線方程，會根據(jù)直線與圓的位置求待定參數(shù)及圓的方程，能解決與直線、圓有關(guān)的綜合問題.知識點(diǎn)01：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的圖象直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法2.1幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。2.2代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離【即學(xué)即練1】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個交點(diǎn)；此時，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個交點(diǎn).所以直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為2個.故選：B知識點(diǎn)02：直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，則____________.【答案】【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓心到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式，可得.故答案為：.知識點(diǎn)03：直線與圓相切1、圓的切線條數(shù)①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線2、過一點(diǎn)的圓的切線方程（）①點(diǎn)在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）②點(diǎn)在圓外記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時求出的只有一個答案；那么需要另外同理切線為）3、切線長公式記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；【即學(xué)即練3】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┯芍本€上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______.【答案】【詳解】圓的圓心為，在直線上取一點(diǎn)P，過P向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為A．連接．在中，．要使最小，則應(yīng)最?。之?dāng)PC與直線垂直時，最小，其最小值為．故的最小值為．

故答案為：.知識點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；【即學(xué)即練4】（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知直線上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】把圓變形為，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又，∴的面積的最大值為．故選：A．題型01判斷直線與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）坐標(biāo)軸與圓的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（2023春·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谥校﹫A上到直線距離為的點(diǎn)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數(shù)個【典例3】（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知直線：與圓：．則下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓相離C．圓心到直線距離的最大值是D．直線被圓截得的弦長最小值為【變式1】（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知圓，直線，則圓與直線（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定題型02由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河北·校聯(lián)考一模）直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．81【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，直線，若直線與圓總有交點(diǎn)，則的取值范圍為______【變式1】（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)校考三模）直線與曲線恰有兩個不同的公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．， D．【變式2】（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為______.題型03直線與圓相交問題【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，求圓的面積．【典例2】（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，曲線任意一點(diǎn)滿足．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為區(qū)間，且,則（

）A． B． C． D．2【變式2】（2023·高三課時練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，且，則直線的方程是______.題型04求切線方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓：的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為__________．【典例3】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓關(guān)于直線對稱．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程．【變式1】（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為__________.【變式2】（2023春·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一圓的圓心為，且該圓被直線截得的弦長為.(1)求該圓的方程；(2)求過點(diǎn)的該圓的切線方程.【變式3】（2023秋·高二課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切(1)求圓的方程；(2)若已知點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．題型05切線長（切點(diǎn)弦）問題【典例1】（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（

）A．4 B． C． D．2【典例2】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為__________.【典例3】（2023春·貴州·高二遵義一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)A是直線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點(diǎn)__________.【變式1】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圓，直線上動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【變式2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______．【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為_______．題型06已知切線求參數(shù)【典例1】（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時，直線的斜率的取值范圍是___________.【典例2】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則______.【變式1】（2023·四川成都·樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．5【變式2】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？级＃┮阎本€：上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作兩條直線與圓：分別切于點(diǎn)，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型07圓的弦長與中點(diǎn)弦問題【典例1】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長最短，則直線的斜率是（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【典例2】（2023春·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線與圓相交所得弦長為，則______；【典例2】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為__________.【變式1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則______．【變式2】（2023·天津·三模）已知直線平分圓，則圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦弦長為________【變式3】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)求圓在軸截得的弦長．題型08已知圓的弦長求方程或參數(shù)【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知圓，過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦的長度為2，則（

）A．2 B． C． D．3【典例2】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的方程．【典例3】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，，求實數(shù)的值.【變式1】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）若直線截圓所得弦長，則的值為______.【變式2】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【變式3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥校┮阎獔A：，直線：.(1)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.題型09圓內(nèi)接三角形面積【典例1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若是圓上的一動點(diǎn)，則面積的最大值是___________.【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期末）已知圓．(1)若一直線被圓所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；(2)設(shè)不過圓心的直線與圓交于，兩點(diǎn)，把的面積表示為的函數(shù)，并求的最大值．【變式1】（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系上，圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為___________.題型10直線與圓的實際應(yīng)用【典例1】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為、）和圓弧構(gòu)成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.

