《數(shù)學(xué)》高職院校單獨(dú)招生考試總復(fù)習(xí) 第四章

ddd第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)上篇基礎(chǔ)知識(shí)目錄1.2.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第一節(jié)第二節(jié)1.理解n次方根、n次根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，能進(jìn)行根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；理解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念，識(shí)記實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，并會(huì)利用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值.2.了解冪函數(shù)的概念，了解y=_x001A__x001B_x_x001B_和y=x3的圖像與性質(zhì).3.理解指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，會(huì)判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求函數(shù)值；會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較同底指數(shù)值的大小.4.理解對(duì)數(shù)的定義，會(huì)進(jìn)行指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化；理解常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)的定義；識(shí)記對(duì)數(shù)性質(zhì):logaa=1和loga1=0(a＞0，且a≠1)；了解積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算.5.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，會(huì)求形如f(x)=logc(ax+b)(c＞0，且c≠1)的定義域；會(huì)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較同底對(duì)數(shù)值的大小.考綱解讀本章內(nèi)容在考題中多以選擇題形式出現(xiàn)，主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有:有理指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，換底公式的運(yùn)用，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)算等.命題分析第一節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)真題在線【2019·四川省高職單招】函數(shù)y=2x的圖像大致為（）.【專家詳解】由于2＞1,所以y=2x為增函數(shù)；又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0,1）.故選A..1.定義（1）正整數(shù)指數(shù)冪:an=a·a·a·…·a(n∈N*).（2）負(fù)指數(shù)指數(shù)冪:a-n=_x001A_1_x001B_an_x001B_(a≠0,n∈N*).（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a_x001A_m_x001B_n_x001B_=_x001A_n_x001B_am_x001B_(a＞0,m，n∈N*)；a－_x001A_m_x001B_n_x001B_=_x001A_1_x001B__x001A_n_x001B_am_x001B__x001B_

(a＞0,m，n∈N*).（4）零指數(shù)冪:a0=1(a≠0).知識(shí)聚焦一、指數(shù)冪的性質(zhì)與運(yùn)算（1）aman=am+n（n∈N*）.（2）am÷an=am－n.（3）（am）n=amn（a＞0,m,n∈N*）.（4）（ab）n=anbn（a＞0,m,n∈N*）.知識(shí)聚焦2.有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)一般地，如果xn=a，那么x稱為a的n次方根，其中n＞1，n∈N*._x001A_n_x001B_a_x001B_稱為根式.n稱為根指數(shù)，a稱為被開(kāi)方數(shù).性質(zhì):（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，_x001A_n_x001B_an_x001B_=a；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，_x001A_n_x001B_an_x001B_=|a|=（2）負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.（3）零的任何次根都是零.（4）當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，_x001A_n_x001B_an_x001B_=a..知識(shí)聚焦3.根式1.冪函數(shù)的概念形如y=xα(α∈R)的函數(shù),叫作冪函數(shù),其中α為常數(shù).知識(shí)聚焦二、冪函數(shù)2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖像分布:冪函數(shù)圖像分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖像.冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖像分布在第一、二象限(圖像關(guān)于y軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖像分布在第一、三象限(圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖像只分布在第一象限.(2)過(guò)定點(diǎn):所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)(1，1).(3)單調(diào)性:如果α>0，則冪函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)，并且在［0，+∞)上為增函數(shù).如果α<0，則冪函數(shù)的圖像在(0，+∞)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖像無(wú)限接近x軸與y軸.知識(shí)聚焦二、冪函數(shù)(4)奇偶性:當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)α=_x001A_q_x001B_p

_x001B_(其中p，q互質(zhì)，p和q∈Z)，若p和q均為奇數(shù)時(shí)，y=x_x001A_q_x001B_p

_x001B_是奇函數(shù)；若p為奇數(shù)q為偶數(shù)，則y=xqp是偶函數(shù)；若p為偶數(shù)q為奇數(shù)，則y=x_x001A_q_x001B_p

