第五講-盈虧問(wèn)題

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁(yè)第五講盈虧問(wèn)題知識(shí)精要：在日常生活中常有這樣的問(wèn)題，把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時(shí)，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問(wèn)題”．解答盈虧問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關(guān)系。盈虧問(wèn)題的特點(diǎn)是問(wèn)題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時(shí)，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；可以得出盈虧問(wèn)題的基本關(guān)系式：(盈虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)(盈盈)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)(虧虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問(wèn)題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個(gè)數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問(wèn)題”.注意1.條件轉(zhuǎn)換2.關(guān)系互換理解：比如說(shuō)我給你們發(fā)stiker，每個(gè)人發(fā)5張，則還剩下10張，如果每個(gè)人發(fā)7張，就還差了10張。請(qǐng)問(wèn)我們四年級(jí)班共有多少人？其中一次發(fā)5張，一次發(fā)7張，兩次分配的差是7-5=2，總差額：一次余下10張，一次還差10張，兩次對(duì)比，我們可以得到第二次比第一次多發(fā)了20張stiker。（這樣理解：第一種情況下還余下10張，而第二種情況下不僅會(huì)把剩下的10張發(fā)完，而且還不夠，還需要去一樓辦公室拿10張回來(lái)才能保證每個(gè)人發(fā)7張stiker，所以第二種情況比第一種情況多需要發(fā)20張stiker。）類型一、直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng)．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：（塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊(duì)員（人）．共有磚：（塊）．有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個(gè)班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？（年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開(kāi)始分配．若大猴分個(gè)，小猴分個(gè)，猴王可留個(gè)．若大、小猴都分個(gè)，猴王能留下個(gè)．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．當(dāng)大猴分個(gè)，小猴分個(gè)時(shí)，猴王可留個(gè)．若大、小猴都分個(gè)，猴王能留下個(gè)．也就是說(shuō)在大猴分個(gè)，小猴分個(gè)后，每只大猴都拿出個(gè)，分給每只小猴個(gè)后，還剩下個(gè)，所以大猴比小猴多只．工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元．運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒(méi)有床位；如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，問(wèn)宿舍幾間?住宿生幾人?少年宮美術(shù)部羅老師班上的一部分同學(xué)分畫(huà)紙，如果每人分4張就多9張，如果每人分5張則少6張，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少?gòu)埉?huà)紙？類型二、條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問(wèn)題貓媽媽給小貓分魚(yú)，每只小貓分10條魚(yú)，就多出8條魚(yú)，每只小貓分11條魚(yú)則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚(yú)？貓媽媽的第一種方案盈8條魚(yú)，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是（條），由盈虧問(wèn)題公式得，有小貓：（只），貓媽媽有（條）魚(yú)．少年宮文化學(xué)校幼小銜接基礎(chǔ)班的一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個(gè)就少9個(gè)，如果每人分3個(gè)正好分完，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少個(gè)小玩具？實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問(wèn)一共有幾輛車，多少個(gè)學(xué)生？甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2張信紙，乙每封信用3張信紙，一段時(shí)間后，甲用完了所有的信封還剩下20張信紙，乙用完所有信紙還剩下10個(gè)信封，則他們每人各買了多少?gòu)埿偶?？幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個(gè)，則余下10個(gè)。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個(gè)，則缺2個(gè)。已知大班比小班多3人，問(wèn)：這筐蘋果共有多少個(gè)？幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5粒就缺6粒．如果分給小班的小朋友，每人4粒就余4粒．已知大班比小班少2個(gè)小朋友，這袋糖果共有多少粒？有一些糖，每人分塊則多塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的倍，那么每人塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？臥龍自然保護(hù)區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個(gè)還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問(wèn)有大熊貓多少只，竹子多少棵？王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個(gè)，多4個(gè)；蘋果每人分7個(gè)，少5個(gè).問(wèn)有多少個(gè)小朋友？多少個(gè)蘋果和桔子？