2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷-解析版

/2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共6小題，每題4分，共24分）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值為（）A． B． C． D．2．已知兩個相似三角形的周長比為4：9，則它們的面積比為（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：813．已知，下列說法中，錯誤的是（）A． B． C． D．4．已知△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點，下列各式中，不能判斷DE∥AB的是（）A． B． C． D．5．已知點C是線段AB的中點，下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．6．一段公路路面的坡度為i＝1：2.4．如果某人沿著這段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m二、填空題7．如果在某建筑物的A處測得目標(biāo)B的俯角為37°，那么從目標(biāo)B可以測得這個建筑物的A處的仰角為．8．如果向量與單位向量方向相反，且長度為2，那么用向量表示＝9．點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），若AB＝2cm，則AC＝cm．10．如果，那么用表示．11．已知梯形的上下兩底長度為4和6，將兩腰延長交于一點，這個交點到兩底邊的距離之比是．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么邊AB上的高為．13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，則S△ABC＝（結(jié)果保留根號）14．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，EC＝2BE，連接AE交BD于點F，若△BFE的面積為2，則△AFD的面積為．15．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝．16．已知菱形ABCD的邊長為6，對角線AC與BD相交于點O，OE⊥AB，垂足為點E，AC＝4，那么sin∠AOE＝．17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過點P（1，1），與x軸交于點A，與y軸交于點B，且tan∠ABO＝2，那么點A的坐標(biāo)是．18．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是邊AB上一點，DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，則AD長為．三、解答題（本大題共7題，滿分78題）【請將解題過程寫在答題紙的相應(yīng)位置】19．（10分）計算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的長；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的長．21．（10分）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，交BD于點G，AE：AB＝1：3，設(shè)＝，＝．（1）用向量、分別表示下列向量：＝，＝，＝；（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法，但要寫出畫圖結(jié)果）22．（10分）如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）23．（12分）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，點E在邊CD上，點F在BC的延長線上，CF＝DE，AE的延長線與DF相交于點G．（1）求證：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求證：AE＝3EG．24．（12分）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）求sin∠BAC的值．（2）若點P在y軸上，且△POC與△AOB相似，請直接寫出點P的坐標(biāo)．（3）已知點M在y軸上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求點M的坐標(biāo)．25．（14分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sinB＝，點G是△ABC的重心，AG的延長線交邊BC于點D．過點G的直線分別交邊AB于點P、交射線AC于點Q．（1）求AG的長；（2）當(dāng)∠APQ＝90°時，直線PG與邊BC相交于點M．求的值；（3）當(dāng)點Q在邊AC上時，設(shè)BP＝x，AQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．

2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題，每題4分，共24分）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值為（）A． B． C． D．【分析】銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，據(jù)此進行計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanA＝＝．故選：C．2．已知兩個相似三角形的周長比為4：9，則它們的面積比為（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：81【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比為4：9，∴兩個相似三角形的相似比為4：9，∴兩個相似三角形的面積比為16：81，故選：D．3．已知，下列說法中，錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（合分比定理）來解答．【解答】A、如果，那么（a+b）：b＝（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項正確；B、如果a：b＝c：d那么（a﹣b）：b＝（c﹣d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項正確；C、由得，5a＝3b，所以a≠b；又由得，ab+b＝ab+a即a＝b．故該選項錯誤；D、由得，5a＝3b；又由得，5a＝3b．故該選項正確；故選：C．4．已知△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點，下列各式中，不能判斷DE∥AB的是（）A． B． C． D．【分析】若使線段DE∥AB，則其對應(yīng)邊必成比例，進而依據(jù)對應(yīng)邊成比例即可判定DE∥AB．【解答】解：如圖，若使線段DE∥AB，則其對應(yīng)邊必成比例，即＝，＝，故選項A、B正確；＝，即＝，故選項C正確；而＝，故D選項答案錯誤．故選：D．5．已知點C是線段AB的中點，下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，因為點C是線段AB的中點，所以根據(jù)線段中點的定義解答．【解答】解：A、＝，故本選項錯誤；B、＝，故本選項正確；C、+＝，故本選項錯誤；D、+＝，故本選項錯誤．故選：B．6．一段公路路面的坡度為i＝1：2.4．如果某人沿著這段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m【分析】已知了坡面長為260米，可根據(jù)坡度比設(shè)出兩條直角邊的長度，根據(jù)勾股定理可列方程求出坡面的鉛直高度，即此人上升的最大高度．