(1)試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓弧所在圓的一般方程；(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？【典例2】（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距O島千米處，島在島的正東方向距島20千米處以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系圓經(jīng)過、、三點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【變式1】（2023秋·高一單元測試）黨的二十大報告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國.在我國萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學(xué)生學(xué)過圓的知識后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧的方程.(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于__________m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．（可用參考數(shù)據(jù)：．）題型11直線與圓中的定點(diǎn)定值問題【典例1】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓，直線：，則（

）A．存在，使得與圓相切B．對任意，與圓相交C．存在，使得圓截所得弦長為1D．對任意，存在一條直線被圓截，所得弦長為定值【典例2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值是___________.【變式1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．2 C． D．4【變式2】（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，且直線不過圓心，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時，實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2題型12根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求距離最值【典例1】（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線：與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，動直線：和：交于點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為_______.【變式1】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)校考模擬預(yù)測）直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值是___________.【變式3】（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓有公共點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，則的最小值是__________．題型13直線與圓綜合問題【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，圓過點(diǎn)，，且圓心在上．(1)求圓的方程；(2)若已知點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最大值和最小值；（2）求函數(shù)的值域；（3）求函數(shù)的值域；（4）已知，求的最值．【典例3】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線.(1)證明：直線和圓恒有兩個交點(diǎn)；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時直線的方程.

【典例4】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎^點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)．(1)當(dāng)直線與直線垂直時，求證：直線經(jīng)過圓心；(2)當(dāng)弦長時，求直線的方程；(3)設(shè)，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．【變式1】（2023秋·高一單元測試）已知直線：與圓：相交于不重合的，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，三點(diǎn)構(gòu)成三角形．

(1)求的取值范圍；(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．【變式2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線過點(diǎn)，且__________.在下列所給的三個條件中，任選一個補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①與圓相切；②傾斜角的余弦值為；③直線的一個方向向量為.(1)求直線的一般式方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求弦長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【變式3】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)，設(shè)直線：（，）與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).(1)若，求的值；(2)若，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的斜率的值；(3)當(dāng)時，是否存在一定圓，使得直線與圓相切?若存在，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請說明理由.二、多選題9．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切的圓的方程可能是（

）A． B．C． D．10．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線C．對任意實數(shù)，直線都與圓相交D．直線被圓截得的弦長的最小值為三、填空題11．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則________．12．（2023·全國·高三對口高考）若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題13．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓過三個點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的切線，求：(1)圓的一般方程；(2)圓過點(diǎn)的切線方程.14．（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知，，，圓經(jīng)過三點(diǎn).(1)求圓C的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線l與圓C交于兩點(diǎn)，求弦長的取值范圍.B能力提升1．（2023秋·高一單元測試）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．72．（2023秋·高二課時練習(xí)）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（

）A．B．C．或D．或3．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，得到動點(diǎn)的軌跡是阿氏圓.若對任意實數(shù)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎c(diǎn)在直線上運(yùn)動，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為________．5．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考期末）已知圓被直線截得的兩條弦長分別為，則的最大值為__________．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)且與軸平行的直線與圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，直線，與圓的另一個交點(diǎn)分別為，（與不重合），證明：直線過定點(diǎn).2．（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線與圓交于，.求的最大值．

