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文檔簡介

2017年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學二模試卷一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7~12題每題5分)考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.函數(shù)y=2sin2(2x)﹣1的最小正周期是.2.設i為虛數(shù)單位,復數(shù),則|z|=.3.設f﹣1(x)為的反函數(shù),則f﹣1(1)=.4.=.5.若圓錐的側面積是底面積的2倍,則其母線與軸所成角的大小是.6.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=,則=.7.直線(t為參數(shù))與曲線(θ為參數(shù))的公共點的個數(shù)是.8.已知雙曲線C1與雙曲線C2的焦點重合,C1的方程為,若C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍,則C2的方程為.9.若,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是.10.某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立,則至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.11.設等差數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),前n項和為Sn,公差為d.若數(shù)列也是公差為d的等差數(shù)列,則{an}的通項公式為an=.12.設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù)(如[2.32]=2,[﹣4.76]=﹣5),對于給定的n∈N*,定義C=,其中x∈[1,+∞),則當時,函數(shù)f(x)=C的值域是.二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置,將代表正確選項的小方格涂黑.13.命題“若x=1,則x2﹣3x+2=0”的逆否命題是()A.若x≠1,則x2﹣3x+2≠0 B.若x2﹣3x+2=0,則x=1C.若x2﹣3x+2=0,則x≠1 D.若x2﹣3x+2≠0,則x≠114.如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、E是AB的三等分點,G、N是CD的三等分點,F、H分別是BC、MN的中點,則四棱錐A1﹣EFGH的左視圖是()A. B. C.?D.15.已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,D、P是△ABC內部兩點,且滿足,,則△ADP的面積為()A. B.?C.?D.16.已知f(x)是偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),若f(ax+1)≤f(x﹣2)在上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[﹣2,1] B.[﹣2,0] C.[﹣1,1]?D.[﹣1,0]三、解答題(本大題共有5題,滿分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a﹣b=2,c=4,sinA=2sinB.(Ⅰ)求△ABC的面積;(Ⅱ)求sin(2A﹣B).18.如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=8,BC=5,AA1=4,平面α截長方體得到一個矩形EFGH,且A1E=D1F=2,AH=DG=5.(1)求截面EFGH把該長方體分成的兩部分體積之比;(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.19.如圖,已知橢圓C:(a>b>0)過點,兩個焦點為F1(﹣1,0)和F2(1,0).圓O的方程為x2+y2=a2.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過F1且斜率為k(k>0)的動直線l與橢圓C交于A、B兩點,與圓O交于P、Q兩點(點A、P在x軸上方),當|AF2|,|BF2|,|AB|成等差數(shù)列時,求弦PQ的長.20.如果函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且存在實常數(shù)a,使得對于定義域內任意x,都有f(x+a)=f(﹣x)成立,則稱此函數(shù)f(x)具有“P(a)性質”.(1)判斷函數(shù)y=cosx是否具有“P(a)性質”,若具有“P(a)性質”,求出所有a的值的集合;若不具有“P(a)性質”,請說明理由;(2)已知函數(shù)y=f(x)具有“P(0)性質”,且當x≤0時,f(x)=(x+m)2,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1]上的值域;(3)已知函數(shù)y=g(x)既具有“P(0)性質”,又具有“P(2)性質”,且當﹣1≤x≤1時,g(x)=|x|,若函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=px有2017個公共點,求實數(shù)p的值.21.