人教A版數(shù)學(選擇性必修一講義)第26講3.1.1橢圓及其標準方程(學生版+解析)

第01講3.1.1橢圓及其標準方程課程標準學習目標①了解圓錐曲線的實際背景。②了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。③掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程。④會根據(jù)相關的條件求橢圓的標準方程。⑤會求與橢圓有關的量。1.通過本節(jié)課的學習，要求掌握橢圓的定義（相關的量的掌握）及橢圓的標準方程（滿足的條件），會求與橢圓有關的幾何量知識點01：橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.【即學即練1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期末）設定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【詳解】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.知識點02：橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關系【即學即練2】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學校考期末）已知的周長為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】錯解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯因：忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.特別說明：1、兩種橢圓，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標也不同.2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.題型01橢圓的定義及辨析【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）設滿足：，則點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在【典例2】．（2023·全國·高三專題練習）已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【變式1】（2023·全國·高二專題練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，則點的軌跡是（

）．A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【變式2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.題型02利用橢圓定義求方程【典例1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）方程，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·廣東廣州·高二西關外國語學校校考期末）已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式1】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．【變式2】（2023·高二課時練習）已知動點M到定點與的距離的和是，則點M的軌跡方程是．題型03橢圓上點到焦點距離（含最值）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓上一點到右準線的距離為，則點到它的左焦點的距離為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓上的動點到右焦點距離的最大值為，則（

）A．1 B． C． D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設是橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學?？寄M預測）已知橢圓的右焦點為是橢圓上一點，點，則的周長最大值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知A為橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓一焦點，的中點為，為坐標原點，若則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學?？奸_學考試）如圖，把橢圓的長軸八等分，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個點，是橢圓的一個焦點，則的值為．【變式3】（2022秋·上海寶山·高二上海市行知中學?？计谀┮阎獮闄E圓上的一點，若分別是圓和上的點，則的最大值為.題型04橢圓上點到坐標軸上點的距離（含最值）問題【典例1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）點為橢圓上一點，曲線與坐標軸的交點為，，，，若，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎c，P是橢圓上的動點，則的最大值是．【典例3】（2023·高二課時練習）已知P是橢圓上一點，，求的最小值與最大值．【變式1】（2022秋·山東淄博·高一?？计谀E圓上任一點到點的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【變式2】（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右焦點為F1?F2，點P在橢圓上，若RtF1PF2，則點P到x軸的距離為.【變式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南開中學?？计谥校┮阎菣E圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則點P到y(tǒng)軸的距離為..題型05橢圓上點到焦點和定點距離的和差最值【典例1】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知點P為橢圓上任意一點，點M、N分別為和上的點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【典例3】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎獧E圓C：的左?右焦點分別為?，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的取值范圍為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左焦點為F，P是橢圓上一點，若點，則的最小值為．【變式2】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習）已知F是橢圓的右焦點，P為橢圓C上一點，，則的最大值為．【變式3】（2023·高二課時練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，點，則的最小值為．題型06判斷方程是否表示橢圓【典例1】（2023·高二課時練習）已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2023·高二課時練習）設方程①；②．其中表示橢圓的方程是．【典例3】（2023·高二課時練習）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的條件．【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）已知曲線（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是橢圓，其焦點在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【變式2】（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學校考階段練習）方程表示橢圓的充要條件是．題型07求橢圓方程【典例1】（2023秋·高二課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對【典例2】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學校校考期末）已知橢圓（）的一個焦點為，則（

）A． B．3 C．41 D．9【典例3】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學?？奸_學考試）已知橢圓C:,四點,,,中恰有三點在橢圓上,則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·高二課時練習）已知橢圓以原點為中心，長軸長是短軸長的2倍，且過點，求此橢圓的標準方程．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知焦點在軸上的橢圓的焦距等于，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知，兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程為.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．【變式4】（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）經(jīng)過、兩點的橢圓的標準方程是．題型08根據(jù)橢圓方程求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高二專題練習）方程表示焦點在軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，則實數(shù)m＝（