第09講2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法的代數(shù)法與幾何法。②會求與圓有關(guān)的直線方程與圓的方程。③會根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求坐標(biāo)、長度、面積、周長等。④會求待定參數(shù)并能解決與之相關(guān)的綜合問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會判斷直線與圓的位置關(guān)系，會求切線方程、弦長及弦所在的直線方程，會根據(jù)直線與圓的位置求待定參數(shù)及圓的方程，能解決與直線、圓有關(guān)的綜合問題.知識點(diǎn)01：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的圖象直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法2.1幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。2.2代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離【即學(xué)即練1】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個交點(diǎn)；此時，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個交點(diǎn).所以直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為2個.故選：B知識點(diǎn)02：直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，則____________.【答案】【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓心到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式，可得.故答案為：.知識點(diǎn)03：直線與圓相切1、圓的切線條數(shù)①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線2、過一點(diǎn)的圓的切線方程（）①點(diǎn)在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）②點(diǎn)在圓外記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時求出的只有一個答案；那么需要另外同理切線為）3、切線長公式記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；【即學(xué)即練3】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┯芍本€上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______.【答案】【詳解】圓的圓心為，在直線上取一點(diǎn)P，過P向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為A．連接．在中，．要使最小，則應(yīng)最?。之?dāng)PC與直線垂直時，最小，其最小值為．故的最小值為．

故答案為：.知識點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；【即學(xué)即練4】（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知直線上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】把圓變形為，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又，∴的面積的最大值為．故選：A．題型01判斷直線與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┳鴺?biāo)軸與圓的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】圓，即圓，所以圓，半徑，因為圓心到軸的距離為1，且，所以圓與軸相交，即與軸有兩個交點(diǎn)，因為圓心到軸的距離為2，且等于半徑，所以圓與軸相切于點(diǎn)，即與軸有一個交點(diǎn)，綜上坐標(biāo)軸與圓有3個交點(diǎn)，故選：C【典例2】（2023春·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谥校﹫A上到直線距離為的點(diǎn)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數(shù)個【答案】B【詳解】因為化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，圓的半徑，又因為圓心C到直線的距離為，所以，所以過圓心平行于直線的直線與圓有2個交點(diǎn)，另一條與直線的距離為的平行線與圓相切，只有1個交點(diǎn)，如圖所示，所以圓C上到直線的距離為的點(diǎn)共有3個.故選：B.【典例3】（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知直線：與圓：．則下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓相離C．圓心到直線距離的最大值是D．直線被圓截得的弦長最小值為【答案】AD【詳解】對于A，因為：，即，令，即，得，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；

對于B，因為，所以定點(diǎn)在圓：內(nèi)部，所以直線與圓相交，故B錯誤；對于C，因為圓：，可化為，圓心，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于直線時，圓心到直線距離取得最大值，此時其值為，故C錯誤；對于D，由弦長公式可知，當(dāng)圓心到直線距離最大時，弦長取得最小值，所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故D正確.故選：AD.【變式1】（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知圓，直線，則圓與直線（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心【答案】B【詳解】由可得，故圓心，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓C相切．故選：B【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【詳解】已知直線過定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.題型02由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點(diǎn)的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當(dāng)直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因為直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．【典例2】（2023·河北·校聯(lián)考一模）直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【詳解】由直線與圓相切可得：圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，故，即點(diǎn)在圓O上，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，由圓心為，因為，所以點(diǎn)在圓外，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，即，所以的最大值為.故選：C.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，直線，若直線與圓總有交點(diǎn)，則的取值范圍為______【答案】【詳解】由l方程知，則l過定點(diǎn)，若l與圓C總有交點(diǎn)，則點(diǎn)M在圓內(nèi)或圓上.又因為圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，則，即r的取值范圍為.故答案為：【變式1】（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)?？既＃┲本€與曲線恰有兩個不同的公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．， D．【答案】B【詳解】是斜率為的直線，曲線是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的右半圓，畫出它們的圖象如圖，當(dāng)直線與圓相切時，（舍去），當(dāng)直線過時，,由圖可以看出：當(dāng)時，直線與半圓有兩個公共點(diǎn)，故選：

