2021-2022版高中數(shù)學(xué)-第二章-數(shù)列-2.2.1-等差數(shù)列學(xué)案-新人教A版必修5

2021-2022版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列學(xué)案新人教A版必修52021-2022版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列學(xué)案新人教A版必修52022版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列學(xué)案新人教A版必修52021-2022版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列學(xué)案新人教A版必修5年級(jí)：姓名：2.2等差數(shù)列第1課時(shí)等差數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解等差中項(xiàng)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.等差數(shù)列的定義是什么?2.等差中項(xiàng)的含義是什么?3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?1.等差數(shù)列(1)定義.條件一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)結(jié)論這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列有關(guān)概念這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示(2)作用:①證明一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列;②推出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì).(1)為什么強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”?提示:①第1項(xiàng)前面沒(méi)有項(xiàng),無(wú)法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合;②定義中包括首項(xiàng)這一基本量,且必須從第2項(xiàng)起保證使數(shù)列中各項(xiàng)均與其前面一項(xiàng)作差.(2)如何理解“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”?提示:它的含義也有兩個(gè):其一是強(qiáng)調(diào)作差的順序,即后面的項(xiàng)減前面的項(xiàng);其二是強(qiáng)調(diào)這兩項(xiàng)必須相鄰.2.等差中項(xiàng)(1)前提:三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列.(2)結(jié)論:A叫做a與b的等差中項(xiàng).(3)滿(mǎn)足的關(guān)系式:A=

QUOTE.

3.等差數(shù)列的表示前提等差數(shù)列{an},首項(xiàng)是a1,公差為d通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d(n∈N*)遞推公式an+1-an=d(n∈N*)等差數(shù)列an=pn+q(n∈N*)的圖象與一次型函數(shù)y=px+q的圖象有什么關(guān)系?提示:等差數(shù)列an=pn+q的圖象是一次型函數(shù)y=px+q圖象中橫坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)的集合.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)若一個(gè)數(shù)列每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù),則該數(shù)列是等差數(shù)列. ()(2)常數(shù)列也是等差數(shù)列. ()(3)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng). ()(4)若三個(gè)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足2b=a+c,則a,b,c一定是等差數(shù)列. ()提示:(1)×.如數(shù)列2,7,9,1.雖然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù),但不是同一個(gè)常數(shù),故不是等差數(shù)列.(2)√.因?yàn)閺牡?項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)0.(3)√.只需將項(xiàng)數(shù)n代入即可求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).(4)√.若a,b,c滿(mǎn)足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c為等差數(shù)列.2.下列數(shù)列是等差數(shù)列的是 ()A.QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE B.1,QUOTE,QUOTE,QUOTEC.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0【解析】選D.因?yàn)镼UOTE-QUOTE≠Q(mào)UOTE-QUOTE,故排除A;因?yàn)镼UOTE-1≠Q(mào)UOTE-QUOTE,故排除B;因?yàn)?1-1≠1-(-1),故排除C.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)等差數(shù)列1,-3,-7,…的通項(xiàng)公式為,a20=.

【解析】因?yàn)閐=-3-1=-4,a1=1,所以an=1-4(n-1)=-4n+5.所以a20=-80+5=-75.答案:an=-4n+5-75關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)【典例】1.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,則a1=.

2.數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.證明:{bn}是等差數(shù)列.【思路導(dǎo)引】1.由an和an+1的關(guān)系判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列及其公差,由第三項(xiàng)求第一項(xiàng);2.依據(jù)等差數(shù)列的定義,由題目條件推導(dǎo)bn+1-bn為常數(shù).【解析】1.因?yàn)閍n+1-an=2,n∈N*,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其公差為2,因?yàn)閍3=a1+2×2=3,所以a1=-1.答案:-12.由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.所以bn+1-bn=2,又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.將本例2的條件“a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.”改為“a1=QUOTE,anan-1=an-1-an(n≥2),bn=QUOTE”如何解答?【解析】因?yàn)閍nan-1=an-1-an(n≥2),所以QUOTE-QUOTE=1(n≥2),又因?yàn)閎n=QUOTE,所以bn+1-bn=1(n∈N*)且b1=QUOTE=2.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為2,公差為1.定義法判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列的步驟(1)作差an+1-an;(2)對(duì)差式進(jìn)行變形;(3)當(dāng)an+1-an是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當(dāng)an+1-an不是常數(shù),是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí),數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.1.若數(shù)列{an}滿(mǎn)足3an+1=3an+1,則數(shù)列{an}是 ()A.公差為1的等差數(shù)列B.公差為QUOTE的等差數(shù)列C.公差為-QUOTE的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列【解析】選B.由3an+1=3an+1得3an+1-3an=1,即an+1-an=QUOTE.所以數(shù)列{an}是公差為QUOTE的等差數(shù)列.2.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=10+lg2n(n∈N*),求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列.【證明】因?yàn)閍n=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.以下選項(xiàng)中構(gòu)不成等差數(shù)列的是 ()A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos0,cos1,cos2,cos3D.a-1,a+1,a+3【解析】選C.選項(xiàng)A是公差為0的等差數(shù)列;選項(xiàng)B是公差為a的等差數(shù)列;選項(xiàng)D是公差為2的等差數(shù)列.2.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,an+1=QUOTE(n∈N*),bn=QUOTE(n∈N*).求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出首項(xiàng)和公差.【證明】方法一:因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE+3,所以QUOTE-QUOTE=3,又因?yàn)閎n=QUOTE(n∈N*),所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1=QUOTE=QUOTE.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為QUOTE,公差為3.方法二:因?yàn)閎n=QUOTE,且an+1=QUOTE所以bn+1=QUOTE=QUOTE=QUOTE+3=bn+3,所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1=QUOTE=QUOTE.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為QUOTE,公差為3.類(lèi)型二等差中項(xiàng)及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)角度1計(jì)算問(wèn)題

