1.1.1 集合的概念 課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1.1集合的概念情境導(dǎo)入情景：“集合”是日常生活中的一個常用詞，現(xiàn)代漢語解釋為:許多的人或物聚在一起.

康托爾（G.Cantor,1845-1918）.德國數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始人.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合是一種簡潔、高雅的數(shù)學(xué)語言，我們怎樣理解數(shù)學(xué)中的“集合”？問：我們初中接觸了哪些集合？①.不等式的集合：②.自然數(shù)的集合；有理數(shù)的集合④.到一條線段的兩個端點距離相等的點的集合③.平面上到定點的距離等于定長的所有的點.（圓）（線段的垂直平分線）情境導(dǎo)入知識探究（一）：集合的含義看下面例子：（1）1～10之間的所有偶數(shù)；（2）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；（3）所有的正方形；（4）到直線L的距離等于定長d的所有點；（5）方程

的所有實數(shù)根；（6）地球上的四大洋；

上述每個問題都由若干個對象組成，每組對象的全體分別形成一個集合，集合中的每個對象都稱為元素.

思考1:上述6個集合中的元素分別是什么？集合的含義

思考2：一般地，怎樣理解“元素”與“集合”？

把研究的對象稱為元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示；

把一些指定元素組成的總體叫做集合，簡稱集，通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.

思考3：組成集合的元素所屬對象是否有限制？集合中的元素個數(shù)的多少是否有限制？元素：人，事物，點，數(shù)等即可有限集也可無限集思考4：試列舉一個集合的例子，并指出集合中的元素.知識探究（二）:元素的特征

任意一組對象是否都能組成一個集合？集合中的元素有什么特征？

思考1：某單位所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？由此說明什么？集合中的元素必須是確定的（確定性）

思考2：在一個給定的集合中能否有相同的元素？由此說明什么？集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的（互異性）

思考3：0705班的全體同學(xué)組成一個集合，調(diào)整座位后這個集合有沒有變化？由此說明什么？集合中的元素是沒有順序的（無序性）兩集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素一樣知識探究（三）：集合與元素的關(guān)系

思考1：設(shè)集合A表示“1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”，那么3，4，5，6這四個元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？

思考2：對于一個給定的集合A，那么某元素a與集合A有哪幾種可能關(guān)系？

思考3：如果元素a是集合A中的元素，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)化的語言表達？a屬于集合A，記作

思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)化的語言表達？a不屬于集合A，記作思考5：任意一個元素與任意一個集合的關(guān)系

屬于或不屬于這兩種關(guān)系知識探究（四）常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集（非負整數(shù)集）：記作

N整數(shù)集：記作Z有理數(shù)集：記作Q實數(shù)集：記作R正整數(shù)集：記作或例：①.集合A有元素,,1,且，求的值②.若1,0，x是集合A的元素，且，求的值③.寫出方程解的集合④.已知有三實數(shù)組成一集合，求應(yīng)滿足的條件問題提出

用自然語言描述一個集合往往是不簡明的，如“在平面直角坐標系中以原點為圓心，2為半徑的圓周上的點”組成的集合，那么，我們可以用什么方式表示集合呢？(二)集合的表示方法①.不等式的集合：②.到一條線段的兩個端點距離相等的點的集合③.全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負數(shù)集......

可以用自然語言描述一個集合列舉法考察下列集合：（1）小于5的所有自然數(shù)組成的集合；（1）我們可以把“小于5的所有自然數(shù)組成的集合”表示為：（2）方程的所有實數(shù)根組成的集合.（2）方程的所有實數(shù)根組成的集合表示為：（3）"地球上的四大洋"組成的集合；（3）"地球上的四大洋"組成的集合表示為;分析：列舉法把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來，即表示集合的方法注意：①.元素間用“，”隔開②.元素不重復(fù)，無順序③.可以表示有限集也可表示無限集（無限集時：元素有一定規(guī)律，不發(fā)生誤解時可用）說明：“{}”是集合的身份證，就有全體的意思如{全體實數(shù)}

例1用列舉法表示下列集合：；

（2）方程的所有實數(shù)根組成的集合.

（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；

（3）由1～20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合；（4）由點組成的集合；（6）我國現(xiàn)有直轄市的全體；（5）方程組的解集；解：（1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么Ａ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝列舉法的適用范圍：

有限集：元素不多

無限集或元素較多：元素有規(guī)律性，不發(fā)生誤解描述法

思考：能否用列舉法表示下列集合

（2）絕對值小于2的實數(shù)組成的集合.

（1）不等式的解集；

發(fā)現(xiàn)：集合中的元素例舉不完的，且無規(guī)律可尋，故無法用例舉法表示.但可以用集合中元素所具有的共同特征來描述

如（1）不等式的解集中所含元素的共同特征是：

所以這個集合表示為:

描述法用集合所含元素的共同特征（性質(zhì)，屬性）表示集合的方法稱為描述法；

具體辦法：

代表元素的范圍：不寫時默認為實數(shù)R,但當為

等時必寫代表元素:數(shù)，有序?qū)崝?shù)對，集合....等其他形式描述法的適用范圍：無限集

例2.

用描述法表示下列集合：

（2）方程的所有實數(shù)根組成的集合.（4）方程組的解集；（1）不等式的解集；（3）二次函數(shù)圖像上所有點組成的集合（3）方程的所有實數(shù)根組成的集合.（5）方程組的解集；

回頭看：

解：設(shè)所求集合為Ａ，用描述法表示為

用列舉法表示為

用列舉法表示為

例3.用適當?shù)胤椒ū硎鞠铝屑希?）絕對值小于3的所有整數(shù)組成的集合；（2）在平面直角坐標系中以原點為圓心，1為半徑的圓周上的點組成的集合；（3）所有奇數(shù)組成的集合；（4）比5大3的數(shù)；（5）由數(shù)字1，2，3組成的所有三位數(shù)構(gòu)成的集合.{123，132，213，231，312，321}.

對比描述法與例舉法：

一般地例舉法:

描述法:無限集

無限集或元素較多：元素有規(guī)律性，不發(fā)生誤解

有限集：元素不多

思考①.a與{a}的含義是否相同？②.集合{1，2}與集合{（1，2）}相同嗎？③.是否表示同一個集合？①.不同不同是④.思考⑤:集合