【變式2】（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為______.【答案】或【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線：，此時直線與圓不相切，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，由題意，所以，平方化簡得，解得或.故答案為：或.題型03直線與圓相交問題【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，求圓的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：圓的圓心為，半徑，其中，圓心到直線的距離，，解得；（2）解：設(shè)，聯(lián)立，消得，，則，又，因為，所以，即，即，所以，解得滿足，此時圓的半徑，所以圓的面積為.【典例2】（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，曲線任意一點(diǎn)滿足．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）設(shè)，因為，故，即，整理可得所以曲線C的方程為.（2）設(shè)聯(lián)立整理得得

①根據(jù)韋達(dá)定理得：由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，得到所以解得

滿足①式所以存在實數(shù)，使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn).【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為區(qū)間，且,則（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】解：如圖所示：因為表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，4為半徑位于軸上方(含和軸交點(diǎn))的半圓，表示過坐標(biāo)原點(diǎn)及第一三象限內(nèi)的直線，又因為不等式的解集為區(qū)間，且,即半圓位于直線下方的區(qū)間長度為2，所以，所以直線與半圓的交點(diǎn)，所以.故選：C.【變式2】（2023·高三課時練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，且，則直線的方程是______.【答案】【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，，聯(lián)立，得或，不妨設(shè)，，則，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，消去并整理得，，設(shè)，，則，，則，所以,解得，，所以直線l的方程是.故答案為：題型04求切線方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓：的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】圓：，即，圓心為，半徑，又，所以點(diǎn)在圓上，且，所以切線的斜率，所以切線方程為，即.故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為__________．【答案】【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離相等，即，化簡得，解得，，綜上：直線方程為：，故答案為：【典例3】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓關(guān)于直線對稱．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程．【答案】(1)；(2)和.【詳解】（1）∵，，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴AB的垂直平分線為：，由解得圓心，半徑故圓的方程為；（2）若直線的斜率存在，方程可設(shè)為，即圓心到直線的距離為，解得，所求的一條切線為；當(dāng)直線的斜率不存在時，圓心到的距離為4，即與圓相切，所以直線的方程為和．【變式1】（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為__________.【答案】【詳解】圓的圓心，∵，則點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)為切點(diǎn)，則圓心到切點(diǎn)連線的斜率，可得切線的斜率，故切線的方程，即.故答案為：.【變式2】（2023春·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一圓的圓心為，且該圓被直線截得的弦長為.(1)求該圓的方程；(2)求過點(diǎn)的該圓的切線方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，圓心到直線的距離為，又圓被直線截得的弦長為，，圓的方程為：.（2）當(dāng)切線斜率不存在的時候，切線方程為：，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由得：，切線方程為，即，綜上所述：過點(diǎn)的圓的切線方程為或.【變式3】（2023秋·高二課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切(1)求圓的方程；(2)若已知點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．【答案】(1)(2)或．【詳解】（1）由題意知以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線相切，故圓的半徑為，故圓的方程為.（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，為與圓不相切；故過點(diǎn)作圓O的切線，斜率一定存在，設(shè)方程為，即，則，解得或，故切線方程為或．題型05切線長（切點(diǎn)弦）問題【典例1】（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【詳解】如圖所示，圓心為，連接，

