《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 2.1 線性方程組的解

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)國(guó)家“十二五”規(guī)劃教材山東省優(yōu)秀教材一等獎(jiǎng)主編：李秀珍龐常詞2第二章方程及方程組的解實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解

實(shí)驗(yàn)2.2非線性方程的解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3若系數(shù)矩陣的秩，則方程組有唯一解；

線性方程組的通解=對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個(gè)特解,其特解的求法屬于解的第一類問(wèn)題，通解部分屬第二類問(wèn)題．我們將線性方程組的求解分為兩類：一類是求方程組的唯一解或求特解;

另一類是求方程組的無(wú)窮解即通解．可以通過(guò)系數(shù)矩陣的秩來(lái)判斷：若系數(shù)矩陣的秩，則方程組可能有無(wú)窮解；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)4二、應(yīng)用舉例一、解線性方程組的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)5一、解線性方程組的MATLAB實(shí)現(xiàn)1．求線性方程組的唯一解或特解

若是線性方程組的矩陣形式，則可以直接用矩陣的除法或初等變換法求線性方程組的唯一解或特解。例1

求方程組的解．A=[56000;15600;01560;00156;00015];B=[10001]';R_A=rank(A)%求秩X=A\B↙%求解解

方法一實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解6R_A=5X=2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188運(yùn)行后結(jié)果如下方法二

用函數(shù)rref求解：C=[A,B]%由系數(shù)矩陣和常數(shù)列構(gòu)成增廣矩陣CR=rref(C)↙%將C化成行最簡(jiǎn)形R=1.000000002.266201.0000000-1.7218001.0000001.05710001.00000-0.594000001.00000.3188則R的最后一列元素就是所求之解．7例2

求方程組的一個(gè)特解．A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];B=[140]';X=A\B↙%由于系數(shù)矩陣不滿秩，該解法可能存在誤差解警告:秩虧，秩=2，tol=8.837264e-15.X=[00-0.53330.6000]’

可以驗(yàn)證所求X是方程組一個(gè)特解的近似值.這是因?yàn)橄禂?shù)矩陣奇異，方程組的解不存在或者不唯一，通過(guò)下述方式判斷方程組是否有解.實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解8R=1.00000-1.50000.75001.250001.0000-1.5000-1.7500-0.250000000因此，該方程組有無(wú)窮解.要求得一個(gè)特解，可使用函數(shù)rrefA=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];B=[140]';C=[A,B];%構(gòu)成增廣矩陣

R=rref(C)↙C=[A,B];R_A=rank(A)R_C=rank(C)R_A=2R_C=2輸出結(jié)果為令

，得方程組的一個(gè)特解X=(1.2500–0.250000)'．由此可見(jiàn)，不同的求解命令適用的條件不同，需要先判定適用的命令再進(jìn)行求解.92.求線性齊次方程組的通解

在Matlab中，函數(shù)null用來(lái)求解零空間，即滿足A·X=0的解空間，實(shí)際上是求出解空間的一組基（基礎(chǔ)解系）．基本格式：z=null(A)%z的列向量為方程組的正交規(guī)范基，滿足z=null(A,′r′)%z的列向量是方程AX=0的有理基實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解10例3

求方程組的通解：解A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];formatrat%指定有理式格式輸出B=null(A,'r')↙%求解空間的有理基運(yùn)行后顯示結(jié)果如下：B=25/3-2-4/31001進(jìn)一步寫(xiě)出通解，在命令窗口輸入：實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解symsk1k2X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)%寫(xiě)出方程組的通解pretty(X)↙

11運(yùn)行后結(jié)果如下：X=[2*k1+5/3*k2][-2*k1-4/3*k2][k1][k2]實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解或通過(guò)行最簡(jiǎn)形得到基：B=rref(A)↙B=1.00000-2.0000-1.666701.00002.00001.33330000123．求非齊次線性方程組的通解

非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解．因此，步驟為：第四步：的通解為的通解加上的一個(gè)特解．是否有解，若有解則進(jìn)行第二步第一步：判斷的一個(gè)特解第二步：求第三步：求的通解實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解13例4

求解方程組解在Matlab中建立M文件如下：A=[1-23-1;3-15-3;212-2];b=[123]';B=[Ab];n=4;R_A=rank(A)R_B=rank(B)formatratifR_A==R_B&R_A==n%判斷有唯一解