）A． B． C．或 D．或1【典例3】（2023·高三課時練習）若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是.【變式1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┓匠瘫硎緳E圓的一個充分不必要條件是（

）A．且 B． C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A． B．C． D．題型09橢圓中的軌跡方程問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足.記的軌跡為.求的方程；【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為；【典例3】（2023秋·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.求點P的軌跡方程；【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點，動點到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．求的方程；【變式3】（2023秋·高二課時練習）已知定圓，圓，動圓M和定圓外切和圓內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．題型10橢圓中焦點三角形周長問題【典例1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）直線與橢圓交于兩點，則與橢圓的兩個焦點構成的四邊形的周長為（

）A．10 B．16 C．20 D．不能確定【典例2】（2023·高二課時練習）若F為橢圓C：的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為（

）A．4 B．8 C．10 D．20【典例3】（2023·全國·高二專題練習）設,分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于，，若，的周長為16，求.【變式1】（2023秋·高二課時練習）設分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（

）A．12 B．24 C． D．【變式2】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）橢圓的一個焦點是F，過原點O作直線(不經(jīng)過焦點)與橢圓相交于A，B兩點，則的周長的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20【變式3】（2023·北京·101中學?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點，是上的一點，且，則的周長是．題型11橢圓中焦點三角形面積問題【典例1】（2023秋·高二單元測試）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【典例2】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習）橢圓的左，右焦點為，且，點P是橢圓C上異于左、右端點的一點，若M是的內(nèi)心，且，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【典例3】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學考試）橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上一點，則面積與周長的比值的最大值為.【典例4】（2023春·陜西西安·高二校考期末）已知點在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓上的點，?分別是橢圓的左?右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓的左?右焦點，點在橢圓上.當最大時，求（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·全國·高二專題練習）設橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=A．1 B．2 C．4 D．8【變式4】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥校┰O和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是.題型12橢圓中焦點三角形其他問題【典例1】（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實驗學校校考階段練習）在橢圓上有一點P，是橢圓的左?右焦點，為直角三角形，這樣的點P有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【典例2】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，若，則．【典例3】（2023春·陜西西安·高二?？计谀┮阎c在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積【典例4】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則，的大小為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設為橢圓上的一點，、分別為橢圓的左、右焦點，且，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？计谥校┮阎?，是橢圓C的兩個焦點，P為C上一點，，若C的離心率為，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為．【變式4】（2023·全國·高三專題練習）設橢圓的左、右兩焦點分別為，，是上的點，則使得是直角三角形的點的個數(shù)為.A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谀┰O定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段2．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（

）A． B． C．3 D．43．（2023秋·高二單元測試）過點且與有相同焦點的橢圓方程為（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（

）A．12 B． C．16 D．105．（2023秋·高二單元測試）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．512．（2023秋·高二課時練習）已知分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，（O為坐標原點）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為．四、解答題13．（2023·全國·高三對口高考）P是橢圓上一點，，是橢圓的左、右兩個焦點，且．(1)求的最大值和最小值；(2)求的面積．14．（2023·全國·高二專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，且過的直線交橢圓于兩點，且，若，，求橢圓的標準方程.15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期末）已知點P是橢圓上的一點，和分別為左右焦點，焦距為6，且過.(1)求橢圓的標準方程；(2)若動直線l過與橢圓交于A、B兩點，求的周長.B能力提升1．（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓．在圓上總存在點P，使得過點P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃?9世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為（

）A．±3 B．±4 C．±5 D．3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學校聯(lián)考模擬預測）阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積．當我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓．橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，且點與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為，記橢圓的兩個焦點分別為，則的值不可能為（

）A．4 B．7 C．10 D．144．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）已知橢圓，、分別是其左，右焦點，P為橢圓C上非長軸端點的任意一點，D是x軸上一點，使得平分．過點D作、的垂線，垂足分別為A、B．則的最大值是．5．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓過點，是的左右焦點，為橢圓上任意一點，橢圓外的動點滿足且，則的取值范圍是C綜合素養(yǎng)1．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習）已知的兩頂點坐標．(1)求動點的軌跡的方程；(2)不垂直于軸的動直線與軌跡相交于兩點，定點，若直線關于軸對稱，求面積的取值范圍．2．（2023春·廣西·高三統(tǒng)考階段練習）已知點為橢圓的左頂點，點為右焦點，直線與軸的交點為，且，點為橢圓上異于點的任意一點，直線交于點.(1)求橢圓的標準方程；(2)判斷是否恒成立，并說明理由.3．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習）已知圓，圓，動圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.(1)求動圓的圓心的軌跡方程；(2)過點的兩直線，分別交動圓圓心的軌跡于、和、，.求四邊形的面積.