因為直線，關(guān)于對稱，所以垂直于直線，故，而，所以.故選：C【典例2】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為__________.【答案】/【詳解】設(shè)，則有①，又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則，，則點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則圓的方程為，化簡得；直線即為兩圓的公共弦，所以對于和，兩式相減可得直線的方程為，由①可得，，整理得，由得故直線過定點(diǎn)，因為，說明在圓內(nèi)，當(dāng)時，此時最小，為故答案為：【典例3】（2023春·貴州·高二遵義一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)A是直線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點(diǎn)__________.【答案】【詳解】由題意過點(diǎn)A作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，連接,則,設(shè)，則,故,當(dāng)垂直于直線時，d最小，所以，所以；由于點(diǎn)A是直線上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)設(shè)為P，則，且，所以以線段為直徑為圓的方程為，即，將方程與作差可得，即直線的方程為，可得，由于,故，因此，直線恒過定點(diǎn)，故答案為：；【變式1】（2023·北京海淀·北大附中?？既＃┮阎獔A，直線上動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，則,當(dāng)時，，故選：C【變式2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______．【答案】【詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線與圓相切于點(diǎn)，連接，則，圓的圓心為，半徑為，則，當(dāng)與直線垂直時，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為.故答案為：.【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為_______．【答案】【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：題型06已知切線求參數(shù)【典例1】（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時，直線的斜率的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題設(shè)，則，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，如圖，當(dāng)與圓相切時，直線OP的斜率出現(xiàn)最值（最大、最?。?dāng)與圓上方相切，則，故，此時OP斜率為，結(jié)合圓的對稱性，與圓下方相切，OP斜率為，由圖知：直線OP的斜率的取值范圍是.故答案為：【典例2】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則______.【答案】/0.75【詳解】由題意圓心為，半徑為2，所以，解得．故答案為：．【變式1】（2023·四川成都·樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【詳解】的圓心為，半徑為，因為直線，與相切，所以，即，所以可設(shè)，所以，其中，故選：B【變式2】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？级＃┮阎本€：上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作兩條直線與圓：分別切于點(diǎn)，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由可得，圓心，半徑，過點(diǎn)A可作兩條直線與圓：分別切于點(diǎn)M，N，連接，如圖，由知，，又，所以，由題意，只需直線上存在與圓心距離為的點(diǎn)即可，即圓心到直線的距離，解得，故選：C題型07圓的弦長與中點(diǎn)弦問題【典例1】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長最短，則直線的斜率是（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)過點(diǎn)與圓心垂直時，此時弦長最短，因為，所以直線的斜率為.故選：D.【典例2】（2023春·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線與圓相交所得弦長為，則______；【答案】【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線，即的距離，由圓的弦長公式，即，得，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以.故答案為：.【典例2】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【詳解】圓，所以圓心為，半徑為4，設(shè)，由線段AB的中點(diǎn)為D，可得，即有，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓；故答案為：.【變式1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則______．【答案】/【詳解】由，得，則圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為所以，解得．故答案為：【變式2】（2023·天津·三模）已知直線平分圓，則圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦弦長為________【答案】【詳解】由，得，因為直線平分圓C，所以該直線經(jīng)過圓心C，得，解得.則，當(dāng)圓心C與該點(diǎn)的連線與弦垂直時，滿足題意，所以圓C以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦弦長為.故答案為：.【變式3】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)求圓在軸截得的弦長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為,則.化簡得，解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.（2）圓心到軸的距離為，所以圓在軸截得的弦長為.題型08已知圓的弦長求方程或參數(shù)【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知圓，過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦的長度為2，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【詳解】整理得，故圓心為，半徑為，當(dāng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與垂直時，被圓所截得的弦長最短，

其中，由垂徑定理得，即，解得，故選：D【典例2】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）依題意圓心P在直線上，可設(shè)圓P的方程為，因為圓P過兩點(diǎn)，，所以，解得，所以圓P的方程為.（2）由（1）可知，圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到直線的距離為1，此時滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，當(dāng)時，圓心到直線的距離，即有，解得，此時直線的方程為，即為.綜上，直線的方程為或.【典例3】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）的中點(diǎn)為，斜率，則直線的中垂線為聯(lián)立，解得，即，圓的方程為.（2）由于，點(diǎn)到直線的距離，即，解得【變式1】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）若直線截圓所得弦長，則的值為______.【答案】或【詳解】圓心到直線的距離為，由得，解得或，故答案為：或【變式2】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：因為圓與軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，又因為圓的圓心在直線上，由，解得，即，圓的半徑，所以，圓的方程為．（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，則，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即．因為圓心為，所以圓心到直線的距離為，整理可得，解得，所以，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或.【變式3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中校考期中）已知圓：，直線：.(1)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)或；(2).【詳解】（1）圓的圓心為,半徑為,設(shè)圓心到直線的距離為d，因為，則，解得，所以，，故直線方程為或.（2）直線l：，過定點(diǎn)，設(shè)弦AB的中點(diǎn)，則，所以，即，所以弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為.