給定數(shù)列{an},若滿足a1=a(a>0且a≠1),對于任意的n,m∈N*,都有an+m=an?am,則稱數(shù)列{an}為指數(shù)數(shù)列.(1)已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為,,試判斷{an},{bn}是不是指數(shù)數(shù)列(需說明理由);(2)若數(shù)列{an}滿足:a1=2,a2=4,an+2=3an+1﹣2an,證明:{an}是指數(shù)數(shù)列;(3)若數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列,(t∈N*),證明:數(shù)列{an}中任意三項都不能構成等差數(shù)列.2017年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7~12題每題5分)考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.函數(shù)y=2sin2(2x)﹣1的最小正周期是.【考點】H1:三角函數(shù)的周期性及其求法.【分析】利用二倍角公式基本公式將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,【解答】解:函數(shù)y=2sin2(2x)﹣1,化簡可得:y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x;∴最小正周期T=.故答案為2.設i為虛數(shù)單位,復數(shù),則|z|=1.【考點】A8:復數(shù)求模.【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出.【解答】解:復數(shù)===﹣i,則|z|=1.故答案為:1.3.設f﹣1(x)為的反函數(shù),則f﹣1(1)=1.【考點】4R:反函數(shù).【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質,原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域即可求解【解答】解:的反函數(shù),其反函數(shù)f﹣1(x),反函數(shù)的性質,反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域,即.可得:x=1,∴f﹣1(x)=1.故答案為1.4.=3.【考點】8J:數(shù)列的極限.【分析】通過分子分母同除3n+1,利用數(shù)列極限的運算法則求解即可.【解答】解:===3.故答案為:3.5.若圓錐的側面積是底面積的2倍,則其母線與軸所成角的大小是30°.【考點】MI:直線與平面所成的角.【分析】根據(jù)圓錐的底面積公式和側面積公式,結合已知可得l=2R,進而解母線與底面所成角,然后求解母線與軸所成角即可.【解答】解:設圓錐的底面半徑為R,母線長為l,則:其底面積:S底面積=πR2,其側面積:S側面積=2πRl=πRl,∵圓錐的側面積是其底面積的2倍,∴l(xiāng)=2R,故該圓錐的母線與底面所成的角θ有,cosθ==,∴θ=60°,母線與軸所成角的大小是:30°.故答案為:30°.6.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=,則=.【考點】85:等差數(shù)列的前n項和.【分析】=,可得3(a1+4d)=5(a1+2d),化為:a1=d.再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.【解答】解:∵=,∴3(a1+4d)=5(a1+2d),化為:a1=d.則==.故答案為:.7.直線(t為參數(shù))與曲線(θ為參數(shù))的公共點的個數(shù)是1.【考點】QK:圓的參數(shù)方程;QJ:直線的參數(shù)方程.【分析】根據(jù)題意,將直線的參數(shù)方程變形為普通方程,再將曲線的參數(shù)方程變形為普通方程,分析可得該曲線為圓,且圓心坐標為(3,5),半徑r=,求出圓心到直線的俄距離,分析可得直線與圓相切,即可得直線與圓有1個公共點,即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,直線的參數(shù)方程為,則其普通方程為x+y﹣6=0,曲線的參數(shù)方程為,則其普通方程為(x﹣3)2+(y﹣5)2=2,該曲線為圓,且圓心坐標為(3,5),半徑r=,圓心到直線x+y﹣6=0的距離d===r,則圓(x﹣3)2+(y﹣5)2=2與直線x+y﹣6=0相切,有1個公共點;故答案為:1.8.已知雙曲線C1與雙曲線C2的焦點重合,C1的方程為,若C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍,則C2的方程為.【考點】KC:雙曲線的簡單性質.