【解答】解：如圖，Rt△ABC中，tanA＝，AB＝260米．設(shè)BC＝x，則AC＝2.4x，根據(jù)勾股定理，得：x2+（2.4x）2＝2602，解得x＝100（負(fù)值舍去）．故選：B．二、填空題7．如果在某建筑物的A處測得目標(biāo)B的俯角為37°，那么從目標(biāo)B可以測得這個建筑物的A處的仰角為37°．【分析】根據(jù)俯角和仰角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到目標(biāo)B可以測得這個建筑物的A處的仰角為37°．【解答】解：如圖，∵某建筑物的A處測得目標(biāo)B的俯角為37°，∴目標(biāo)B可以測得這個建筑物的A處的仰角為37°，故答案為：37°8．如果向量與單位向量方向相反，且長度為2，那么用向量表示＝﹣2【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進行解答．【解答】解：∵的長度為2，向量是單位向量，∴a＝2e，∵與單位向量的方向相反，∴＝﹣2．故答案為：﹣2．9．點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），若AB＝2cm，則AC＝（）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AC＝AB，把AB＝2cm代入計算即可．【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝2cm，∴AC＝×2＝（﹣1）cm．故答案為（﹣1）．10．如果，那么用表示＝．【分析】利用加減消元的思想，消去即可解決問題．【解答】解：∵，∴3+3＝6，4﹣2＝6，∴3+3＝4﹣2，∴＝，故答案為＝．11．已知梯形的上下兩底長度為4和6，將兩腰延長交于一點，這個交點到兩底邊的距離之比是2：3．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由題意易得△EAD∽△EBC，然后由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，求得答案．【解答】解：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∴△EAD∽△EBC，∵EN⊥BC，∴EN⊥AD，∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3，即這個交點到兩底邊的距離之比是：2：3．故答案為：2：3．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么邊AB上的高為msinαcosα．【分析】利用直角三角形中的余弦三角函數(shù)的定義求得AC的長度，然后利用三角形的面積公式求得AB邊上的高的長度．【解答】解：根據(jù)題意，知AC＝mcosα，BC＝msinα，∴AC?BC＝mh，即h＝msinαcosα，故答案是：msinαcosα．13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，則S△ABC＝（結(jié)果保留根號）【分析】先根據(jù)AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC邊上的高，再根據(jù)三角形的面積公式代入計算即可．【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，∴△ABC中，BC邊上的高＝sin60°×AB＝×5＝，∵BC＝8，∴S△ABC＝×8×＝10；故答案為：10．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，EC＝2BE，連接AE交BD于點F，若△BFE的面積為2，則△AFD的面積為18．【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△AFD的面積．【解答】解：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∵EC＝2BE，∴BC＝3BE，即：AD＝3BE，∴S△AFD＝9S△EFB＝18．故答案為：18．15．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝4．【分析】根據(jù)相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得AB的長．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90°∴∠A＝∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB＝4．16．已知菱形ABCD的邊長為6，對角線AC與BD相交于點O，OE⊥AB，垂足為點E，AC＝4，那么sin∠AOE＝．【分析】菱形對角線互相垂直，故AC⊥BD，根據(jù)∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠BAO，根據(jù)AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．【解答】解：∵菱形對角線互相垂直，∴∠OEA＝∠AOB，∵∠OAE＝∠BAO，∴△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠ABO，∵AO＝AC＝2，AB＝6，∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．故答案為：．17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過點P（1，1），與x軸交于點A，與y軸交于點B，且tan∠ABO＝2，那么點A的坐標(biāo)是（﹣1，0）或（3，0）．【分析】已知tan∠ABO＝2就是已知一次函數(shù)的一次項系數(shù)是或﹣．根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點P，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式，進而可得到A的坐標(biāo)．【解答】解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝2，可得OA＝2OB，則一次函數(shù)y＝kx+b中k＝±．∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過點P（1，1），∴當(dāng)k＝時，求可得b＝；k＝﹣時，求可得b＝．即一次函數(shù)的解析式為y＝x+或y＝﹣x+．令y＝0，則x＝﹣1或3，∴點A的坐標(biāo)是（﹣1，0）或（3，0）．故答案為：（﹣1，0）或（3，0）．18．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是邊AB上一點，DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，則AD長為或．【分析】先根據(jù)勾股定理得到AC＝5，再根據(jù)平行線分線段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，設(shè)AD＝x，則AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根據(jù)勾股定理得到A′C，再根據(jù)△A′EC是直角三角形，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝5，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5，設(shè)AD＝x，則AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C＝，∵△A′EC是直角三角形，∴①當(dāng)A'落在邊AB上時，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×tan∠ACB＝，AD＝；②點A在線段AB的延長線上（）2+（5﹣x）2＝（x）2，解得x1＝4（不合題意舍去），x2＝．