題型09圓內(nèi)接三角形面積【典例1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若是圓上的一動點(diǎn)，則面積的最大值是___________.【答案】/【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，則面積的最大值是.故答案為：【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谀┮阎獔A．(1)若一直線被圓所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；(2)設(shè)不過圓心的直線與圓交于，兩點(diǎn)，把的面積表示為的函數(shù)，并求的最大值．【答案】(1)；(2)，；.【詳解】（1）圓圓心，半徑，顯然點(diǎn)在圓C內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)為圓C弦的中點(diǎn)時，該弦所在直線垂直于直線，直線的斜率，則有所求直線斜率為1，方程為：，即，所以該直線的方程為.（2）直線與圓相交時，圓心C到直線l的距離，解得，又直線l不過圓心，即，因此且，，的面積，因為且，則，當(dāng)，即或時，，所以，，當(dāng)或時，.【變式1】（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系上，圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，則圓心到直線的距離，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，又，解得：.故選：C.【變式2】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為___________.【答案】12【詳解】圓：，得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因此，所以.故答案為：.題型10直線與圓的實際應(yīng)用【典例1】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為、）和圓弧構(gòu)成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.

(1)試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓弧所在圓的一般方程；(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？【答案】(1)答案見解析(2)米【詳解】（1）解：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

故圓心在軸上，原點(diǎn)在圓上，可設(shè)圓的一般方程為易知，點(diǎn)在圓上，將的坐標(biāo)代入圓的一般方程得，則該圓弧所在圓的一般方程為.（2）解：令代入圓的方程得，得或（舍），由于隧道的總高度為米，且（米），因此，車輛通過隧道的限制高度為米.【典例2】（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距O島千米處，島在島的正東方向距島20千米處以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系圓經(jīng)過、、三點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】(1)(2)該船沒有觸礁的危險【詳解】（1）如圖所示，，設(shè)過O、A、B三點(diǎn)的圓C的方程為，得：，解得，故所以圓C的方程為，圓心為，半徑，（2）該船初始位置為點(diǎn)D，則，且該船航線所在直線l的斜率為,故該船航行方向為直線，由于圓心C到直線l的距離，故該船沒有觸礁的危險【變式1】（2023秋·高一單元測試）黨的二十大報告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國.在我國萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學(xué)生學(xué)過圓的知識后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧的方程.(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.【答案】(1)(2)不能，理由見解析【詳解】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，由圓的對稱性可知，圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為，則圓弧所在圓的方程為，因為點(diǎn)、在圓上，則，解得，。所以，圓弧所在圓的方程為，因此，圓弧的方程為.（2）解：此火車不能通過該路口，由題意可知，隔墻在軸右側(cè)米，車寬米，車高米，所以貨車右側(cè)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為，因此，該貨車不能通過該路口.【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于__________m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．（可用參考數(shù)據(jù)：．）【答案】3.32【詳解】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，則，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．由題意設(shè)，代入圓的方程得，解得，即，則.故答案為：3.32；.題型11直線與圓中的定點(diǎn)定值問題【典例1】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓，直線：，則（

