86雙曲線方程及其性質(zhì)（精講）

8.6雙曲線方程及其性質(zhì)【題型解讀】【知識必備】1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)必備結(jié)論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a).(4)若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.(5)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．【題型精講】【題型一雙曲線的定義及應(yīng)用】例1（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，.雙曲線上有一點，若，則______.【答案】1或13【解析】因為雙曲線：，所以a=3，所以，又因為，所以或，故答案為：1或13.例2（2022·福建高三期末）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)【答案】C【解析】設(shè)圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以點M的軌跡是以點C1(－3,0)和C2(3,0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以點M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．例3（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）若曲線C的方程為，則（

）A．當時，曲線C表示橢圓，離心率為B．當時，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為C．當時，曲線C表示圓，半徑為1D．當曲線C表示橢圓時，焦距的最大值為4【答案】BC【解析】選項A，時，曲線方程為，表示橢圓，其中，，則，離心率為，A錯；選項B，時曲線方程為表示雙曲線，漸近線方程為，即，B正確；選項C，時，曲線方程為，表示圓，半徑為1，C正確；選項D，曲線C表示橢圓時，或，時，，，，時，，，，所以，即，無最大值．D錯．故選：BC．例4（2022·河南高三高三模擬）已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當取最小值10時，面積的最大值為（）A．25 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，故，如圖所示，則，當且僅當，，三點共線時取等號，∴的最小值為，∴，即，當且僅當時，等號成立，而到漸近線的距離，又，故，∴，即面積的最大值為.故選：B.【跟蹤精練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與該雙曲線的右支交于，兩點，若，則周長為（）A．16 B．24 C．36 D．40【答案】C【解析】因為雙曲線為，所以；由雙曲線的定義得，所以，所以周長為，故選：C.2.(2022·深圳模擬)“”是“為雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為方程表示雙曲線，所以，又當時，方程表示雙曲線，因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.故答案為：C3.（2022·全國高三模擬）已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】設(shè)右焦點為F'，則F'(4，0)，依題意，有PF|=|PF'|+4，

|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(當P在線段AF'上時，取等號)