第01講3.1.1橢圓及其標準方程課程標準學習目標①了解圓錐曲線的實際背景。②了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。③掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程。④會根據(jù)相關的條件求橢圓的標準方程。⑤會求與橢圓有關的量。1.通過本節(jié)課的學習，要求掌握橢圓的定義（相關的量的掌握）及橢圓的標準方程（滿足的條件），會求與橢圓有關的幾何量知識點01：橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.【即學即練1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谀┰O定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【詳解】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.知識點02：橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關系【即學即練2】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學?？计谀┮阎闹荛L為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】錯解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯因：忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.特別說明：1、兩種橢圓，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標也不同.2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.題型01橢圓的定義及辨析【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）設滿足：，則點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在【答案】B【詳解】∵表示為到定點的距離之和為5，即，∴點的軌跡為橢圓.故選：B.【典例2】．（2023·全國·高三專題練習）已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【答案】C【詳解】解：因為（當且僅當時，等號成立，所以，當且時，，此時動點的軌跡是橢圓；當時，，此時動點的軌跡是線段．故選：C．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，則點的軌跡是（

）．A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【答案】B【詳解】表示平面由點到點的距離之和為，而，所以點的軌跡是橢圓，故選：B【變式2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.【答案】14【詳解】設左、右焦點為,設，由題得因為，所以.所以點P與另一個焦點的距離等于14.故答案為：14故選：B.題型02利用橢圓定義求方程【典例1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）方程，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得點到定點，的距離之和等于12，即，所以動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，設其方程為，則，，所以，，故方程為.【典例2】（2023秋·廣東廣州·高二西關外國語學校校考期末）已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以為焦點的橢圓，設，則，解得：，故動圓圓心M的軌跡方程為.故選：D【變式1】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．【答案】【詳解】由題知：，①又橢圓經(jīng)過點，所以，②又，③聯(lián)立解得：，故橢圓的標準方程為：.故答案為：.【變式2】（2023·高二課時練習）已知動點M到定點與的距離的和是，則點M的軌跡方程是．【答案】【詳解】因為M到頂點和的距離的和為，所以M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設方程為（），則，，所以，，M的軌跡方程為.故答案為：.題型03橢圓上點到焦點距離（含最值）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓上一點到右準線的距離為，則點到它的左焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設分別為橢圓的左、右焦點，到左準線的距離為，到右準線的距離為，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，解得：，又，解得：，到它的左焦點距離為．故選：A.【典例2】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓上的動點到右焦點距離的最大值為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點到右焦點距離最大值為，即，又，所以，由，所以；故選：A【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設是橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點，在中可得：①，當且僅當、、三點共線時，等號成立，在中可得：②，當且僅當、、三點共線時，等號成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學校考模擬預測）已知橢圓的右焦點為是橢圓上一點，點，則的周長最大值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【詳解】如圖所示設橢圓的左焦點為，則，則，，的周長，當且僅當三點M，，A共線時取等號．的周長最大值等于18．故選：C．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知A為橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓一焦點，的中點為，為坐標原點，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設橢圓左焦點為，右焦點為，因為的中點為，的中點為，所以，又由，可得.故選：B.【變式2】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學?？奸_學考試）如圖，把橢圓的長軸八等分，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個點，是橢圓的一個焦點，則的值為．【答案】28【詳解】設橢圓的另一個焦點為由橢圓的幾何性質(zhì)可知：，同理可得，且，故,故答案為.【變式3】（2022秋·上海寶山·高二上海市行知中學?？计谀┮阎獮闄E圓上的一點，若分別是圓和上的點，則的最大值為.【答案】/【詳解】由題設圓和圓的圓心分別為，半徑分別為，則橢圓的焦點為，，又，，故，當且僅當分別在的延長線上時取等號，此時最大值為.故答案為：.題型04橢圓上點到坐標軸上點的距離（含最值）問題【典例1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）點為橢圓上一點，曲線與坐標軸的交點為，，，，若，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由曲線與坐標軸的交點為，，，，不妨設，，，.則，為橢圓的焦點，而為橢圓上一點，所以.因為，所以，又，根據(jù)橢圓定義知點的軌跡為以C、D為焦點的橢圓，所以軌跡方程為，聯(lián)立，消去得，則，故點到軸的距離為.故選：A.【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎c，P是橢圓上的動點，則的最大值是．【答案】【詳解】解：設，，，，當時，取得最大值，故答案為：【典例3】（2023·高二課時練習）已知P是橢圓上一點，，求的最小值與最大值．【答案】最小值為，最大值為11【詳解】因為P是橢圓上一點，所以，且橢圓焦點在y軸上，點P是橢圓上任意一點，設點P的坐標為，則，所以，，，因為，當時，，所以當時，【變式1】（2022秋·山東淄博·高一?？计谀E圓上任一點到點的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】設點的坐標為，其中，由，可得，又由，當時，取得最小值，最小值為.故選：B.【變式2】（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右焦點為F1?F2，點P在橢圓上，若RtF1PF2，則點P到x軸的距離為.【答案】或【詳解】設點，則到軸的距離為，因為，，，當或時，則，得，，即到軸的距離為．當時，則，，，，由（1）（2）知：到軸的距離為或，故答案為：或．【變式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南開中學?？计谥校┮阎菣E圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則點P到y(tǒng)軸的距離為.【答案】【詳解】如圖，由橢圓可得,所以,則,所以在中，，因為,且,所以,設的坐標為,且，即，解得，所以點到軸的距離為.故答案為：...題型05橢圓上點到焦點和定點距離的和差最值【典例1】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【詳解】

設橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當且僅當共線且在中間時等號成立，故的最大值為.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知點P為橢圓上任意一點，點M、N分別為和上的點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】設圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點為.又,，，故，當且僅當分別在的延長線上時取等號.此時最大值為.故選：C.【典例3】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎獧E圓C：的左?右焦點分別為?，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的取值范圍為.【答案】【詳解】如圖，由為橢圓上任意一點，則，又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），∴，當且僅當M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為，當共線時，最大，如下圖所示：，最大值為，所以的取值范圍為，故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左焦點為F，P是橢圓上一點，若點，則的最小值為．【答案】/【詳解】根據(jù)橢圓的定義：，取得最小值時，即最小，如圖所示：，當，，共線時取得最小值．的最小值為：﹒故答案為：.【變式2】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習）已知F是橢圓的右焦點，P為橢圓C上一點，，則的最大值為．【答案】/【詳解】設橢圓的左焦點為，，當共線且在中間時等號成立.故答案為：【變式3】（2023·高二課時練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，點，則的最小值為．【答案】1【詳解】依題意，橢圓的左焦點，右焦點，點P為橢圓上一點，點A在此橢圓外，由橢圓的定義得，因此，，當且僅當點P是線段與橢圓的交點時取“=”，所以的最小值為1.故答案為：1題型06判斷方程是否表示橢圓【典例1】（2023·高二課時練習）已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B【典例2】（2023·高二課時練習）設方程①；②．其中表示橢圓的方程是．【答案】①【詳解】對于①，方程表示平面內(nèi)的動點到定點與的距離之和等于8的點的軌跡，因為與之間的距離為6，且，所以動點的軌跡是橢圓，所以方程①表示橢圓的方程，對于②，方程表示平面內(nèi)的動點到定點與的距離之和等于2的點的軌跡，由于與之間的距離為2，所以動點的軌跡是一條線段，所以方程②表示的不是橢圓方程，故答案為：①【典例3】（2023·高二課時練習）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的條件．【答案】必要不充分【詳解】當時表示圓，當且時表示橢圓，充分性不成立；當為橢圓，則，可得且，必要性成立；綜上，“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）已知曲線（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是橢圓，其焦點在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【答案】AD【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確，故B錯誤；對于C，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故C不正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：AD.【變式2】（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學?？茧A段練習）方程表示橢圓的充要條件是．【答案】答案不唯一【詳解】方程表示橢圓,則必有解之得或故答案為：,（答案不唯一，其他等價情況也對）題型07求橢圓方程【典例1】（2023秋·高二課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對【答案】B【詳解】

