643第1課時(shí)余弦定理精講

6.4.3第1課時(shí)余弦定理(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:已知三邊解三角形題型2：已知兩邊及一角解三角形題型3：判斷三角形的形狀三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號(hào)語言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：；（2）余弦定理的推論；；知識(shí)點(diǎn)2：解三角形（1）解三角形一般地,三角形的三個(gè)角和它們的對(duì)邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.（2）余弦定理在解三角形中的應(yīng)用①已知三角形的三邊解三角形連續(xù)用余弦定理求出兩角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.②已知兩邊和它們的夾角解三角形用余弦定理求出第三邊；用余弦定理求出第二個(gè)角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.③已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例如已知及角,可以根據(jù)余弦定理列出以邊為未知數(shù)的一元二次方程,根據(jù)解一元二次方程的方法,求邊,然后應(yīng)用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理,求出其他兩個(gè)角.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:已知三邊解三角形典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B．或C． D．或【答案】C【詳解】由得，，由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：C例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，，，，設(shè)邊上的高為，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，，，∴，則，則.故選：D.例題3．（2022春·陜西漢中·高二?？计谥校┮阎娜呏葹?，則最大角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不妨設(shè)的三邊滿足，因?yàn)榈娜呏葹?，故可設(shè)，則，，由中最大邊所對(duì)的角最大，可得的最大內(nèi)角為，由余弦定理可得，又所以，故最大角為，故選：A.例題4．（2022春·陜西渭南·高二白水縣白水中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，故選：C同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，若a=4，b=3，c=2，則中線AD的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB，AC2=DA2+DC2－2DA·DCcos∠ADC，又cos∠ADB=－cos∠ADC兩式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA=.故選：D2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2+c2b2=ac,則角B的值為A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】由余弦定理和及已知條件得，所以，又，所以，故選A.3．（2022秋·浙江麗水·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，則的最小角為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，在中，，因?yàn)?，所以的最小角為，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)椋栽O(shè)，由余弦定理可得.故選：C.題型2：已知兩邊及一角解三角形典型例題例題1．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：因?yàn)橛钟嘞叶ɡ淼茫?，所?故選：B.例題2．（2022春·陜西西安·高二校聯(lián)考期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】，，或；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：.綜上所述：或.故選：C.例題3．（2022春·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由余弦定理，得，所以（2）在中，因?yàn)椋?，由正弦定理，得，所以?）由（2），所以所以.例題4．（2022春·天津西青·高三天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，．(1)求；(2)求；(3)求的值．【答案】(1)6(2)(3)（1）由余弦定理得，，解得.（2）由正弦定理得（3）由余弦定理得，，，所以.同類題型演練1．（2022春·安徽合肥·高二校考學(xué)業(yè)考試）在中，，，，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：在中，，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故選：C2．（2022·陜西西安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則△ABC的面積為___________．【答案】【詳解】由已知及余弦定理可得，故，解得或（舍）所以故答案為：3．（2022春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，若a=8，b=7，cosC=，則最大角的余弦值是___________.【答案】【詳解】在中，a=8，b=7，，由余弦定理得：，即，最大內(nèi)角為，則．故答案為：4．（2022春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=.(1)求c的值；(2)求sinA.【答案】(1)2(2)【詳解】（1）由余弦定理可得，即，解得，（2）∵，且，由得，,由正弦定理得，故.題型3：判斷三角形的形狀典型例題例題1．（2022春·北京·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)比分別為，滿足，則一定是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】由所以為直角三角形.故選：C例題2．（2022秋·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）在中，若，則此三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．既非等腰三角形也非直角三角形【答案】A【詳解】由余弦定理，，即，即，故此三角形一定是等腰三角形故選：A例題3．（2022春·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）將某直角三角形的三邊長(zhǎng)各增加1個(gè)單位長(zhǎng)度，圍成新的三角形，則新三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長(zhǎng)度確定的【答案】A【詳解】由題意，不妨設(shè)為直角三角形的斜邊，故，各邊增加1，可得三邊長(zhǎng)為：，此時(shí)為三邊中最長(zhǎng)的邊，故所對(duì)的角是新三角形的最大角，不妨設(shè)新三角形最大角為，故，由于，，為三角形的三條邊，故，，又為銳角，因?yàn)樾氯切蔚淖畲蠼菫殇J角，故新三角形是銳角三角形.故選：A例題4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，（分別為角的對(duì)邊），則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】∵，∴，即，根據(jù)余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，為直角三角形.故選：B5．（2022秋·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若三角形的三邊長(zhǎng)度分別為2，2021，2022，則該三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定【答案】B【詳解】由題意知：長(zhǎng)度為2022的邊所對(duì)的角最大，其余弦值，則長(zhǎng)度為2022的邊所對(duì)的角為鈍角，故該三角形為鈍角三角形，故選：B同類題型演練1．（2022秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【詳解】由余弦定理及得，，整理得，即，∴為等腰三角形．故選：A.2．（2022秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，則的形狀（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，整理得，所以三角形的形狀是直角三角?故選：B3．（2022秋·陜西安康·高一校聯(lián)考期末）在中，角成等差數(shù)列，其對(duì)滿足則時(shí)（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．【答案】B【詳解】角成等差數(shù)列，則，，由余弦定理，所以，解得或，代入得，，所以，，同理時(shí)，，所以是直角三角形．故選：B．4．（2022秋·寧夏石嘴山·高一平羅中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若，則△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】由題意，可得，即因?yàn)?，所以，即，故△ABC是直角三角形故選：C5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【詳解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，，則線段CD長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【詳解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，兩邊平方，得即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，∴線段CD長(zhǎng)度的最小值為．故選：D．2．（2022·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，________．【答案】【詳解】解：設(shè)，令．∴，．∴，解得．∴t的最大值為，即取得最大值，此時(shí)，則上述方程的解．故答案為：.3．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，，為軸上一點(diǎn)，若，則______．【答案】5【詳解】設(shè)，所以，，，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，即解得，所以，所以，，所以，故答案為?4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案