專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)常用結(jié)論及其應(yīng)用（一）（學(xué)生版）

專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)常用結(jié)論及其應(yīng)用（一）專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)常用結(jié)論及其應(yīng)用（一）【微點(diǎn)綜述】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要研究對象，其中具有相同焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現(xiàn)綜合運(yùn)用能力，學(xué)生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關(guān)的結(jié)論，通過具體例子說明結(jié)論的應(yīng)用，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考．一、常用結(jié)論【結(jié)論1】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結(jié)論2】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式得．【結(jié)論3】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則．證明：由結(jié)論2得，又．注意到．【結(jié)論4】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則．證明：．【評注】結(jié)論4反映之間的等量關(guān)系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結(jié)論5】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點(diǎn)三角形面積公式運(yùn)用面積公式，設(shè)橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結(jié)論6】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．證明：橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點(diǎn)處的切線，該切線的斜率為，；又由結(jié)論1得，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．【結(jié)論7】若點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，且它們在點(diǎn)處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．二、應(yīng)用舉例共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問題一般有如下八類題型：（一）公共點(diǎn)問題；（二）公共焦點(diǎn)三角形問題；（三）角度問題；（四）公共點(diǎn)處切線有關(guān)問題；（五）求離心率的值（或取值范圍）；（六）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題；（七）求（為正常數(shù)）型最值問題；（八）求（為正常數(shù)）型最值問題.下面我們舉例說明題型（一）至（三）及其解題方法．（一）公共點(diǎn)問題1．已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，則___________．（二）公共焦點(diǎn)三角形問題2．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，則的面積為_________，的形狀是_________．例3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）3．已知?，設(shè)P是橢圓與雙曲線的交點(diǎn)之一，則___________.4．橢圖與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．（三）角度問題5．設(shè)橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P是與的一個公共點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．例6．（2022浙江嘉興市·高二月考）6．設(shè)橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，是兩條曲線的一個公共點(diǎn)，則等于__________．【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題（2023·全國·高三專題練習(xí)）7．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．（2022·廣東·惠來縣第一中學(xué)高二月考）8．已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)它們在第一象限的交點(diǎn)為，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．9．若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，P是兩條曲線的一個交點(diǎn)，則的面積是A． B． C． D．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））10．已知雙曲線與共焦點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．（2022·四川·閬中中學(xué)高二月考（文））11．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，，是兩曲線的一個交點(diǎn)，則的值為（

）A． B．C． D．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二月考）12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（

）A． B．C． D．（2022河北·滄州市一中高二月考）13．若，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，且P是與一個交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．（2022廣東·石門中學(xué)高二月考）14．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的離心率為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1二、多選題（2022江蘇·高二專題練習(xí)）15．若雙曲線與橢圓有相同的左右焦點(diǎn)，，且，在第一象限相交于點(diǎn)，則（

）A． B．的漸近線方程為C．直線與有兩個公共點(diǎn) D．的面積為（2022·全國·高三專題練習(xí)）16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，下列說法中正確的有（

）A．若a＝2，b＝，且，則B．若a＝2，b＝，且，則C．若a＝5，m＝，則D．若，且，則三、填空題（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）17．與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線方程為______．18．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，若為兩曲線的一個交點(diǎn)，則______.19．已知有相同焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線，點(diǎn)P是它們的一個交點(diǎn)，則面積的大小是________．（2016·上海市延安中學(xué)三模（文））20．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，兩曲線在第一象限交于點(diǎn)，是的角平分線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直射線于點(diǎn)，若，則_________．21．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個交點(diǎn)，若，則的值為_____________.（2022寧夏中衛(wèi)·三模（理））2