由題意，當橢圓焦點在軸上，設橢圓方程為：，由題意，，所以，，，，所以橢圓方程為：，當橢圓焦點在軸上時，同理可得：，故選：B【典例2】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學校?？计谀┮阎獧E圓（）的一個焦點為，則（

）A． B．3 C．41 D．9【答案】A【詳解】由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，且，則.故選：A.【典例3】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學校考開學考試）已知橢圓C:,四點,,,中恰有三點在橢圓上,則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上.將,代入橢圓方程得:,解得,橢圓C的標準方程為.故選:D.【典例4】（2023·高二課時練習）已知橢圓以原點為中心，長軸長是短軸長的2倍，且過點，求此橢圓的標準方程．【答案】或【詳解】當焦點在軸上時，設橢圓方程，則，解得，故橢圓方程為；當焦點在軸上時，設橢圓方程，則，解得，故橢圓方程為；綜上，橢圓方程為或.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知焦點在軸上的橢圓的焦距等于，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以，根據(jù)題意可得，解得.故選：D.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知，兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程為.【答案】【詳解】當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，又因，在橢圓上，所以，解得，，此時，，故舍棄.當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，又因，在橢圓上，所以，解得，，所以橢圓的標準方程為.故答案為：.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．【答案】【詳解】由題知：，①又橢圓經(jīng)過點，所以，②又，③聯(lián)立解得：，故橢圓的標準方程為：.故答案為：.【變式4】（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙?jīng)過、兩點的橢圓的標準方程是．【答案】【詳解】設所求橢圓的方程為，將點、的坐標代入橢圓方程可得，解得，因此，所求橢圓的標準方程為.故答案為：.題型08根據(jù)橢圓方程求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高二專題練習）方程表示焦點在軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】方程可變形為，表示焦點在軸上的橢圓，則有，解得.易知當時，，當時未必有，所以是的充分但不必要條件.故選：B.【典例2】（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，則實數(shù)m＝（

）A． B． C．或 D．或1【答案】D【詳解】焦距為2，即.當焦點在上時，，得；當焦點在上時，，得；綜合得或.故選：D.【典例3】（2023·高三課時練習）若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】∵方程表示焦點在x軸上的橢圓，∴，解得或，∴實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．【變式1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┓匠瘫硎緳E圓的一個充分不必要條件是（

）A．且 B． C． D．【答案】B【詳解】若方程表示橢圓，則有，解得且，因為是集合且的真子集，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件，故選：B.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】直線過定點，所以，解得①.由于方程表示橢圓，所以且②.由①②得的取值范圍是.故選：C題型09橢圓中的軌跡方程問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足.記的軌跡為.求的方程；【答案】.【詳解】設，則，，，，.，即，的軌跡為的方程為.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為；【答案】【詳解】設動圓的半徑為，由已知得：圓可化為標準方程：，即圓心，半徑，圓可化為標準方程：，即圓心，半徑，，經(jīng)分析可得，，則.由題意可知：，兩式相加得，，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓，可設方程為，則，，，，，所以軌跡的方程為.故答案為：【典例3】（2023秋·高二課時練習）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為．【答案】【詳解】因為的三邊a，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標分別為，所以，即，所以點B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為，因為，所以，所以，又因為B、A、C三點構成，所以B、A、C三點不能在一條直線上，所以，所以頂點B的軌跡方程為.故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.求點P的軌跡方程；【答案】；【詳解】設，，則，，由得.因為在C上，所以.因此點P的軌跡為.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點，動點到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．求的方程；【答案】【詳解】動點到直線的距離為，且，由題意知，兩邊平方整即得，所以曲線的方程為.【變式3】（2023秋·高二課時練習）已知定圓，圓，動圓M和定圓外切和圓內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．【答案】【詳解】圓，圓因為圓M與圓外切，所以，因為圓M與圓內(nèi)切，所以，，兩式相加得，所以M的軌跡是以為焦點的橢圓，故其方程為.題型10橢圓中焦點三角形周長問題【典例1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）直線與橢圓交于兩點，則與橢圓的兩個焦點構成的四邊形的周長為（