_x001B_是非奇非偶函數(shù).(5)圖像特征:冪函數(shù)y=xα,x∈(0，+∞)，當(dāng)α>1時(shí)，若0<x<1，其圖像在直線y=x下方，若x>1，其圖像在直線y=x上方；當(dāng)α<1時(shí)，若0<x<1，其圖像在直線y=x上方，若x>1，其圖像在直線y=x下方.知識(shí)聚焦二、冪函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的概念y=ax(a>0,且a≠1),例如,y=2x,y=(_x001A_1_x001B_3_x001B_x).知識(shí)聚焦三、指數(shù)函數(shù)知識(shí)聚焦2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)典例解析【例1】計(jì)算:(2_x001A_1_x001B_4_x001B_）0.5+（0.1）-2-（2_x001A__x001B_2_x001B_）-_x001A_2_x001B_3_x001B_-(_x001A_1_x001B_2_x001B_)-3+（_x001A__x001B_2_x001B_+1）0.

A.冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)（0,0）,（1,1）兩點(diǎn)B.冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限C.當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα的值隨x增大而增大D.當(dāng)α=0時(shí),冪函數(shù)y=xα的圖像是一條直線【解析】當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)圖像才經(jīng)過(guò)（0,0）,（1,1）兩點(diǎn),此時(shí)函數(shù)在（0,+∞）內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)圖像只經(jīng)過(guò)（1,1）點(diǎn),此時(shí)函數(shù)在（0,+∞）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)α=0時(shí),圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）.而當(dāng)x>0時(shí),y>0,故本題選B.典例解析【例2】下列結(jié)論中正確的是().（1）0.7-0.9與0.7-1.2;(2)3_x001A_1_x001B_4_x001B_與3_x001A_1_x001B_5_x001B_.【解析】（1）設(shè)f(x)=0.7x,因?yàn)?<0.7<1,所以函數(shù)f(x)=0.7x是減函數(shù).因?yàn)?0.9>-1.2,所以0.7-0.9<0.7-1.2.(2)設(shè)f(x)=3x,因?yàn)?>1,所以函數(shù)f(x)=3x是增函數(shù).因?yàn)開(kāi)x001A_1_x001B_4_x001B_>_x001A_1_x001B_5_x001B_,所以3_x001A_1_x001B_4_x001B_>3_x001A_1_x001B_5_x001B_.典例解析【例3】比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:【解析】解析式中含有二次根式，需被開(kāi)方式大于或等于零，從而轉(zhuǎn)化為解含有指數(shù)冪的不等式:（_x001A_1_x001B_3_x001B_）x-9≥0,變形得3-x≥32，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù)知-x≥2,即x≤-2，所以該函數(shù)的定義域是（-∞,-2］.典例解析