）A．存在，使得與圓相切B．對任意，與圓相交C．存在，使得圓截所得弦長為1D．對任意，存在一條直線被圓截，所得弦長為定值【答案】BD【詳解】由題意得圓，所以圓心，半徑，對于A，B：易知圓心到直線的距離，所以恒成立，所以，即對任意，l與相交，故A錯誤，B正確；對于C：若截所得弦長為1，則，即，因為，所以關(guān)于的方程無實數(shù)解，即不存在，使得圓截所得弦長為1，故C錯誤；對于D：圓的方程可變形為，令，解得，所以圓過定點(diǎn)和，所以存在直線被圓截，所得弦長為定值，故D正確.故選：BD．【典例2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值是___________.【答案】【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為圓，圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，并在圓內(nèi)，最短時，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時，所以.故答案為：.【變式1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．2 C． D．4【答案】C【詳解】圓C：的圓心，半徑為2，由直線l：為，∴直線l過定點(diǎn)，又，∴P在圓C內(nèi)部，當(dāng)直線l與線段CP垂直時，弦AB的長最小，∵，∴弦AB長的最小值為.故選：C.【變式2】（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，且直線不過圓心，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時，實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】直線：的方程可化為，∴直線過定點(diǎn)，又∵，∴點(diǎn)D在圓C內(nèi)．由圓的性質(zhì)可知當(dāng)時，最小，此時的周長最小，又，，∴，則．故選：C.題型12根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求距離最值【典例1】（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線：與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，動直線：和：交于點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，動直線過定點(diǎn)，動直線：，即過定點(diǎn)，因為，所以無論m取何值，都有，所以點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B

【典例2】（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點(diǎn)，又由，可得定點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B.【典例3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為_______.【答案】1【詳解】設(shè)，過點(diǎn)P作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則在以為直徑的圓上，該圓的方程為，將和相減得：，即得到直線的方程為，又因為點(diǎn)P是直線，故，則直線的方程為，即，當(dāng)且，即，時該方程恒成立，所以直線AB過定點(diǎn)，當(dāng)Q與M的連線垂直于直線AB時，點(diǎn)Q到直線AB的距離最大，此時最大值即為Q，M之間的距離，而，即點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為1，故答案為：1【變式1】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．【變式2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值是___________.【答案】【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為圓，圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，并在圓內(nèi)，最短時，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時，所以.故答案為：.【變式3】（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓有公共點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，則的最小值是__________．【答案】【詳解】由題意可知，的最小值即為圓上一點(diǎn)到直線與圓交點(diǎn)的最小距離，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，由題意可知．故答案為：.題型13直線與圓綜合問題【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，圓過點(diǎn)，，且圓心在上．(1)求圓的方程；(2)若已知點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為圓過，則的中垂線過圓心，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因為，所以的中垂線方程為，即，又圓心在，聯(lián)立，解得，因此圓心，半徑，所以圓的方程為.

.（2）因為，所以在圓外，過作圓的切線，若切線斜率不存在時，則切線方程為，滿足與圓相切，若切線斜率存在時，設(shè)切線方程，即，則，解得，所以切線方程為，即.綜上：切線方程為或.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最大值和最小值；（2）求函數(shù)的值域；（3）求函數(shù)的值域；（4）已知，求的最值．【答案】（1）最大值為2，最小值為1；（2）；（3）；（4）最大值為3，最小值【詳解】（1）由于，故可令．則原式變?yōu)椋?，?dāng)，即時，取得最大值；當(dāng)，即時，取得最小值．（2）函數(shù)的定義域為，令，．則．由于，．而當(dāng)時，為減函數(shù)，此時，當(dāng)時，為增函數(shù)，此時．故函數(shù)的值域為．（3）解法一：，可設(shè)．則．設(shè)，則，從而．（其中，）．，，，且，，，故函數(shù)的值域為．解法二：由解法一得，則為與點(diǎn)連線的斜率．設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，即，顯然，點(diǎn)在半圓上，當(dāng)直線與半圓，相切時，，解得，數(shù)形結(jié)合易得，即．．故函數(shù)的值域為．（4）令，，則．又．當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．【典例3】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線.(1)證明：直線和圓恒有兩個交點(diǎn)；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時直線方程為【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過定點(diǎn).圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，因為，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線與圓恒有兩個交點(diǎn).（2）直線經(jīng)過圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，記圓心到直線的距離為d.因為，所以當(dāng)d最大時，取得最小值，所以當(dāng)直線時，被圓截得的弦最短，此時，因為，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時，直線的方程為，即，綜上：最小值為，此時直線方程為.