少年宮科體部買來(lái)一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問(wèn)：少年宮科體部買來(lái)羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？.用一根長(zhǎng)繩測(cè)量井的深度，如果繩子兩折時(shí)，多5米；如果繩子3折時(shí)，差4米.求繩子長(zhǎng)度和井深.樂(lè)樂(lè)有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè)；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣．樂(lè)樂(lè)共存了多少錢？陽(yáng)光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游．如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問(wèn)一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？磨子橋小學(xué)少先隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開(kāi)會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出7人，若每條長(zhǎng)椅上多坐4人則多出3條長(zhǎng)椅．問(wèn)：到會(huì)議室開(kāi)會(huì)的少先隊(duì)員有多少人？六年級(jí)學(xué)生出去劃船。老師算了一下，如果每船坐6人，那么還剩下22人沒(méi)船坐。安排時(shí)發(fā)現(xiàn)有3條船壞了，于是改為每船坐8人，結(jié)果還剩下6人沒(méi)地方坐，請(qǐng)問(wèn)：一共有多少學(xué)生？學(xué)校為新生分配宿舍．每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房間住5人，則空出3個(gè)房間．問(wèn)宿舍有多少間？新生有多少人？軍隊(duì)分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個(gè)房間？去年國(guó)慶節(jié)，草堂小學(xué)的少先隊(duì)員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒(méi)人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問(wèn)有多少少先隊(duì)員參加擺花盆活動(dòng)，一共擺多少花盆？四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會(huì)，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果千克，還差元；如果買奶糖千克，則還剩元．已知每千克芒果比奶糖貴元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了元錢．小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走米，上課就要遲到分鐘；如果每分鐘走米，就可以比上課時(shí)間提前分鐘到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米？王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校.王老師家到學(xué)校的路程是多少米？“六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等．花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？（2009“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級(jí)組復(fù)試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發(fā)給每個(gè)小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發(fā)完后清點(diǎn)一下，水果糖還剩15塊，而剩下的巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________個(gè)小朋友．一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時(shí)每袋咖啡都放3塊方糖，結(jié)果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時(shí)每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？有若干個(gè)蘋果和若干個(gè)梨.如果按每1個(gè)蘋果配2個(gè)梨分堆，那么梨分完時(shí)還剩2個(gè)蘋果；如果按每3個(gè)蘋果配5個(gè)梨分堆，那么蘋果分完時(shí)還剩1個(gè)梨.蘋果和梨各有多少個(gè)?.幼兒園老師給小朋友分糖果．若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊．那么糖果最多有多少塊？最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊．根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有（人），糖果最多有（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有（人），糖果最多有（塊）；所以，這批糖果最多有154塊．幼兒園有三個(gè)班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老師給小孩分棗，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分個(gè)棗，乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分個(gè)棗，結(jié)果甲班比乙班共多分個(gè)棗，乙班比丙班總共多分個(gè)棗．問(wèn)：三個(gè)班總共分了多少個(gè)棗？設(shè)丙班有個(gè)小孩，那么乙班就有個(gè)小孩，甲班有個(gè)小孩．乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分個(gè)棗，那么個(gè)小孩就少分個(gè)棗，而乙班比丙班總共多分個(gè)棗，所以多出來(lái)的那個(gè)小孩分了個(gè)棗．同樣的道理，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分個(gè)棗，那么個(gè)小孩就少分個(gè)棗，而甲班比乙班總共多分個(gè)棗，所以多出來(lái)的那個(gè)小孩分了個(gè)棗．甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分個(gè)棗，個(gè)小孩就少個(gè)棗，因此我們得到：，解得．所以，丙班有個(gè)小朋友，乙班有個(gè)小朋友，甲班有個(gè)小朋友；甲班每人分個(gè)棗，乙班每人分個(gè)棗，丙班每人分個(gè)棗．—共分了（個(gè)）棗．“六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等．花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．因節(jié)