《數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（第二版）》 課件 第２章　導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分第2章75目錄2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2.3微分及應(yīng)用76教學(xué)要求：1.通過對(duì)實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.2.通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；知道函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.3.會(huì)利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，了解參數(shù)方程的求導(dǎo)法.6.了解高階導(dǎo)數(shù)的定義和二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).7.了解微分的定義及幾何意義，會(huì)求函數(shù)的微分，能利用微分解決一些簡單的近似計(jì)算問題.771.1導(dǎo)數(shù)的概念78導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有增量Δx時(shí)，函數(shù)y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果極限存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或

或

，即79如果上述極限不存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

處不可導(dǎo)．函數(shù)增量與自變量增量之比

是函數(shù)在Δx區(qū)間上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)f′（x0）則是函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率，它反映了函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處變化的快慢程度．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，實(shí)例考察中的兩個(gè)實(shí)例用導(dǎo)數(shù)的概念可表述如下：（1）變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，就是位移s＝s（t）在t0

處對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即80（2）在直角坐標(biāo)系中，曲線y＝f（x）在點(diǎn)A（x0，y0）處的切線斜率，就是縱坐標(biāo)y＝f（x）在點(diǎn)x0處對(duì)橫坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）也可表示為81函數(shù)在某一點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)若比值

在點(diǎn)x0處的左極限存在，則稱此極限值為f（x）在點(diǎn)x0處左導(dǎo)數(shù)，記為f′－（x0）．若比值在點(diǎn)x0處的右極限存在，則稱此極限值為f（x）在點(diǎn)x0處右導(dǎo)數(shù)，記為f′＋（x0

）．函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是f（x）在該點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．82函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y＝f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對(duì)于（a，b）內(nèi)的每一個(gè)確定的x，都對(duì)應(yīng)著唯一確定的函數(shù)值f′（x），于是就確定了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)稱為函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作f′（x）或y′或

，且顯然，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）就是導(dǎo)數(shù)f′（x）在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值，即83導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）在幾何上表示曲線y＝f（x）在點(diǎn)A（x0，f（x0））處的切線的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84過切點(diǎn)A（x0，f（x0））且垂直于切線的直線稱為曲線y＝f（x）在點(diǎn)A（x0，f（x0））處的法線．如果f′（x0）存在，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)A處的切線方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法線方程為85可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理如果函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)．證明函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)．值得注意的是，即使函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處也不一定可導(dǎo)．862.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則87函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點(diǎn)x處均可導(dǎo)．下面我們來考察它們的和y＝u（x）＋v（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)．當(dāng)自變量在x處有增量Δx時(shí)，函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相應(yīng)地分別有增量Δu，Δv，Δy．因?yàn)棣＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，即因此，有y′＝u′＋v′，這表明函數(shù)y＝u（x）＋v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，即（u＋v）′＝u′＋v′．實(shí)際上，我們也可推出它們的差、積、商（當(dāng)分母不等于0時(shí)）在點(diǎn)x處可導(dǎo)．8990復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以來求一些簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，我們有如下重要的求導(dǎo)法則．91復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于首先把復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù)，然后運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．注意求導(dǎo)之后應(yīng)該把引入的中間變量代換成原來的自變量．對(duì)復(fù)合函數(shù)分解比較熟練后，就不必再寫出中間變量，只要明確中間變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，逐層求導(dǎo)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可推廣到兩個(gè)以上中間變量的情形．92三個(gè)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)法我們此前遇到的函數(shù)都是用y＝f（x）這樣的形式來表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，這種方式表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)．但有些函數(shù)不是以顯函數(shù)的形式出現(xiàn)的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，這些二元方程也可以表示一個(gè)函數(shù)，這樣的函數(shù)叫作隱函數(shù)．求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并不需要先把隱函數(shù)化為顯函數(shù)（事實(shí)上，有些隱函數(shù)是不能顯函數(shù)化的），而是可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將二元方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，就可直接求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′．93至此，我們已經(jīng)把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式全部推導(dǎo)出，為了方便查閱，匯總?cè)缦拢?4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法在求導(dǎo)運(yùn)算中，常會(huì)遇到這樣兩類函數(shù)的求導(dǎo)問題，一是冪指函數(shù)y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù)．對(duì)這樣的函數(shù)，可先對(duì)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把函數(shù)變成隱函數(shù)的形式，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出結(jié)果．95參數(shù)方程求導(dǎo)法在平面解析幾何中，我們學(xué)過參數(shù)方程，它的一般形式為一般地，上述方程組確定的y與x之間的函數(shù)關(guān)系稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y＝f（x）．例如，已經(jīng)學(xué)過的一種橢圓的參數(shù)方程就確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)通過參數(shù)t聯(lián)系起來．96現(xiàn)在來求由參數(shù)方程（t為參數(shù)，t∈I）所確定的函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，直接消去t有時(shí)會(huì)很難，事實(shí)上，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知97高階導(dǎo)數(shù)設(shè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，它的位移函數(shù)為s＝s（t），則它的瞬時(shí)速度為v＝s′（t）．此時(shí)，若速度v仍是時(shí)間的函數(shù)，我們可以求速度v＝v（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)（即速度對(duì)時(shí)間的變化率），得到物體的瞬時(shí)加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)．這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為s＝s（t）對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)．98類似地，如果函數(shù)y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)存在，這個(gè)導(dǎo)數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，記作y

