2.1探索和證明不等式性質(zhì)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019 ）必修第一冊

探索和證明不等式的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)（1）梳理等式的基本性質(zhì)，能從中歸納出等式的基本性質(zhì)中蘊含的數(shù)學(xué)思想。（2）能類比等式的基本性質(zhì)，猜想并證明不等式的基本性質(zhì)，體會等式基本性質(zhì)與不等式基本性質(zhì)的共性與差異性。（3）能利用不等式的基本性質(zhì)，猜想并證明不等式的一些常用性質(zhì)。教學(xué)重點與難點（1）教學(xué)重點：梳理等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；猜想和證明不等式的基本性質(zhì)。（2）梳理等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；猜想和證明不等式的基本性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)不等式的一些常用性質(zhì)。環(huán)節(jié)一

確定研究內(nèi)容，明確研究方法引導(dǎo)語：

我們知道現(xiàn)實世界的大小關(guān)系包括相等關(guān)系和不等關(guān)系兩類，數(shù)學(xué)中用“等式”和“不等式”表達(dá)這兩類關(guān)系。上節(jié)課我們提到，與解方程要用等式的性質(zhì)一樣,解不等式要用不等式的性質(zhì)。不等式到底有哪些性質(zhì)呢?今天我們就來研究這個問題。問題1

你能回憶出初中學(xué)過的等式的性質(zhì)嗎?環(huán)節(jié)二

梳理等式的基本性質(zhì)，歸納其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法追問1

這些性質(zhì)有什么共性?追問2

這些性質(zhì)中，不同的是“加”，“減”，“乘”“除”，你能用一個詞來概括它們嗎?

追問3

我們知道,字母可以表示任意實數(shù),因此減法、除法可以分別化歸為加法、乘法。由此，請你進一步梳理這些性質(zhì),并說說哪些性質(zhì)更為“基本”。討論分析：

等式兩邊減同一個數(shù)c可以看成是等式兩邊加同一個數(shù)一c;等式兩邊除同一個數(shù)c(c≠0)可以看成是等式兩邊乘同一個數(shù)一

。所以,性質(zhì)1、3更為基本,性質(zhì)2、4可以看作是由性質(zhì)1、3“派生”出來的,性質(zhì)1、3可稱為等式的“基本性質(zhì)”。

追問3

我們知道,字母可以表示任意實數(shù),因此減法、除法可以分別化歸為加法、乘法。由此，請你進一步梳理這些性質(zhì),并說說哪些性質(zhì)更為“基本”?？偨Y(jié)：

由以上分析可知,我們可以把剛才梳理的四條性質(zhì)合并為兩條:

性質(zhì)1如果a=b,那么a+c=b+c。

性質(zhì)2如果a=b,那么ac=bc。追問4

等式乘方、開方的性質(zhì)是否可以看作是由等式的基本性質(zhì)“派生”出來的?總結(jié)：乘方運算是特殊的乘法運算,開方運算可以看作是乘方運算的“逆運算”,它們都可以看作是由乘法運算派生出來的。追問5

等式是否還有其他性質(zhì)?

回顧一下初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就會發(fā)現(xiàn),這兩條性質(zhì)可以說是隨時隨地都在使用著的。

性質(zhì)3如果a=b,那么b=a。

性質(zhì)4如果a=b,b=c,那么a=c。

教師總結(jié):

在研究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)時,應(yīng)該按照先研究數(shù)學(xué)對象自身具有的性質(zhì)，再研究其他性質(zhì)的順序。所以,我們要把這些性質(zhì)重新排序,即:性質(zhì)1如果a=b,那么b=a。性質(zhì)2如果a=b，b=c,那么a=c。性質(zhì)3如果a=b,那么a+c=b+c。性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc。追問如何類比?問題2

剛才,我們回顧了等式的基本性質(zhì)并從中歸納概括出了數(shù)學(xué)思想方法,下面我們來研究不等式的基本性質(zhì)。你打算如何研究?環(huán)節(jié)三

類比等式的基本性質(zhì)，探究不等的性質(zhì)追問1

你能證明“如果a>b,那么b<a”?問題3

類比相等關(guān)系“自身的特性”,你能猜想并證明不等關(guān)系“自身的特性”嗎?證明如下：根據(jù)基本事實，由a>b可得a-b>0。在a-b>0兩邊乘-1,不等號反向,得(-1)(a-b)<0。由分配律可得-a+b<0,即b-a<0。由基本事實可得b<a。

追問2

類比等式的性質(zhì)2,你得到了什么?你能證明嗎?問題4

以“運算中的不變性就是性質(zhì)”為指導(dǎo),類比等式的基本性質(zhì)3和性質(zhì)4,你能猜想出不等式的哪些性質(zhì)?能給出證明嗎?

追問1

用文字語言表達(dá)性質(zhì),有助于加深對性質(zhì)的理解。你能用文字語言表述性質(zhì)3嗎?

追問2

從幾何角度“直觀”解釋性質(zhì),有助于我們數(shù)形結(jié)合地理解性質(zhì)。你能利用數(shù)軸來解釋性質(zhì)3嗎?

追問3

類比等式的基本性質(zhì)4,你得到了什么結(jié)論?能給出證明嗎?問題5

加法、乘法是數(shù)學(xué)的基本運算,因此上述四條性質(zhì)是不等式的基本性質(zhì)。你能比較一下不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì),說說它們的共性與差異性嗎?問題6

在不等式的性質(zhì)3中,不等式兩邊所加的數(shù)是相同的。如果兩邊所加的數(shù)不同,你能得出什么結(jié)論?

追問

當(dāng)不等式兩邊所加的數(shù)不同但有確定的大小關(guān)系時,例如在a>b的兩邊分別加上c和d,且c>d,這時a+c和b+d是否具有確定的大小關(guān)系?問題7

性質(zhì)5的發(fā)現(xiàn)方法對你有什么啟發(fā)?你能由此對性質(zhì)4進行變式,得出類似的結(jié)論嗎?證明你的猜想。

追問

我們知道,不等式的性質(zhì)反映了“運算中的不變性”,我們還有哪些運算沒有研究?你能從已有的性質(zhì)出發(fā)得出新的性質(zhì)嗎?點拔：利用不等式基本性質(zhì),體現(xiàn)“分析法”的證明思路和“綜合法”的表達(dá)方式。例題

已知a>b>0,c<0，求證:環(huán)節(jié)四

應(yīng)用性質(zhì)證明問題,鞏固加深性質(zhì)的理解問題8

請你帶著下面的問題,對本課的學(xué)習(xí)進行總結(jié)。(1)等式的基本性質(zhì)反映了相等關(guān)系哪些方面的特性?我們是如何歸納概括出其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的?(2)我們經(jīng)歷了怎樣的不等式