【分析】求出雙曲線的焦點坐標,利用漸近線的傾斜角的關系,列出方程,然后求解即可.【解答】解:雙曲線C1與雙曲線C2的焦點重合,C1的方程為,焦點坐標(±2,0).雙曲線C1的一條漸近線為:y=,傾斜角為30°,C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍,可得C2的漸近線y=.可得,c=2,解得a=1,b=,所求雙曲線方程為:.故答案為:.9.若,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是(1,+∞).【考點】7E:其他不等式的解法.【分析】由已知得到關于x的不等式,化為根式不等式,然后化為整式不等式解之.【解答】解:由f(x)>0得到即,所以,解得x>1;故x的取值范圍為(1,+∞);故答案為:(1,+∞);10.某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立,則至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.【考點】C9:相互獨立事件的概率乘法公式.【分析】利用對立事件的概率公式,計算即可,【解答】解:設至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對立事件,則事件B為一種新產(chǎn)品都沒有成功,因為甲乙研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.則P(B)=(1﹣)(1﹣)=,再根據(jù)對立事件的概率之間的公式可得P(A)=1﹣P(B)=,故至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.故答案為.11.設等差數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),前n項和為Sn,公差為d.若數(shù)列也是公差為d的等差數(shù)列,則{an}的通項公式為an=.【考點】84:等差數(shù)列的通項公式.【分析】由題意可得:Sn=na1+d.a(chǎn)n>0.=+(n﹣1)d,化簡n≠1時可得:a1=(n﹣1)d2+2d﹣d.分別令n=2,3,解出即可得出.【解答】解:由題意可得:Sn=na1+d.an>0.=+(n﹣1)d,可得:Sn=a1+(n﹣1)2d2+2(n﹣1)d.∴na1+d=a1+(n﹣1)2d2+2(n﹣1)d.n≠1時可得:a1=(n﹣1)d2+2d﹣d.分別令n=2,3,可得:a1=d2+2d﹣d,a1=2d2+2d﹣d.解得a1=,d=.∴an=+(n﹣1)=.故答案為:.12.設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù)(如[2.32]=2,[﹣4.76]=﹣5),對于給定的n∈N*,定義C=,其中x∈[1,+∞),則當時,函數(shù)f(x)=C的值域是.【考點】57:函數(shù)與方程的綜合運用.【分析】分類討論,根據(jù)定義化簡Cxn,求出Cx10的表達式,再利用函數(shù)的單調性求出Cx10的值域.【解答】解:當x∈[,2)時,[x]=1,∴f(x)=C=,當x∈[,2)時,f(x)是減函數(shù),∴f(x)∈(5,);當x∈[2,3)時,[x]=2,∴f(x)=C=,當x∈[2,3)時,f(x)是減函數(shù),∴f(x)∈(15,45];∴當時,函數(shù)f(x)=C的值域是,故答案為:.二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置,將代表正確選項的小方格涂黑.13.命題“若x=1,則x2﹣3x+2=0”的逆否命題是()A.若x≠1,則x2﹣3x+2≠0?B.若x2﹣3x+2=0,則x=1C.若x2﹣3x+2=0,則x≠1?D.若x2﹣3x+2≠0,則x≠1【考點】25:四種命題間的逆否關系.【分析】根據(jù)逆否命題的定義,我們易求出命題的逆否命題【解答】解:將命題的條件與結論交換,并且否定可得逆否命題:若x2﹣3x+2≠0,則x≠1故選:D14.如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、E是AB的三等分點,G、N是CD的三等分點,F、H分別是BC、MN的中點,則四棱錐A1﹣EFGH的左視圖是()A. B.?C. D.【考點】L7:簡單空間圖形的三視圖.【分析】確定5個頂點在面DCC1D1上的投影,即可得出結論.【解答】解:A1在面DCC1D1上的投影為點D1,E在面DCC1D1的投影為點G,F在面DCC1D1上的投影為點C,H在面DCC1D1上的投影為點N,因此側視圖為選項C的圖形.故選C15.已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,D、P是△ABC內部兩點,且滿足,,則△ADP的面積為()A. B.?C.?D.【考點】9V:向量在幾何中的應用.【分析】以A為原點,以BC的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系.由于等邊三角形△的邊長為4,可得B,C的坐標,再利用向量的坐標運算和數(shù)乘運算可得,,利用△APD的面積公式即可得出.【解答】解:以A為原點,以BC的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系.