故|PF|+|PA|的最小值為9.故答案為：A

4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓的軌跡方程是（

）A．（） B．（）C． D．【答案】D【解析】設(shè)動圓的半徑為，由題意知，圓的圓心坐標為，半徑為4．動圓與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以，所以，即動點到兩定點的距離之差為常數(shù)4，所以點在以，為焦點的雙曲線上，所以，，所以，所以動圓的軌跡方程是．故選：D.【題型二焦點三角形問題】例5（2022·青島高三模擬）已知、為雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則的面積為____________【答案】【解析】雙曲線，則，所以，利用雙曲線定義知，，兩邊平方得，且，由余弦定理，解得：，則.故答案為：例6（2022·山東日照高三模擬）已知?是雙曲線的左?右焦點，點為雙曲線右支上一點，且在以為直徑的圓上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：設(shè)，，則.由雙曲線定義知，，又，故，由于在以為直徑的圓上，所以，故有從而解法二：同解法一，得到，，則，從而得到雙曲線方程為.設(shè)，聯(lián)立，解得，即.因此，選項A正確.故選：A【跟蹤精練】1．（2022·武功縣普集高級中學(xué)期末）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線，∴，又點P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故答案為：B.2．（2022·全國高三模擬）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，為雙曲線上一點，且，則___________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，不妨設(shè)，，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義、余弦定理、三角形的面積公式得，，，，，，，，由于，所以，所以.故答案為：【題型三雙曲線的標準方程】方法技巧求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．例7（2022·全國高三專題練習(xí)）若雙曲線經(jīng)過點(3，eq\r(2))，且漸近線方程是y＝±eq\f(1,3)x，則雙曲線的標準方程是________．【答案】y2－eq\f(x2,9)＝1【解析】設(shè)雙曲線的方程是y2－eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因為雙曲線過點(3，eq\r(2))，所以λ＝2－eq\f(9,9)＝1，故雙曲線的標準方程為y2－eq\f(x2,9)＝1.例8（2022·全國高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：（，）的左焦點為F，直線過點F且與雙曲線C在第二象限的交點為P，，其中O為坐標原點，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)左焦點F的坐標為，由點F過直線，所以，解得，設(shè)右焦點為N，連接，，.由，故三角形為直角三角形，即，又因為直線斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則.又，則，，由雙曲線定義，則，所以，所以所以雙曲線C的方程為.故答案為：D.【題型精練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點P(3,2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的雙曲線的標準方程為________．【答案】eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1【解析】設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.2.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知中心在原點的雙曲線的離心率為2，右頂點為，過的左焦點作軸的垂線，且與交于，兩點，若的面積為9，則的標準方程為.【答案】【解析】設(shè)雙曲線標準方程為令，則，得，所以，易知，所以…①，又…②，…③，聯(lián)立①②③求解得，所以雙曲線方程為。故答案為：。3.（2022·山西太原五中高三期末）在平面直角坐標系中，已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，設(shè)點的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【解析】因為在線段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：【題型四雙曲線的幾何性質(zhì)】方法技巧求雙曲線的離心率的方法求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．例9（2022·湖北模擬）已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，過的直線與的左支交于、兩點，且，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，；根據(jù)雙曲線的定義，，所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的漸近線方程為.故答案為：C．例10（2022·江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）已知，是雙曲線的左?右焦點，點P在雙曲線的右支上，且，，則雙曲線C的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故答案為：C.例11(2022·濱州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)【答案】A【解析】在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝eq\f(c,a)<2，又e>1，所以1<e<2.【題型精練】1.（2022·德陽三模）設(shè)雙曲線的右焦點是F，左?右頂點分別是，過作軸的垂線與雙曲線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，將，代入雙曲線，得，不妨取，，又，，∴的斜率分別為：，，因為，故，即，即，所以，故漸近線方程是.故答案為：C2.（2022·江西·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點為，右焦點為，，為雙曲線右支上一點，為坐標原點，滿足，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】∵，O為的中點，∴△為直角三角形，設(shè)，則，則，∴，∴e＝.故答案為：B.3.(2022·威海模擬)若雙曲線C1：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，＋∞))【答案】D【解析】因為雙曲線C1：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，為使雙曲線C1：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點，只需eq\f(b,a)>eq\f(2,3)，則離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq\r(1＋\f(4,9))＝eq\f(\r(13),3).【題型五直線與雙曲線的位置關(guān)系】例12（2022·湖北模擬）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立整理得，因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，所以，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：D.例13（2022·江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，當，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；當，此時，解得或，所以時直線與雙曲線無交點；故選：A【題型精練】1.（2022·德陽三模）直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，因為直線過原點且與雙曲線沒有交點，故需滿足，故答案為：2.（2022·江西·高三開學(xué)考試）設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，則k的取值范圍為___________.【答案】【解析】聯(lián)立消去y：，，得到，又直線不與漸近線平行，所以.故答案為：.【題型六弦長與中點弦】例14（2022·湖北模擬）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．【答案】【解析】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：例15（2022·江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設(shè)點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.故選：C【題型精練】1.（2022·德陽三模）已知雙曲線的左?右焦點分別為過左焦點作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，則，，兩式相減可得，為線段的中點，，，，又，，，即，，故選：D.2.（2022·江西·高三開學(xué)考試）（多選）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點作直線交該雙曲線于和兩點，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．該雙曲線的焦點在哪個軸不能確定B．該雙曲線的離心率為C．若和在雙曲線的同一支上，則D．若和分別在雙曲線的兩支上，則【答案】BC【解析】對于A選項，若雙曲線的焦點在軸上，則，可得，且有，解得，則雙曲線的方程為，其焦點在軸上；若雙曲線的焦點在軸上，則雙曲線的標準方程為，則，可得，且有，無解，A錯；對于B選項，，，，所以，雙曲線的離心率為，B對；對于CD選項，當直線不