全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式推理與證明7.3歸納與類比學(xué)案理含解析北師大版

7.3歸納與類比必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理合情推理(1)歸納推理:依據(jù)一類事物中具有某種屬性,推斷該類事物中都有這種屬性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.簡言之,歸納推理是由到,由到的推理.

歸納推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某屬性.結(jié)論:隨意d∈M,d也具有某屬性.(2)類比推理:由于兩類不同對象具有,在此基礎(chǔ)上,依據(jù)的其他特征,推斷也具有類似的其他特征,我們把這種推理過程稱為類比推理.簡言之,類比推理是由的推理.

類比推理的基本模式:A:具有屬性a,b,c,d;B:具有屬性:a',b',c';結(jié)論:B具有屬性d'.(a,b,c,d與a',b',c',d'相像或相同)(3)合情推理:依據(jù)試驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個人的閱歷和直覺、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等),推想出某些結(jié)果的推理方式.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)歸納推理得到的結(jié)論不肯定正確,類比推理得到的結(jié)論肯定正確.()(2)歸納推理與類比推理都是由特別到一般的推理.()(3)在類比時(shí),平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.()(4)一個數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3,那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=n(n∈N+).()2.下列說法正確的是()A.合理推理就是類比推理B.合情推理得到的結(jié)論肯定是正確的C.合情推理得到的結(jié)論不肯定正確D.歸納推理得到的結(jié)論肯定是正確的3.如圖,依據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律,a表示的數(shù)是()A.12 B.48C.60 D.1444.(2024山東濰坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律師,一人是醫(yī)生,一人是記者.已知丙的年齡比醫(yī)生大;甲的年齡和記者不同;記者的年齡比乙小.依據(jù)以上狀況,下列推斷正確的是()A.甲是律師,乙是醫(yī)生,丙是記者B.甲是醫(yī)生,乙是記者,丙是律師C.甲是醫(yī)生,乙是律師,丙是記者D.甲是記者,乙是醫(yī)生,丙是律師5.(2024山西大同一中月考,理6)在等差數(shù)列{an}中,若an>0,公差d≠0,則有a4a6>a3a7.類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若bn>0,公比q≠0,則關(guān)于b5,b7,b4,b8的一個不等關(guān)系正確的是()A.b5b7>b4b8B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8D.b7+b8<b4+b5關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)歸納推理(多考向探究)考向1數(shù)的歸納【例1】(2024安徽壽縣一中,文7)下面的數(shù)表為“森德拉姆篩”,其特點(diǎn)是表中的每行每列上的數(shù)都成等差數(shù)列,則第n行第n個數(shù)字是()2345…3579…471013…591317………………A.n2-1 B.(n+1)2+1C.n2+1 D.n2思索歸納推理的步驟是什么?考向2式的歸納【例2】視察下列各式:11+2=13,11+2+11+2+3A.56 B.1112 C.1113思索式的歸納如何實(shí)現(xiàn)?考向3形的歸納【例3】(2024湖南高校附中9月摸底,理10)如圖所示,在聞名的漢諾塔問題中有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上:①每次只能移動一個金屬片;②在每次移動過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個金屬片從1號針移到3號針最少須要移動的次數(shù)記為f(n),則f(6)=()A.61 B.33 C.63 D.65思索形的歸納有幾種?解題心得1.歸納推理的一般步驟:(1)通過視察個別狀況發(fā)覺某些相同的性質(zhì).(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).2.常見的歸納推理分為數(shù)、式的歸納和形的歸納兩類:(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理:視察數(shù)字的改變特點(diǎn),找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解.(2)與式子有關(guān)的歸納推理:①與不等式有關(guān)的推理:視察每個不等式的特點(diǎn),留意是縱向看,找到規(guī)律后可解;②與數(shù)列有關(guān)的推理:通常是先求出幾個特別項(xiàng),采納不完全歸納法,找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系,列出即可.(3)與圖形改變有關(guān)的推理:合理利用特別圖形歸納推理得出結(jié)論,采納賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如下分組正整數(shù)對:第一組為{(1,2),(2,1)},其次組為{(1,3),(3,1)},第三組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四組為{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此規(guī)律.則第30組第20個數(shù)對是()A.(12,20) B.(20,10) C.(21,11) D.(20,12)(2)對于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”:2335,337911,4313151719,…,仿此,若m3的“分裂數(shù)A.9 B.10 C.11 D.12(3)如圖所示,由若干個圓點(diǎn)組成形如三角形的圖形,每條邊(包括兩個端點(diǎn))有n(n>1,n∈N+)個點(diǎn),每個圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an,則9a2a3+9a3考點(diǎn)類比推理【例4】(1)對于命題:假如O是線段AB上一點(diǎn),則|OB|·OA+|OA|·OB=0;將它類比到平面的情形是:若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),有S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OBA·OC=0;將它類比到空間的情形應(yīng)當(dāng)是:若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有.