∵等邊三角形△的邊長為4,∴B(﹣2,﹣2),C(2,﹣2),由足=[(﹣2,﹣2)+(2,﹣2)]=(0,﹣),=(0,﹣)+(4,0)=(,﹣),∴△ADP的面積為S=||?||=××=,故選:A.16.已知f(x)是偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),若f(ax+1)≤f(x﹣2)在上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[﹣2,1] B.[﹣2,0] C.[﹣1,1]?D.[﹣1,0]【考點】3N:奇偶性與單調性的綜合.【分析】因為偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反,根據(jù)已知中f(x)是偶函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),易得f(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù),又由若時,不等式f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,結合函數(shù)恒成立的條件,求出時f(x﹣2)的最小值,從而可以構造一個關于a的不等式,解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍.【解答】解:∵f(x)是偶函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù),當時,x﹣2∈[﹣,﹣1],故f(x﹣2)≥f(﹣1)=f(1),若時,不等式f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,則當時,|ax+1|≤1恒成立,∴﹣1≤ax+1≤1,∴≤a≤0,∴﹣2≤a≤0,故選B.三、解答題(本大題共有5題,滿分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a﹣b=2,c=4,sinA=2sinB.(Ⅰ)求△ABC的面積;(Ⅱ)求sin(2A﹣B).【考點】GL:三角函數(shù)中的恒等變換應用.【分析】解法一:(I)由已知及正弦定理可求a,b的值,由余弦定理可求cosB,從而可求sinB,即可由三角形面積公式求解.(II)由余弦定理可得cosA,從而可求sinA,sin2A,cos2A,由兩角差的正弦公式即可求sin(2A﹣B)的值.解法二:(I)由已知及正弦定理可求a,b的值,又c=4,可知△ABC為等腰三角形,作BD⊥AC于D,可求BD==,即可求三角形面積.(II)由余弦定理可得cosB,即可求sinB,由(I)知A=C?2A﹣B=π﹣2B.從而sin(2A﹣B)=sin(π﹣2B)=sin2B,代入即可求值.【解答】解:解法一:(I)由sinA=2sinB?a=2b.又∵a﹣b=2,∴a=4,b=2.cosB===.sinB===.∴S△ABC=acsinB==.(II)cosA===.sinA===.sin2A=2sinAcosA=2×.cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣.∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.解法二:(I)由sinA=2sinB?a=2b.又∵a﹣b=2,∴a=4,b=2.又c=4,可知△ABC為等腰三角形.作BD⊥AC于D,則BD===.∴S△ABC==.(II)cosB===.sinB===.由(I)知A=C?2A﹣B=π﹣2B.∴sin(2A﹣B)=sin(π﹣2B)=sin2B=2sinBcosB=2××=.18.如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=8,BC=5,AA1=4,平面α截長方體得到一個矩形EFGH,且A1E=D1F=2,AH=DG=5.(1)求截面EFGH把該長方體分成的兩部分體積之比;(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.【考點】MI:直線與平面所成的角;LF:棱柱、棱錐、棱臺的體積.【分析】(1)由題意,平面α把長方體分成兩個高為5的直四棱柱,轉化求解體積推出結果即可.(2)解法一:作AM⊥EH,垂足為M,證明HG⊥AM,推出AM⊥平面EFGH.通過計算求出AM=4.AF,設直線AF與平面α所成角為θ,求解即可.解法二:以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,求出平面α一個法向量,利用直線AF與平面α所成角為θ,通過空間向量的數(shù)量積求解即可.【解答】(本題滿分,第1小題滿分,第2小題滿分8分)解:(1)由題意,平面α把長方體分成兩個高為5的直四棱柱,,…,…所以,.…(2)解法一:作AM⊥EH,垂足為M,由題意,HG⊥平面ABB1A1,故HG⊥AM,所以AM⊥平面EFGH.…因為,,所以S△AEH=10,)因為EH=5,所以AM=4.…又,…設直線AF與平面α所成角為θ,則.…所以,直線AF與平面α所成角的正弦值為.