?或f

?（x）或一般地，如果函數(shù)y＝f（x）的n－1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，這個(gè)導(dǎo)數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，記作y（n）或f（n）（x）或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地，稱y′＝f′（x）為一階導(dǎo)數(shù)．992.３微分及應(yīng)用100微分的概念函數(shù)的微分的定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則f′（x）＝，由無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，當(dāng)f′（x）≠0時(shí)，函數(shù)的增量可以分成兩部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，我們把它稱為Δy的線性主部；另一部分是αΔx，當(dāng)Δx→0時(shí)，它是比Δx高階的無窮?。援?dāng)Δx很小時(shí)，可以忽略不計(jì)，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我們給出下面的定義．通常把自變量的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，因此，函數(shù)y＝f（x）的微分又可記為dy＝f

′（x）dx．102從而有上式表明，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)又叫作微商．在前面我們把

當(dāng)作一個(gè)整體的記號(hào)，現(xiàn)在有了微分的概念，

就可以看作是一個(gè)分式．從微分的定義可以看出可導(dǎo)與微分之間存在聯(lián)系，一元函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)等價(jià)于在某點(diǎn)處可微，把可導(dǎo)函數(shù)也稱為可微函數(shù)．103微分的幾何意義設(shè)函數(shù)y＝f（x）的圖像如圖所示，過曲線y＝f（x）上一點(diǎn)M（x，y）作切線MT，設(shè)MT的傾斜角為α，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義tanα＝f′（x）．當(dāng)自變量x有增量Δx時(shí)，切線MT的縱坐標(biāo)相應(yīng)也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，微分dy＝f′（x）Δx圖形上表示當(dāng)x有增量時(shí)，曲線y＝f（x）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)M（x，y）處的切線的縱坐標(biāo)的增量．用dy近似代替Δy，就是用點(diǎn)M處的切線縱坐標(biāo)的增量QP近似代替曲線y＝f（x）的縱坐標(biāo)的增量QN，且丨Δy－dy丨＝PN，當(dāng)Δx→０時(shí)，丨Δy－dy丨是比Δx高階的無窮小．105微分公式與微分的運(yùn)算法則由函數(shù)微分的定義dy＝f′（x）dx可知，要計(jì)算函數(shù)的微分，只需要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分就可以了．因此，由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則可以直接推出微分的基本公式和運(yùn)算法則．微分的基本公式106函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點(diǎn)x處均可微，則有（1）d（u±v）＝du±dv；（2）d（uv）＝vdu＋udv，特別地，d（Cu）＝Cdu（C為常數(shù)）；（3）

（v≠0），特別地，107復(fù)合函數(shù)的微分由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以得到復(fù)合函數(shù)的微分法則．設(shè)y＝f（u），u＝φ（x）均可微，則復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））也可微（u為中間變量），且復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））的微分為dy＝f′（u）φ′（x）dx＝f′（φ（x））φ′（x）dx．由于φ′（x）dx＝d（φ（x））＝du，所以，復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））的微分也可以寫成dy＝f′（u）du．從上式的形式來看，它與y＝f（u）（u為自變量）的微分dy＝f′（u）du形式一樣．這個(gè)性質(zhì)稱為微分形式的不變性．也就是說，不管u是自變量還是中間變量，函數(shù)y＝f（u）的微分形式總可以用dy＝f′（u）du來統(tǒng)一表示．利用這一性質(zhì)可直接求一些復(fù)合函數(shù)的微分