吉林省2024-2025學年高二上學期11月期中聯考數學試題

高二數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章3.2.1.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.若直線與直線平行，則（）A.B.C.1D.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.4.若構成空間的一個基底，則下列選項中能作為基底的是（）A.B.C.D.5.空間內有三點，則點到直線的距離為（）A.B.C.D.6.已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點是上一點，則的最小值為（）A.B.C.D.7.如圖，在棱長為3的正四面體中，為的中心，為的中點，，則（）A.2B.3C.4D.68.如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點分別為，與軸的交點分別為，點為半橢圓上一點（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則是橢圓，其焦點在軸上B.若，則是雙曲線，其漸近線方程為C.若，則是橢圓，其離心率為D.若，則是雙曲線，其離心率為10.已知球的半徑為，則（）A.球的內接正方體的內切球表面積為B.球的內接正方體的內切球體積為C.球的內接正四面體的內切球半徑為D.球的內接正四面體的內切球半徑為11.如圖，正方體的棱長為分別為的中點，為底面內的動點，且，則（）A.動點的軌跡長度為B.存在點，使異面直線與所成的角為C.點到平面的距離的最小值為D.點到平面的距離的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平行六面體中，設，則__________.（用表示）13.若點在圓的外部，則正實數的取值范圍是__________.14.已知圓，直線為直線上一動點，為圓上一動點，定點，則的最小值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點為，求的最小值.16.（15分）已知橢圓的焦距為12，長半軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程.17.（15分）如圖，在體積為的三棱柱中，平面平面.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.（17分）如圖，在三棱臺中，平面是棱的中點，為棱上一動點.（1）若，證明：平面.（2）是否存在，使平面平面？若存在，求此時與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.19.（17分）已知分別為橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左?右頂點，為橢圓上的動點，過動點作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點，四邊形的對角線相交于點，記動點的軌跡為.（1）證明：橢圓在點處的切線方程為.（2）求動點的軌跡的方程.（3）過點作斜率不為0的直線與相交于點，直線與的交點為，判斷點是否在定直線上.高二數學試卷參考答案1.B直線的斜率為，所以傾斜角為.2.C因為，所以，所以或.當時，重合；當時，，符合題意.3.A向量在向量上的投影向量為.4.D因為，所以共面；因為，所以共面；因為，所以共面；因為不存在，使得，所以不共面.5.A因為，所以的一個單位方向向量為.因為，所以點到直線的距離為.6.C設橢圓的左焦點為，則由橢圓的定義知，所以.當三點共線時，，所以的最小值為.7.B連接（圖略）.因為.8.D（解法1）設，因為，所以.，所以.因為，所以.因為，所以解得.（解法2）設，因為，所以，所以.因為，所以.因為存在.，所以在上有解.因為，且，所以在上有解，即在上有解.因為，所以解得.9.ACD若，則的方程可整理成，其表示焦點在軸上的橢圓，所以A正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，漸近線方程為，所以B不正確；若，則的方程可整理成，其表示橢圓，離心率為，所以C正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，離心率為，所以D正確.10.BC對于A，B，設球的內接正方體的棱長為，則球的內接正方體的內切球半徑，球的半徑，所以，所以表面積，體積，故A不正確，B正確.對于C，D，設球的內接正四面體的棱長為，如圖，可知.由，解得.因為球的內接正四面體的體積，球的內接正四面體的表面積，所以球的內接正四面體的內切球半徑，故C正確，D不正確.11.ACD因為為底面內的動點，且，所以，所以動點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓落在底面內的部分，所以動點的軌跡長度為，故A正確.如圖，建立空間直角坐標系，則，設，因為，所以.因為無解，所以不存在滿足條件的點，故B錯誤.設平面的法向量為，因為，所以令，得.因為，所以點到平面的距離，當時，，所以C確.當或時，，所以D正確.12..13.由得.14.設點關于的對稱點為，則解得即，所以.故的最小值為.15.（1）證明：將直線的方程整理得，令得即直線經過定點.將點的坐標代入圓的方程得，所以點在圓的內部，所以直線與圓相交.（2）解：圓的圓心為，半徑為3.記點到直線的距離為，則.記點為，因為，所以.16.解：（1）由題意可知因為，所以橢圓的方程為.（2）設，則兩式相減得，整理可得.因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.17.（1）證明：取的中點，連接，由為正三角形，得.因為平面平面且交于，所以平面，即為該三棱柱的高.因為三棱柱的體積，且，所以.因為，所以，即.由平面平面且交于，可得平面.因為平面，所以.因為，所以在菱形中，.因為，所以平面.（2）解：如圖，以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則.設平面的法向量為，因為.所以令，得.設平面的法向量為，因為，所以令，得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.解：如圖，以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則.（1）證明：因為，則，設平面的法向量為，因為，所以令，得.因為，所以，所以平面.（2）解：設平面的法向量為，因為，，所以令，得.設，則，設平面的法向量為，因為，所以令，得.假設平面平面，則.由，解得，所以.設與平面所成的角為，則，所以存在，使平面平面，此時與平面所成角的正弦值為.19.（1）證明：聯立方程組消去整理得，即，整理得