2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.162已知，，則（

）A.23 B. C. D.3.在平行四邊形中，已知，則（）A.5 B.9 C.13 D.184.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知圓錐的軸截面是邊長為3的等邊三角形，且該圓錐底面圓和頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.7.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.68.現(xiàn)有7張分別標(biāo)有卡片，甲一次性從中隨機(jī)抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為，剩下的2張卡片數(shù)字之和為，則的概率為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知事件兩兩互斥，若，則（）A. B.C. D.10.已知正方體的棱長為2，E是正方形的中心，F(xiàn)是棱CD(包含頂點(diǎn))上的動點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.EF的最小值為B.存在點(diǎn)F，使EF⊥C.三棱錐的體積是定值D.直線EF與平面所成角的正切最大值為11.如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.如圖，在某個(gè)海域，一艘漁船以海里/時(shí)的速度，沿方位角為的方向航行，行至處發(fā)現(xiàn)一個(gè)小島在其東偏南方向，半小時(shí)后到達(dá)處，發(fā)現(xiàn)小島在其東北方向，則處離小島的距離為__________海里.13.從2011名學(xué)生中選取40名同學(xué)組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選取：先簡單隨機(jī)抽樣從2011人中剔除11人，再將剩下的2000人按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行選取，則每個(gè)人入選的概率為______．14.已知的內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，，為邊上一點(diǎn)，滿足，且．則的最小值為______．四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）求；（2）若面積為，周長為8，求.16已知非零向量，滿足，且，.（1）求的值；（2）證明：；（3）設(shè)與的夾角為，求及的值.17.某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測評打分.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）若認(rèn)定評分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動愛好者”，評分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動愛好者”和“運(yùn)動達(dá)人”各1人的概率.18.甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和；乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和．從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球．（1）取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)?2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？（2）取出3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？（注：本題中，是元音字母；是輔音字母）19.如圖所示，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的余弦值.2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【正確答案】C【分析】根據(jù)集合對元素的要求，求得集合，即得其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由且可知，可以取，則可取，即，故集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.2.已知，，則（

）A.23 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦和角公式和求出，求出，利用二倍角公式求出答案.【詳解】，，，.故選：C.3.在平行四邊形中，已知，則（）A.5 B.9 C.13 D.18【正確答案】B【分析】根據(jù)向量加法、減法和數(shù)量積運(yùn)算列方程來求得.【詳解】，兩式平方并相減得，所以.故選：B4.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用向量的夾角公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出即可判斷得解.【詳解】由在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，設(shè)，則，顯然，所以點(diǎn)在第一象限，A正確.故選：A6.已知圓錐的軸截面是邊長為3的等邊三角形，且該圓錐底面圓和頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為3的等邊三角形，求出外接球的半徑即可求出體積.【詳解】圓錐的軸截面是邊長為3的等邊三角形，邊長為3的等邊三角形的外接圓半徑即是圓錐的外接球半徑,設(shè)球的半徑為，由正弦定理得，即，故球的體積.故選：D.7.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【正確答案】C【分析】由平均數(shù)及百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.8.現(xiàn)有7張分別標(biāo)有的卡片，甲一次性從中隨機(jī)抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為，剩下的2張卡片數(shù)字之和為，則的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合古典概型公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，?張卡片抽2張，基本事件有，，共有個(gè)基本事件，且設(shè)的概率為，符合題意的事件有，，共9種，所以，故D正確.故選：D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查概率，解題關(guān)鍵是合理消元，轉(zhuǎn)化條件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知事件兩兩互斥，若，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【詳解】對于A，因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故A錯誤.對于B，由，得，故B正確.對于D，由，得，故D正確.對于C，因?yàn)椋訡正確.故選：BCD10.已知正方體的棱長為2，E是正方形的中心，F(xiàn)是棱CD(包含頂點(diǎn))上的動點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.EF的最小值為B.存在點(diǎn)F，使EF⊥C.三棱錐的體積是定值D.