…解法二:以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(5,0,0),H(5,5,0),E(5,2,4),F(0,2,4),…故,,…設平面α一個法向量為,則即所以可取.…設直線AF與平面α所成角為θ,則.…所以,直線AF與平面α所成角的正弦值為.…19.如圖,已知橢圓C:(a>b>0)過點,兩個焦點為F1(﹣1,0)和F2(1,0).圓O的方程為x2+y2=a2.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過F1且斜率為k(k>0)的動直線l與橢圓C交于A、B兩點,與圓O交于P、Q兩點(點A、P在x軸上方),當|AF2|,|BF2|,|AB|成等差數(shù)列時,求弦PQ的長.【考點】KH:直線與圓錐曲線的綜合問題;K3:橢圓的標準方程;KL:直線與橢圓的位置關系.【分析】(1)求出c=1,設橢圓C的方程為,將點代入,解得a2=4,然后求解橢圓C的方程.(2)由橢圓定義,|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,通過|AF2|,|BF2|,|AB|成等差數(shù)列,推出.設B(x0,y0),通過解得B,然后求解直線方程,推出弦PQ的長即可.【解答】(本題滿分,第1小題滿分,第2小題滿分8分)解:(1)由題意,c=1,…設橢圓C的方程為,將點代入,解得a2=4(舍去),…所以,橢圓C的方程為.…(2)由橢圓定義,|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,兩式相加,得|AB|+|AF2|+|BF2|=8,因為|AF2|,|BF2|,|AB|成等差數(shù)列,所以|AB|+|AF2|=2|BF2|,于是3|BF2|=8,即.…設B(x0,y0),由解得,…(或設,則,解得,,所以).所以,,直線l的方程為,即,…圓O的方程為x2+y2=4,圓心O到直線l的距離,…此時,弦PQ的長.…20.如果函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且存在實常數(shù)a,使得對于定義域內任意x,都有f(x+a)=f(﹣x)成立,則稱此函數(shù)f(x)具有“P(a)性質”.(1)判斷函數(shù)y=cosx是否具有“P(a)性質”,若具有“P(a)性質”,求出所有a的值的集合;若不具有“P(a)性質”,請說明理由;(2)已知函數(shù)y=f(x)具有“P(0)性質”,且當x≤0時,f(x)=(x+m)2,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1]上的值域;(3)已知函數(shù)y=g(x)既具有“P(0)性質”,又具有“P(2)性質”,且當﹣1≤x≤1時,g(x)=|x|,若函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=px有2017個公共點,求實數(shù)p的值.【考點】57:函數(shù)與方程的綜合運用.【分析】(1)根據(jù)題意可知cos(x+a)=cos(﹣x)=cosx,故而a=2kπ,k∈Z;(2)由新定義可推出f(x)為偶函數(shù),從而求出f(x)在[0,1]上的解析式,討論m與[0,1]的關系判斷f(x)的單調性得出f(x)的最值;(3)根據(jù)新定義可知g(x)為周期為2的偶函數(shù),作出g(x)的函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)圖象得出p的值.【解答】解:(1)假設y=cosx具有“P(a)性質”,則cos(x+a)=cos(﹣x)=cosx恒成立,∵cos(x+2kπ)=cosx,∴函數(shù)y=cosx具有“P(a)性質”,且所有a的值的集合為{a|a=2kπ,k∈Z}.(2)因為函數(shù)y=f(x)具有“P(0)性質”,所以f(x)=f(﹣x)恒成立,∴y=f(x)是偶函數(shù).設0≤x≤1,則﹣x≤0,∴f(x)=f(﹣x)=(﹣x+m)2=(x﹣m)2.①當m≤0時,函數(shù)y=f(x)在[0,1]上遞增,值域為[m2,(1﹣m)2].②當時,函數(shù)y=f(x)在[0,m]上遞減,在[m,1]上遞增,ymin=f(m)=0,,值域為[0,(1﹣m)2].③當時,ymin=f(m)=0,,值域為[0,m2].④m>1時,函數(shù)y=f(x)在[0,1]上遞減,值域為[(1﹣m)2,m2].(3)∵y=g(x)既具有“P(0)性質”,即g(x)=g(﹣x),∴函數(shù)y=g(x)偶函數(shù),又y=g(x)既具有“P(2)性質”,即g(x+2)=g(﹣x)=g(x),∴函數(shù)y=g(x)是以2為周期的函數(shù).作出函數(shù)y=g(x)的圖象如圖所示:由圖象可知,當p=0時,函數(shù)y=g(x)與直線y=px交于點(2k,0)(k∈Z),即有無數(shù)個交點,不合題意.當p>0時,在區(qū)間[0,2016]上,函數(shù)y=g(x)有1008個周期,要使函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=px有2017

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