(2)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不行割,則與圓周盒體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式1+11+11+…中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個定值,它可以通過方程1+1x=x求得x=1+5A.1 B.2 C.3 D.4思索類比推理的關(guān)鍵是什么?解題心得類比推理的關(guān)鍵及類型(1)類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相像性,將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去.一般步驟:①找出兩類事物之間的相像性或者一樣性.②用一類事物的性質(zhì)去推想另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(或猜想).(2)類比推理常見的情形有:平面與空間類比;低維與高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;運(yùn)算類比(加與積,乘與乘方,減與除,除與開方);數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比;圓錐曲線間的類比等.對點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)an=n(n+1),利用n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1考點(diǎn)生活中的合情推理【例5】(1)(2024北京八中模擬二,10)為協(xié)作促銷活動,某公司的四個商品派送點(diǎn)如圖環(huán)形分布,并且公司給A,B,C,D四個派送點(diǎn)打算某種商品各50個.依據(jù)平臺數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)發(fā)覺,須要將發(fā)送給A,B,C,D四個派送點(diǎn)的商品數(shù)調(diào)整為40,45,54,61,但調(diào)整只能在相鄰派送點(diǎn)進(jìn)行,每次調(diào)動可以調(diào)整1件商品.為完成調(diào)整,則()A.最少須要16次調(diào)動,有2種可行方案B.最少須要15次調(diào)動,有1種可行方案C.最少須要16次調(diào)動,有1種可行方案D.最少須要15次調(diào)動,有2種可行方案(2)(2024湖南長郡中學(xué)四模,文14)甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行一項(xiàng)益智嬉戲,方法如下:第一步,先由四人看著平面直角坐標(biāo)系中方格內(nèi)的16個棋子(如圖所示),甲從中登記某個棋子的坐標(biāo);其次步,甲分別告知其他三人:告知乙棋子的橫坐標(biāo),告知丙棋子的縱坐標(biāo),告知丁棋子的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等;第三步,由乙、丙、丁依次回答.對話如下:乙先說我無法確定,丙接著說我也無法確定.最終丁說我知道.則甲登記的棋子的坐標(biāo)為.