）A．10 B．16 C．20 D．不能確定【答案】C【詳解】設橢圓兩個焦點為，由題可得，則與橢圓的兩個焦點構成的四邊形的周長為.故選：C【典例2】（2023·高二課時練習）若F為橢圓C：的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為（

）A．4 B．8 C．10 D．20【答案】D【詳解】解：設為橢圓的左焦點，則由橢圓的定義可得：，當共線時，，當不共線時，，所以△ABF周長的最大值為20.故選：D.【典例3】（2023·全國·高二專題練習）設,分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于，，若，的周長為16，求.【答案】5【詳解】由已知，，可得，.因為的周長為16，則.根據(jù)橢圓定義可得，，所以，，所以，，所以，.【變式1】（2023秋·高二課時練習）設分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，對于橢圓有長半軸長，又過的直線交橢圓于A、B兩點，故的周長，故選：D【變式2】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）橢圓的一個焦點是F，過原點O作直線(不經(jīng)過焦點)與橢圓相交于A，B兩點，則的周長的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20【答案】C【詳解】如圖所示：不妨取為左焦點，為右焦點，連接，，則為平行四邊形，的周長為，當，為橢圓上下頂點時等號成立.故選：C【變式3】（2023·北京·101中學?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點，是上的一點，且，則的周長是．【答案】34【詳解】因為，所以，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故答案為：34.題型11橢圓中焦點三角形面積問題【典例1】（2023秋·高二單元測試）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【詳解】由橢圓，得，，.

設，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.【典例2】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習）橢圓的左，右焦點為，且，點P是橢圓C上異于左、右端點的一點，若M是的內(nèi)心，且，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設的內(nèi)切圓半徑為，則，，，可得.，解得.又因為，所以，即，所以，即，解得（舍去負值），所以.故選：A【典例3】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學考試）橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上一點，則面積與周長的比值的最大值為.【答案】/0.75【詳解】設橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，則，因為，，所以的周長為16，由橢圓的幾何性質(zhì)知，當點P為橢圓的短軸端點時，的面積最大，所以面積的最大值為，所以面積與周長的比值的最大值為.故答案為：．【典例4】（2023春·陜西西安·高二?？计谀┮阎c在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積【答案】(1)48(2)24【詳解】（1）因為橢圓方程為，則，即，可得，因為，則即，所以.（2）由（1）得，因為，所以.

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓上的點，?分別是橢圓的左?右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，則，，即.設，所以由橢圓的定義可得：①.因為，所以由數(shù)量積的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故選：A.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓的左?右焦點，點在橢圓上.當最大時，求（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，所以，當且僅當則時等號成立，即為橢圓短軸端點時最大，此時，.故選：C.【變式3】（2023·全國·高二專題練習）設橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】，，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，故選：C.【變式4】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥校┰O和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是.【答案】/【詳解】橢圓，即，所以，，，因為，所以點為短軸頂點，所以.故答案為：題型12橢圓中焦點三角形其他問題【典例1】（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實驗學校?？茧A段練習）在橢圓上有一點P，是橢圓的左?右焦點，為直角三角形，這樣的點P有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】C【詳解】當為直角時，這樣的點有2個，如下圖中的點；當為直角時，這樣的點有2個，如下圖中的點；當為直角時，因為橢圓中，所以這樣的點有2個，如下圖中的點，所以符合條件為直角三角形的點有6個，故選：C.【典例2】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，若，則．【答案】/【詳解】由橢圓方程得：，，，；設，由橢圓定義知：，，，即，解得：或；為橢圓在第一象限內(nèi)的點，，即，，；.故答案為：.【典例3】（2023春·陜西西安·高二校考期末）已知點在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積【答案】(1)48(2)24【詳解】（1）因為橢圓方程為，則，即，可得，因為，則即，所以.（2）由（1）得，因為，所以.

