2024-2025學年高中數(shù)學第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)3.4第1課時對數(shù)及其運算學案含解析北師大版必修1

PAGE§4對數(shù)第1課時對數(shù)及其運算內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.理解對數(shù)的概念，駕馭對數(shù)的基本性質(zhì)．2.駕馭指數(shù)式與對數(shù)式的互化，能應用對數(shù)的定義和性質(zhì)解方程.精確概念定義嫻熟等價轉(zhuǎn)化提升數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第49頁[基礎(chǔ)相識]學問點一對數(shù)的概念eq\a\vs4\al(預習教材P78－79，思索并完成以下問題)解指數(shù)方程：3x＝eq\r(3)，可以化為3x＝，所以x＝eq\f(1,2)，那么你會解3x＝2嗎？提示：不會，因為2難以化為以3為底的指數(shù)式，因而須要引入對數(shù)概念．學問梳理對數(shù)的概念(1)對數(shù)的概念一般地，假如a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b.其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．(2)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系當a＞0，且a≠1時，ax＝N?x＝logaN.學問點二常用對數(shù)和自然對數(shù)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)結(jié)合教材P79例1和例2，你認為指數(shù)式與對數(shù)式互化應分哪幾步？提示：第一步：將指(對)數(shù)式寫成規(guī)范形式；其次步：依對數(shù)的定義實現(xiàn)互化．學問梳理常用對數(shù)和自然對數(shù)(1)常用對數(shù)：通常將以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)，并把log10N記為lgN.(2)自然對數(shù)：在科學技術(shù)中常運用以無理數(shù)e＝2.71828…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN.學問點三對數(shù)的基本性質(zhì)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)lg10，lg100，lg0.01，ln1，lne分別等于多少？提示：1,2，－2,0,1.(2)為什么對數(shù)式x＝logaN中規(guī)定底數(shù)a＞0且a≠1?提示：由于對數(shù)式x＝logaN中的a來自于指數(shù)式ax＝N中的a，所以當規(guī)定了ax＝N中的a＞0，且a≠1時，對數(shù)式x＝logaN中的a也受到相同的限制．(3)為什么負數(shù)和零沒有對數(shù)？提示：由于ax＝N＞0，所以x＝logaN中的N＞0.學問梳理對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)．(2)loga1＝0(a＞0，a≠1)．(3)logaa＝1(a＞0，a≠1)．思索：1.當a，N在什么范圍取值時對數(shù)式logaN有意義？提示：a＞0且a≠1，N＞0.2．冪運算和對數(shù)運算有什么關(guān)系？提示：在關(guān)系式ax＝N中，已知a和x求N的運算稱為求冪運算，而假如已知a和N，求x，就是對數(shù)運算，兩個式子實質(zhì)相同而形式不同，互為逆運算．3．任何指數(shù)式都可以干脆化為對數(shù)式嗎？提示：并不是任何指數(shù)式都可以干脆化為對數(shù)式，如(－2)2＝4，就不能干脆寫成log－24＝2，只有符合a＞0且a≠1，N＞0時，才有ax＝N?x＝logaN.[自我檢測]1．2x＝3化為對數(shù)式是()A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝logx3解析：∵2x＝3，∴x＝log23.答案：B2．若log3x＝3，則x＝()A．1 B．3C．9 D．27解析：∵log3x＝3，∴x＝33＝27.答案：D3．已知log2x＝3，則＝________.解析：∵log2x＝3，∴x＝23＝8，答案：2eq\r(2)授課提示：對應學生用書第50頁探究一對數(shù)的概念[例1]求下列各式中x的取值范圍．(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.[解析](1)由題意得x－10＞0，解得x＞10.(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＞0，,x－1＞0，且x－1≠1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－2，,x＞1，且x≠2.))∴x＞1，且x≠2.(3)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＞0，,x＋1＞0，且x＋1≠1，))解得x＞－1，且x≠0，x≠1.方法技巧解決使對數(shù)式有意義的參數(shù)問題，只要依據(jù)對數(shù)的定義，由真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1得到關(guān)于未知數(shù)(一般是x)的不等式(組)，解之即可．跟蹤探究1.求f(x)＝logxeq\f(1－x,1＋x)的定義域．解析：要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x≠1，,\f(1－x,1＋x)＞0.))解得0＜x＜1.∴f(x)＝logxeq\f(1－x,1＋x)的定義域為(0,1)．探究二利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系互化求值[例2]將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(2)43＝64；(3)3－2＝eq\f(1,9)；(4)10－3＝0.001.