（1）(_x001A_1_x001B_27_x001B_)x=91-x;(2)32x+3=3x+1+2.【解析】（1）原方程變形為（3-3）x=(32)1-x,即3-3x=32-2x,有-3x=2-2x,解得x=-2.（2）原方程變形為33×(3x)2-3×3x-2=0,令3x=t(t>0),原方程變?yōu)?7t2-3t-2=0,解得t=_x001A_1_x001B_3_x001B_或t=-_x001A_2_x001B_9_x001B_(不合題意),則3x=_x001A_1_x001B_3_x001B_,解得x=-1.典例解析【例5】解下列方程:【解析】以荒漠為研究對(duì)象,它以每年20％的速度減少,故符合指數(shù)衰減模型y=c·ax,其中c=3萬(wàn)公頃,a=1-20%=0.8,x=3年,y就是x年后還剩的荒漠的面積,于是得y=3×0.83≈1.536萬(wàn)公頃.典例解析【例6】我國(guó)某地區(qū)對(duì)3萬(wàn)公頃（1公頃=10000平方米）荒漠化的草地進(jìn)行治理，從2013年起，當(dāng)?shù)卣M織牧民種草，每年將荒漠的20％重改為草地，經(jīng)過(guò)3年的治理還有多少公頃需要改造的荒漠(精確到0.001)？第二節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)A.lg7B.3C.2D.1真題在線【2017·四川省高職單招】lg5+lg2的值是（）.【專家詳解】lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1.故選D.A.1B.2C.3D.4真題在線【2018·四川省高職單招】log39=（）.【專家詳解】log39=log332=2.故選B.真題在線【2019·四川省高職單招】log22= .【專家詳解】log22=1.（1）對(duì)數(shù)的概念:如果ab=N(a>0,且a≠1)，則b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN(a>0,a≠1,N>0).(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù).常用對(duì)數(shù):lgN,即log10N;自然對(duì)數(shù):lnN,即logeN（其中e=2.71828…）.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).知識(shí)聚焦一、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算如果a>0，a≠1,M>0,N>0,那么①加法:logaM+logaN=loga(MN).②減法:logaM-logaN=loga_x001A_M_x001B_N_x001B_.③數(shù)乘:nlogaM=logaMn(n∈R).④alogaN=N.⑤logabMn=_x001A_n_x001B_b_x001B_logaM(b≠0,且b≠1).⑥換底公式:logaN=_x001A_logbN_x001B_logba_x001B_(b>0,且b≠1).知識(shí)聚焦一、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:y=logax(a>0,a≠1,x>0).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).知識(shí)聚焦二、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)(1)lg_x001A_1_x001B_100_x001B_;(2)(_x001A_1_x001B_2_x001B_)log23;(3)log48.【解析】（1）由logaab=b知,lg_x001A_1_x001B_100_x001B_=lg10-2=-2.(2)由alogaN=N知,(_x001A_1_x001B_2_x001B_)log23=(2-1)log23=(2log23)-1=3-1=_x001A_1_x001B_3_x001B_.(3)可設(shè)log48=x,轉(zhuǎn)化為指數(shù)式得4x=8,將等式兩邊化為同底數(shù)指數(shù)冪得22x=23,即2x=3,解得x=_x001A_3_x001B_2_x001B_,即log48=_x001A_3_x001B_2_x001B_.典例解析【例1】求下列各式的值:【解析】對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x在（0,+∞）上是增函數(shù),故log20.8<log21=0,而對(duì)數(shù)函y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_x在（0,+∞）上是減函數(shù),故log_x001A_1_x001B_3_x001B_

0.7>log131=0,所以log20.8<log_x001A_1_x001B_3_x001B_

0.7.典例解析【例2】比較大小:log20.8與log_x001A_1_x001B_3_x001B_0.7.（1）y=log5(x-3);(2)lg(x2+2x).【解析】(1)要使函數(shù)有意義,則需x-3>0,即x>3.所以函數(shù)的定義域?yàn)?3,+∞).（2）要使函數(shù)有意義,則需x2+2x>0,即x>0或x<-2.所以函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(0,+∞).典例解析【例3】求下列函數(shù)的定義域:【解析】函數(shù)y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

(3-2x-x2)的定義域?yàn)閧x|3-2x-x2>0}={x|-3<x<1}.令t=3-2x-x2,x∈(-3,1),y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

t在其定義域內(nèi)為減函數(shù).t=3-2x-x2,x∈(-3,1),對(duì)稱軸為x=-1.當(dāng)x∈(-3,-1)時(shí),t=3-2x-x2是增函數(shù),所以y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

(3-2x-x2)在(-3,-1)內(nèi)是減函數(shù).當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),t=3-2x-x2是減函數(shù).所以y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

（3-2x-x2）在（-1,1）內(nèi)是增函數(shù).典例解析【例4】求函數(shù)=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

(3-2x-x2)的單調(diào)區(qū)間.（1）f(x)=lgx4+lgx-2;(2)f(x)=lg_x001A_1_x001B_x_x001B_.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,0）∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)閒(-x)=lg(-x)4+lg(-x)-2=lgx4+lgx-2=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞）,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)f(x)=lg_x001A_1_x001B_x_x001B_為非奇非偶函數(shù).典例解析【例5】