【典例4】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則，的大小為.【答案】2【詳解】∵，，∴，∴，又，，∴，由余弦定理，得，∴.故答案為：2，【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設為橢圓上的一點，、分別為橢圓的左、右焦點，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】橢圓，則，，兩邊平方得①，在中，由余弦定理得,即②，由①②得.故選：B【變式2】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？计谥校┮阎菣E圓C的兩個焦點，P為C上一點，，若C的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：記，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，從而，∴.∵，∴.故選:B【變式3】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為．【答案】4【詳解】因為點在上，所以有，由，當且僅當時取等號，故答案為：4【變式4】（2023·全國·高三專題練習）設橢圓的左、右兩焦點分別為，，是上的點，則使得是直角三角形的點的個數(shù)為.【答案】6【詳解】由橢圓性質(zhì)知：當為上下頂點時最大，此時，，所以，故焦點三角形中最大為，故有2個；又、對應的直角三角形各有2個；綜上，使得是直角三角形的點的個數(shù)為6個.故答案為：6A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谀┰O定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【詳解】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.2．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【詳解】橢圓即，焦點在軸上，所以，，所以，又橢圓的焦距為，所以，解得.故選：A3．（2023秋·高二單元測試）過點且與有相同焦點的橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由知，焦點為，，即，.設所求橢圓方程為，則，解得，故所求橢圓方程為.故選：A.4．（2023·全國·高三專題練習）已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（

）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【詳解】設橢圓的另外一個焦點為，如圖，

則的周長為，故選：C.5．（2023秋·高二單元測試）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.6．（2023秋·高二課時練習）橢圓的焦點為，點P在此橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么的值為（

）A． B．4 C．7 D．【答案】C【詳解】由＝1可知，，所以，所以F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，∵線段PF1的中點M在y軸上，且原點為線段的中點，所以，所以軸，∴可設P(3,m)，把P(3,m)代入橢圓＝1，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故選：C7．（2023秋·高二課時練習）已知點P為橢圓上動點，分別是橢圓C的焦點，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【詳解】由橢圓，可得，所以，又由橢圓的定義可得，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故選：D.8．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）已知橢圓的左?右焦點分別為.若點關于直線的對稱點恰好在上，且直線與的另一個交點為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設關于直線的對稱點，由，得．

可知，又知，所以，則為直角，由題意，點恰好在上，根據(jù)橢圓定義，得，，設，則，在直角三角形中，，解得，從而，所以.故選：D．二、多選題9．（2023·云南·校聯(lián)考二模）已知橢圓，為C的左、右焦點，P為C上一點，且，若交C點于點Q，則（

）A．周長為8 B．C．面積為 D．【答案】AD【詳解】由題意，在橢圓中，，不妨設在軸上方，則，，所以，故B錯；的周長為，A正確；設，在中，得，所以，D正確；，所以，故C不正確，故選：AD．10．（2023·高二課時練習）對于曲線，下面四個說法正確的是（

）A．曲線不可能是橢圓B．“”是“曲線是橢圓”的充分不必要條件C．“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的必要不充分條件D．“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的充要條件【答案】CD【詳解】對于A選項，若曲線為橢圓，則，解得且，A錯；對于B選項，因為或，所以，“”是“曲線是橢圓”的必要不充分條件，B錯；對于C選項，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，又因為，所以，“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的必要不充分條件，C對；對于D選項，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以，“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的充要條件，D對.故選：CD.三、填空題11．（2023春·上海金山·高二華東師范大學第三附屬中學?？计谀┮阎狿：，Q：表示橢圓，則P是Q的條件．【答案】必要不充分【詳解】若方程表示橢圓，則且，且