思索如何解決生活中的合情推理問題?解題心得在進(jìn)行合情推理時(shí),要依據(jù)肯定的“規(guī)則”——已知條件、公式、法則、推理等.只有不斷地視察、比較、分析、推理,才能得到正確的答案.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2024山東濟(jì)南一模,5)某方艙醫(yī)院醫(yī)療小組有七名護(hù)士,每名護(hù)士從周一到周日輪番支配一個夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚兩天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中間,則周五值夜班的護(hù)士為()A.甲 B.丙 C.戊 D.庚(2)(2024陜西榆林一模,理5)關(guān)于甲、乙、丙三人參與高考的結(jié)果有下列三個正確的推斷:①若甲未被錄用,則乙、丙都被錄用;②乙與丙中必有一個未被錄用;③或者甲未被錄用,或者乙被錄用.則三人中被錄用的是()A.甲B.丙C.甲與丙D.甲與乙1.合情推理(1)歸納推理是由特別到一般的推理;(2)類比推理是由特別到特別的推理;(3)從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不肯定正確,有待證明.2.在數(shù)學(xué)探討中,在得到一個新結(jié)論前,合情推理能幫助揣測和發(fā)覺結(jié)論.在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理經(jīng)常能為證明供應(yīng)思路與方向.數(shù)學(xué)結(jié)論的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行.7.3歸納與類比必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理(1)部分事物每一個部分整體個別一般(2)某些類似的特征一類對象另一類對象特別到特別考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C合情推理包括類比推理和歸納推理,故A錯誤;由類比推理和歸納推理的概念可知,它們得到的結(jié)論不肯定正確,故B,D錯誤,C正確.故選C.3.D依據(jù)題意得,第n行有n個數(shù),且當(dāng)n≥3時(shí),每一行的第一個數(shù)與最終一個數(shù)都等于n,中間每個數(shù)等于其肩上兩個數(shù)的積,則a所表示的數(shù)是12×12=144.故選D.4.C由甲的年齡和記者不同,記者的年齡比乙小,得到丙是記者,從而解除B和D;由丙的年齡比醫(yī)生大且比乙小,得到乙不是醫(yī)生,從而乙是律師,甲是醫(yī)生.故選C.5.C在等差數(shù)列{an}中,由4+6=3+7時(shí),有a4a6>a3a7,類比到等比數(shù)列{bn}中,由5+7=4+8時(shí),有b4+b8>b5+b7,因?yàn)閎4+b8-(b5+b7)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b4(1-q)+b4q3(q-1)=b4(1-q)(1-q3)=b4(1-q)2(1+q+q2)>0,所以b4+b8>b5+b7成立.故選C.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1C設(shè)第n行第n個數(shù)字是ann,由題意知,第n行是首項(xiàng)為n+1,公差為n的等差數(shù)列,所以ann=(n+1)+(n-1)×n=n2+1,故選C.例2C11+2=13,11+2+1例3C由題設(shè)可得f(1)=1,求出f(2)=2×1+1=3,由于每次移動過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推導(dǎo)出f(n+1)=2f(n)+1,所以f(6)=63.故選C.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)C(2)C(3)20182019(1)由題意可知第一組的各個數(shù)字和為3,其次組各個數(shù)字和為4,第三組各個數(shù)字和為5,第四組各個數(shù)字和為6,…,第n組各個數(shù)字和為n+2,且各個數(shù)對無重復(fù)數(shù)字,可得第30組各個數(shù)字和為32,則第30組第20個數(shù)對為(21,11).(2)由題意,從23到m3,正好用去從3起先的連續(xù)奇數(shù)共2+3+4+…+m=(2+m123是從3起先的第123-32+1=61個奇數(shù),當(dāng)m=10時(shí),用去了當(dāng)m=11時(shí),用去了(2+11)×(11-(3)每個邊有n個點(diǎn),把每個邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n,這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次,故第n個圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3,即an=3n-3,令Sn=9a2a3+9a3a4+9a4a5+…+例4(1)VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0(2)B(1)線段長度類比到空間為體積,再結(jié)合類比到平面的結(jié)論,可得空間中的結(jié)論為VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0.(2)由題知36+36+3因?yàn)?6+x=x,解得x=2,所以36+3對點(diǎn)訓(xùn)練2n(n+1)(n(n+1)(n+2)=n(則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n(例5(1)A(2)(5,5)(1)依據(jù)題意A,B兩處共需向C,D兩處調(diào)15個商品,這15個商品應(yīng)給D處11個商品,C處4個商品,依據(jù)調(diào)動次數(shù)最少的原則,有以下兩種方案:方案一:A調(diào)動11個給D,B調(diào)動1個給A,B調(diào)動4個給C,共調(diào)動16次;方案二:A調(diào)動10個給D,B調(diào)動5個給C,C調(diào)動1個給D,共調(diào)動16次.故選A.(2)由題意,乙只知道棋子的橫坐標(biāo),又無法確定,所以棋子必落在橫坐標(biāo)為2,5,6,7上,接下來丙知道棋子的縱坐標(biāo),又無法確定,所以棋子必落在縱坐標(biāo)為0,1,3,4,5,7上,這些橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)只有(5,5),所以丁說棋子的坐標(biāo)為(5,5).對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)D(2)D(1)因?yàn)榧旱囊拱嘣谥芩?且恰好在乙和丙的正中間,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日,因?yàn)橐业囊拱啾雀缛?所以乙可