【典例】在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.【思路導(dǎo)引】等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).【解析】因?yàn)?1,a,b,c,7成等差數(shù)列,所以b是-1與7的等差中項(xiàng),所以b=QUOTE=3.又a是-1與3的等差中項(xiàng),所以a=QUOTE=1.又c是3與7的等差中項(xiàng),所以c=QUOTE=5.所以該數(shù)列為-1,1,3,5,7.將本例條件改為“在1與10之間順次插入兩個(gè)數(shù)x,y,使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列”,求此數(shù)列.【解析】由已知,x是1和y的等差中項(xiàng)即2x=1+y①,y是x和10的等差中項(xiàng),即2y=x+10②,由①②可解得x=4,y=7.所以此數(shù)列為1,4,7,10.角度2證明等差數(shù)列

【典例】已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,證明QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列.【思路導(dǎo)引】由于所求證的是三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,所以可用等差中項(xiàng)來(lái)證明.【證明】因?yàn)镼UOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,化簡(jiǎn)得2ac=b(a+c),又QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2·QUOTE,所以QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列.1.等差中項(xiàng)的應(yīng)用策略(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項(xiàng)問(wèn)題可用等差中項(xiàng)求解.(2)在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng),即2an=an-1+an+1;實(shí)際上,等差數(shù)列中的某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng),即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m<n).2.等差中項(xiàng)法判定等差數(shù)列若數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an=an-1+an+1(n≥2),則可判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列.1.已知a=QUOTE,b=QUOTE,則a,b的等差中項(xiàng)為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.a,b的等差中項(xiàng)為QUOTE×QUOTE=QUOTE×(QUOTE-QUOTE+QUOTE+QUOTE)=QUOTE.2.已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,試證:a2,b2,c2也成等差數(shù)列.【證明】由已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,可得QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a,x,b,2x,則QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.QUOTE所以a=QUOTE,b=QUOTEx.所以QUOTE=QUOTE.2.若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5,求m和n的等差中項(xiàng).【解析】由m和2n的等差中項(xiàng)為4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5,得2m+n=10.兩式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.所以m和n的等差中項(xiàng)為QUOTE=3.類(lèi)型三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7.(1)求數(shù)列的第10項(xiàng);(2)問(wèn)112是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)?(3)在80到110之間有多少項(xiàng)?四步內(nèi)容理解題意條件:①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②a1+a5=8,a4=7.結(jié)論:求數(shù)列的第10項(xiàng);112是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)?在80到110之間有多少項(xiàng)?思路探求列關(guān)于a1和d的方程組求a1,d.根據(jù)a10=a1+9d求a10,由an=112求n,由80<an<110求n.書(shū)寫(xiě)表達(dá)設(shè){an}的公差為d,則QUOTE①解得QUOTE(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39.②所以112是數(shù)列{an}的第39項(xiàng).(3)由80<3n-5<110③,解得28QUOTE<n<38QUOTE,所以n的取值為29,30,…,38共10項(xiàng).注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性:①列出關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的方程組;②解方程求n,即可確定項(xiàng)數(shù);③解不等式確定n的取值,即可確定有多少項(xiàng)題后反思等差數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)均可用a1和d表示,解答等差數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題,求這兩個(gè)基本量是解題的關(guān)鍵等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四個(gè)主要應(yīng)用(1)已知an,a1,n,d中的任意三個(gè)量,求出第四個(gè)量.(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出該數(shù)列中的任意項(xiàng),也可以判斷某一個(gè)數(shù)是不是該數(shù)列中的項(xiàng).(3)根據(jù)等差數(shù)列的兩個(gè)已知條件建立關(guān)于“基本量”a1和d的方程組,求出a1和d,從而確定通項(xiàng)公式,求得所需求的項(xiàng).(4)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù),則可判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列.1.如果數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列,且a1=1,a3=-QUOTE,那么a2020= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列QUOTE的公差為d,且a1=1,a3=-QUOTE,所以QUOTE=1,QUOTE=3,所以3=1+2d,解得d=1.所以QUOTE=1+n-1=n,所以an=QUOTE-1.那么a2020=QUOTE-1=-QUOTE.2.已知{an}為等差數(shù)列,分別根據(jù)下列條件寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式:(1)a3=5,a7=13;(2)前三項(xiàng)為a,2a-1,3-a.【解析】(1)設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,則QUOTE解得QUOTE所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由等差中項(xiàng)公式得2×(2a-1)=a+(3-a),解得a=QUOTE,所以等差數(shù)列首項(xiàng)為QUOTE,公差為2a-1-a=a-1=QUOTE-1=QUOTE,所以an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE+1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】等差數(shù)列{an}中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通項(xiàng)公式an;(2)45和85是不是該數(shù)列中的項(xiàng)?若不是,說(shuō)明原因;若是,是第幾項(xiàng)?【解析】(1)在等差數(shù)列{an}中,由a3=10,a12=31,得QUOTE解得QUOTE所以an=QUOTE+QUOTE(n-1)=QUOTEn+3.(2)由an=QUOTEn+3=45,解得n=18,故45是第18項(xiàng);由an=QUOTEn+3=85,得n=QUOTE?N*,故85不是數(shù)列中的項(xiàng).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+5,則