直線EF與平面所成角的正切最大值為【正確答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到F為CD中點(diǎn)時(shí)，EF取得最小值，由勾股定理求出最小值；B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，證明線面垂直，得到⊥，⊥EF；C選項(xiàng)，根據(jù)的面積不變，點(diǎn)E到平面距離不變，得到三棱錐體積不變；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，證明出當(dāng)與重合時(shí)，平面，由對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C或D重合時(shí)，直線EF與平面所成角最大，故正切值最大，求出各邊長，得到正切最大值.【詳解】對于A，取的中點(diǎn)，連接，則⊥平面，連接FM，顯然F為CD中點(diǎn)時(shí)，EF取得最小值，此時(shí)，故A不正確．B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，因⊥，又⊥平面，平面，故⊥，又，平面，故⊥平面，又平面，所以⊥，所以⊥EF，所以B正確；C選項(xiàng)，的面積不變，點(diǎn)E到平面(平面)的距離不變，所以三棱錐的體積是定值，所以C正確；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，則，，取的中點(diǎn)，連接，則，故四邊形為平行四邊形，故，由于平面，平面，故平面，故當(dāng)與重合時(shí)，平面，由對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C或D重合時(shí)，直線EF與平面所成角最大，故正切值最大，最大值為，所以D正確.故選：BCD．方法點(diǎn)睛：立體幾何中最值問題，一般可從三個(gè)方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個(gè)互相牽制的變量（兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.11.如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】運(yùn)用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運(yùn)算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.如圖，在某個(gè)海域，一艘漁船以海里/時(shí)的速度，沿方位角為的方向航行，行至處發(fā)現(xiàn)一個(gè)小島在其東偏南方向，半小時(shí)后到達(dá)處，發(fā)現(xiàn)小島在其東北方向，則處離小島的距離為__________海里.【正確答案】【分析】根據(jù)題意得，，，再利用正弦定理可得.【詳解】由題意及方位角可得，，，，因?yàn)闈O船以海里/時(shí)的速度航行，所以海里，由正弦定理可得，即，得海里，故答案為.13.從2011名學(xué)生中選取40名同學(xué)組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選?。合群唵坞S機(jī)抽樣從2011人中剔除11人，再將剩下的2000人按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行選取，則每個(gè)人入選的概率為______．【正確答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)抽樣可知：每個(gè)個(gè)體入選的概率均等，與抽樣方法和過程無關(guān)，即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)隨機(jī)抽樣可知：每個(gè)個(gè)體入選的概率均等，與抽樣方法和過程無關(guān)，所以每個(gè)人入選的概率為.故答案為.14.已知的內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，，為邊上一點(diǎn)，滿足，且．則的最小值為______．【正確答案】9【分析】由條件可得BD平分，利用三角形等面積轉(zhuǎn)化可得，求出代入所求式，整理后運(yùn)用基本不等式即可求得.【詳解】由得平分．因?yàn)?，故由，可得，化簡得，即，則．因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)取得最小值9．故9四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）求；（2）若的面積為，周長為8，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，由余弦定理即可求出角；（2）根據(jù)三角形面積公式可得，利用余弦定理結(jié)合完全平方公式可得，即可求.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫核?，整理得，所以，因?yàn)椋浴拘?詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以由（1）可知，，解得，所以又因?yàn)椋?，解?16已知非零向量，滿足，且，.（1）求的值；（2）證明：；（3）設(shè)與的夾角為，求及的值.【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3），.【分析】（1）由條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求；（2）由條件根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律求，再計(jì)算，由此證明結(jié)論；（3）根據(jù)模的性質(zhì)和數(shù)量積運(yùn)算律求，根據(jù)向量夾角公式求.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，故，又，所以，【小?詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，又，，，所?17.某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測評打分.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）若認(rèn)定評分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動愛好者”，評分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動愛好者”和“運(yùn)動達(dá)人”各1人的概率.【正確答案】（1），中位數(shù)是分（2）【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)中位數(shù)求法求得中位數(shù).（2）先按分層抽樣計(jì)算出、抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求得所求概率.【小問1詳解】依題意，，解得.前三組的頻率為，所以中位數(shù)為分.【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，兩者的比例是，所以抽取的名學(xué)生中，中的有人，記為；在中的有人，記為；從中抽取人，基本事件有，共種，其中恰好“運(yùn)動愛好者”和“運(yùn)動達(dá)人”各1人的是：，共種，故所求概率為.18.甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和；乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和．從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球．（1）取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)?2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？（2）取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？（注：本題中，是元音字母；是輔音字母）【正確答案】（1）（1個(gè)元音），（2個(gè)元音），（3個(gè)元音）；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)古典概型求得所有的