【典例4】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎^點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)．(1)當(dāng)直線與直線垂直時，求證：直線經(jīng)過圓心；(2)當(dāng)弦長時，求直線的方程；(3)設(shè)，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)或(3)為定值，且【詳解】（1）解：直線與直線垂直，且，.故直線方程為，即.圓心為，且，故當(dāng)直線與直線垂直時，直線經(jīng)過圓心.（2）解：①當(dāng)直線與軸垂直時，則直線的方程為，圓心到直線的距離為，且，合乎題意；②當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，即，，是中點(diǎn)，圓圓心為，半徑為，，則由，得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.（3）解：，.①當(dāng)與軸垂直時，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，則，又，.②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的方程為，其中，則由可得，即點(diǎn)，則..綜上所述，與直線的斜率無關(guān)，且.【變式1】（2023秋·高一單元測試）已知直線：與圓：相交于不重合的，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，三點(diǎn)構(gòu)成三角形．

(1)求的取值范圍；(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．【答案】(1)(2)的最大值為2，取得最大值時【詳解】（1）解法一：由題意知：圓心到直線的距離，因為直線與圓O相交于不重合的A，B兩點(diǎn)，且A，B，O三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以，得，解得且，所以的取值范圍為.解法二：聯(lián)立，化簡得：，得，因為A，B，O三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以所以的取值范圍為.（2）直線：，即，點(diǎn)O到直線距離：，所以所以，（且）設(shè)，則，所以所以當(dāng)，即，即時，所以的最大值為2，取得最大值時.【變式2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線過點(diǎn)，且__________.在下列所給的三個條件中，任選一個補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①與圓相切；②傾斜角的余弦值為；③直線的一個方向向量為.(1)求直線的一般式方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求弦長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①：因為，故點(diǎn)在圓上，且圓心與連線的斜率為，因為直線與圓相切，所以直線的斜率為2；所以直線的一般式方程為；若選②：設(shè)直線的傾斜角為，由得；故直線的斜率；所以直線的一般式方程為；若選③：因為直線的一個方向向量為，所以的斜率；所以直線的一般式方程為（2）曲線，即；故為圓，圓心為，半徑為；則圓心到直線的距離為；所以弦長.【變式3】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)，設(shè)直線：（，）與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).(1)若，求的值；(2)若，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的斜率的值；(3)當(dāng)時，是否存在一定圓，使得直線與圓相切?若存在，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)或(3)存在，定圓.【詳解】（1）因為，又在圓上，所以直線過圓的圓心，所以.（2）因為，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，得，當(dāng)時，直線與坐標(biāo)軸不能圍成三角形，故，在中，令，得；令，得，所以，得，所以，解得或，所以或.（3）聯(lián)立，消去并整理得，，即，設(shè)，，則，，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與以為圓心，為半徑的圓相切，所以存在一個定圓，使得直線與圓相切.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，圓心為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以直線過圓心，即，解得.故選：D2．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩點(diǎn)，，是圓上的點(diǎn)，滿足，則這樣的點(diǎn)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】線段AB的斜率，故線段AB的垂直平分線的斜率為，又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故線段AB的垂直平分線的方程為，整理得，圓心到直線的距離，故與圓C相交，所以滿足條件的點(diǎn)P有2個.故選：C.3．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】C【詳解】由題知，圓心坐標(biāo)，半徑，將直線化為點(diǎn)斜式得，知該直線過定點(diǎn)，又，故該定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以該直線與圓必相交.故選：C4．（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習(xí)）已知BC是圓的動弦，且，則BC的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∵BC是圓的動弦，，且圓心，，即，化簡得，∴BC的中點(diǎn)的軌跡方程是，故選：C．5．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直線被圓截的的弦長為（

）A． B． C．【答案】B【詳解】的圓心為，半徑為3，則圓心到直線的距離為，則被圓截的的弦長為.故選：B6．（2023·全國·高三對口高考）已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）