故AD長為或．故答案為：或．三、解答題（本大題共7題，滿分78題）【請將解題過程寫在答題紙的相應(yīng)位置】19．（10分）計算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實數(shù)的運算，根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的長；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的長．（2）過點D作DG∥AC，交BE于點H，交CF于點G，運用比例關(guān)系求出HE及HB的長，然后即可得出BE的長．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）過點D作DG∥AC，交BE于點H，交CF于點G，則CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．21．（10分）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，交BD于點G，AE：AB＝1：3，設(shè)＝，＝．（1）用向量、分別表示下列向量：＝，＝﹣，＝﹣；（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法，但要寫出畫圖結(jié)果）【分析】（1）根據(jù)AE＝BA即可求出，根據(jù)＝+即可求出，先證明EG＝EC，即可求出（2）首先過點G作GM∥AB，NN∥BC，根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案．【解答】解：（1）∵＝，AE＝BA，∴＝，∵＝+，EB＝﹣，＝，∴＝﹣，∵CD∥EB，∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，∴EG：EC＝4：7，∴＝﹣，故答案分別為，﹣，﹣．（2）點G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，則向量、是向量分別在、方向上的分向量．22．（10分）如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【分析】首先過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝x，即可表示出AC，BC的長，進而求出x的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD，BD的長，即可得出答案．【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝x．在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，∵AC+BC＝2x+x＝68∴x＝≈＝20．在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝＝20，在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，AB＝20+20≈54，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走14.0千米．23．（12分）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，點E在邊CD上，點F在BC的延長線上，CF＝DE，AE的延長線與DF相交于點G．（1）求證：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求證：AE＝3EG．【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，得到AD＝CD，AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE＝∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CDF＝∠DAE；（2）過E作EH∥BF交DF于H，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EH＝CF，推出DE＝CF＝CD＝AD，求得EH＝AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE與△DCF中，，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF＝∠DAE；（2）過E作EH∥BF交DF于H，∵DE＝CE，∴EH＝CF，∵△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝CD＝AD，∴EH＝AD，∵EH∥AD，∴△GHE∽△GDA，∴，∴AE＝3EG．24．（12分）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）求sin∠BAC的值．（2）若點P在y軸上，且△POC與△AOB相似，請直接寫出點P的坐標(biāo)．（3）已知點M在y軸上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求點M的坐標(biāo)．【分析】（1）由兩點距離公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求BH的長，即可求解；（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）取OA的中點，記為點N，證明∠OMB＝∠NBA，分兩種情況討論：①當(dāng)點M在點N的上方時，記為M1，因為∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根據(jù)A（0，﹣4），所以M1（0，6）．②當(dāng)點M在點N的下方時，記為M2，點M1與點M2關(guān)于x軸對稱，所以M2（0，﹣6）．【解答】解：（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0），∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，如圖1，過點B作BH⊥AC于H，∴∠BCA＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC＝BH＝6，∴BH＝3＝HC，∴sin∠BAC＝＝＝；（2）∵點P在y軸上，∴∠POC＝∠AOB＝90°，當(dāng)時，則△AOB∽△COP，∴，∴PO＝2，∴點P（0，2）或（0，﹣2）；當(dāng)時，則△AOB∽△POC，∴，∴OP＝8，∴點P（0，8）或（0，﹣8），綜上所述：當(dāng)點P的坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）時，△POC與△AOB相似；（3）如圖2：取OA的中點，記為點N，∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵點N是OA的中點，∴ON＝2，又∵OB＝2，∴OB＝ON，又∵∠BON＝90°，∴∠ONB＝45°，∴∠ACB＝∠ONB，∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，∠NBA+∠OAB＝∠ONB，∴∠OMB＝∠NBA；①當(dāng)點M在點N的上方時，記為M1，∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，∴△ABN∽△AM1B∴，又∵AN＝2，AB＝2，∴AM1＝10，又∵A（0，﹣4）∴M1（0，6）．②當(dāng)點M在點N的下方時，記為M2，點M1與點M2關(guān)于x軸對稱，∴M2（0，﹣6），綜上所述，點M的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣6）．25．（14分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，