X=A\belseifR_A==R_B&R_A<n↙%判斷有無(wú)窮解實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解14X=A\b%求特解

C=null(A,'r')%求AX=0的基礎(chǔ)解系elseX='equitionnosolve'%判斷無(wú)解end運(yùn)行后結(jié)果顯示：R_A=2R_B=3X=equitionnosolve說(shuō)明該方程組無(wú)解.15例5

求方程組的通解：解法一在Matlab編輯器中建立M文件如下：A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];b=[140]';B=[Ab];n=4;R_A=rank(A)R_B=rank(B)formatrat ifR_A==R_B&&R_A==nX=A\b elseifR_A==R_B&&R_A<nC=rref(B)%求增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形elseX='Equationhasnosolves'end實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解16對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為：非齊次方程組的特解為：所以，原方程組的通解為：運(yùn)行后結(jié)果顯示為：R_A=2R_B=2C=10-3/23/45/401-3/2-7/4-1/40000017二、應(yīng)用舉例

１．投入產(chǎn)出綜合平衡分析

國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間存在著相互依存的關(guān)系，每個(gè)部門(mén)在運(yùn)轉(zhuǎn)中將其他部門(mén)的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過(guò)加工（稱為投入）變成自己的產(chǎn)品（稱為產(chǎn)出），問(wèn)題是如何根據(jù)各部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系，確定各部門(mén)的產(chǎn)出水平，以滿足社會(huì)的需要，下面考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的問(wèn)題：

設(shè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)僅有農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門(mén)構(gòu)成，已知某年它們之間的產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表2.1所示（數(shù)字表示產(chǎn)值，單位為億元）．實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解18

假定每個(gè)部門(mén)的產(chǎn)出與投入是成正比的，由表2.1能夠確定這三個(gè)部門(mén)的投入產(chǎn)出表，如表2.2農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060/70150初始投入3511075總投入100200150表2.1國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)間的關(guān)系產(chǎn)出投入表2.2投入產(chǎn)出表農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)0.200.300產(chǎn)出投入實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解19（1）設(shè)有個(gè)部門(mén)，記一定時(shí)期內(nèi)第個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出為個(gè)部門(mén)的投入為，滿足的外部需求為,則：（2.1）記第個(gè)部門(mén)的單位產(chǎn)出需要第個(gè)部門(mén)的投入為.在每個(gè)部門(mén)的產(chǎn)出與投入

成正比的假定下，有：

（2.2）式（2.2）代入式（2.1）得

（2.3）實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解，其中對(duì)第20記投入系數(shù)矩陣，產(chǎn)出向量，需求向量

，則（2.3）式可寫(xiě)作

（2.4）（2.5）可逆，則：（2.6）或若和外部需求給定后，即可算出各部門(mén)的總產(chǎn)出.當(dāng)投入系數(shù)實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解21（2）將表2.2中的投入系數(shù)即對(duì)各部門(mén)的外部需求輸入MATLAB，用以下程序：formata=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];d=[50150100]';b=eye(3)-a;x=b\dc=inv(b)xx=c*d↙實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解輸出結(jié)果為x=139.2801267.6056208.1377c=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167xx=139.2801267.6056208.1377即三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別應(yīng)為139.2801，267.6056，208.1377（億元）22（3）式（2.6）表明總產(chǎn)出對(duì)外部需求是線性的，增加一個(gè)單位時(shí)，單位時(shí)，農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加1.3459，0.5634，0.4382單位，其余類似，這些數(shù)字稱為部門(mén)關(guān)聯(lián)系數(shù)．的增量由決定，其第一列數(shù)字表明，當(dāng)農(nóng)業(yè)的需求增加一個(gè)實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解所以當(dāng)23２．大型輸電網(wǎng)絡(luò)設(shè)電源電壓為一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡(jiǎn)化為圖2.1所示電路，其中表示線路內(nèi)阻，圖2.1輸電網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化電路(1)

列出各負(fù)載上電流的方程；記上的電流為

（2.7）實(shí)驗(yàn)2.1線性方程組的解表示負(fù)載電阻，24（2.８）消去得：

（2.9）25

（2.9）記則方程（2.9）表示為：式（2.9）或式（2.10）