[思路點撥]利用當a＞0，且a≠1時，logaN＝b?ab＝N進行互化．[解析](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27.(2)log464＝3.(3)log3eq\f(1,9)＝－2.(4)lg0.001＝－3.方法技巧1.logaN＝b與ab＝N(a＞0，且a≠1)是等價的，表示a，b，N三者之間的同一種關(guān)系．如圖：2．依據(jù)這個關(guān)系可以將指數(shù)式與對數(shù)式互化：將指數(shù)式化為對數(shù)式，只需將冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)值，底數(shù)不變；而將對數(shù)式化為指數(shù)式，只需將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變．跟蹤探究2.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)2－2＝eq\f(1,4)；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)log64eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3)；(5)logxy＝z.解析：(1)log2eq\f(1,4)＝－2.(2)log10100＝2，即lg100＝2.(3)loge16＝a，即ln16＝a.(4)＝eq\f(1,4).(5)xz＝y(tǒng).[例3]求下列各式中x的值：(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(4)logx27＝eq\f(3,2)；(5)lg0.01＝x.[思路點撥]利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系求解．[解析](1)∵4x＝5·3x，∴eq\f(4x,3x)＝5，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x＝5，.方法技巧指數(shù)式ax＝N與對數(shù)式x＝logaN(a＞0，且a≠1)表示了三個量a，x，N之間的關(guān)系，因而已知其中兩個可求第三個：已知底數(shù)與指數(shù)，用指數(shù)式求冪；已知指數(shù)與冪，用指數(shù)式求底數(shù)；已知底數(shù)與冪，利用對數(shù)式表示指數(shù)．跟蹤探究3.求下列各式中的x值：(1)log2x＝eq\f(1,2)；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.解析：(1)∵log2x＝eq\f(1,2)，∴x＝，∴x＝eq\r(2).(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.探究三利用對數(shù)性質(zhì)與對數(shù)恒等式求值[例4]求下列各式中x的值：(1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(2)＋1)＝x.[思路點撥]解答本題可利用對數(shù)的基本性質(zhì)及對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系求解．[解析](1)∵log2(log4x)＝0，∴l(xiāng)og4x＝20＝1，∴x＝41＝4.(2)∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)∵log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(2)＋1)＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.延長探究把“(1)”換成“l(fā)og8(lg(log2x))＝0”，把“(2)”換成“l(fā)g(lnx)＝1”，分別求x的值．解析：(1)log8(lg(log2x))＝0，∴l(xiāng)g(log2x)＝1，∴l(xiāng)og2x＝10，∴x＝210.(2)lg(lnx)＝1，∴l(xiāng)nx＝10，∴x＝e10.方法技巧1.對數(shù)的性質(zhì)：(1)在指數(shù)式中N＞0，故零和負數(shù)沒有對數(shù)．(2)設(shè)a＞0，a≠1，則有a0＝1.∴l(xiāng)oga1＝0，即1的對數(shù)等于0.(3)設(shè)a＞0，a≠1，則有a1＝a，∴l(xiāng)ogaa＝1，即底數(shù)的對數(shù)為1.2．在對數(shù)的運算中，常用對數(shù)的性質(zhì)進行對數(shù)的化簡與求值．跟蹤探究4.求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)logeq\r(2)－1eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.解析：(1)∵log3(log2x)＝0，∴l(xiāng)og2x＝1，∴x＝21＝2.(2)∵log2(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝2，∴x＝102＝100.(3)∵logeq\r(2)－1eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.授課提示：對應學生用書第51頁[課后小結(jié)]1．對數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對數(shù)式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)，據(jù)此可得兩個常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2．在關(guān)系式ax＝N中，已知a和x求N的運算稱為求冪運算，而假如已知a和N求x的運算就是對數(shù)運算，兩個式子實質(zhì)相同而形式不同，互為逆運算．[素養(yǎng)培優(yōu)]因忽視底數(shù)