考點12二項分布及其應(yīng)用（原卷版）

考點12二項分布及其應(yīng)用概率與統(tǒng)計，是歷年高考的必考點，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查內(nèi)容有：數(shù)字特征與概率的計算問題、隨機(jī)變量的均值與方差、回歸分析與獨立性檢驗、二項分布及其應(yīng)用等。例如：2020年北京高考[18]，2022年全國新高考卷Ⅱ[19]，2022年全國新高考卷Ⅰ[20]，等都對數(shù)字特征與概率的計算問題進(jìn)行了考查?！?〕求獨立重復(fù)試驗的概率求獨立重復(fù)試驗概率的3個步驟(1)判斷：依據(jù)次獨立重復(fù)試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復(fù)試驗.(2)分析：分析所求事件的構(gòu)成.(3)計算：對每個事件依據(jù)次獨立重復(fù)試驗的概率公式進(jìn)行求解，最后利用互斥事件的概率加法公式計算?！?〕二項分布及其實際應(yīng)用1.二項分布的判斷：判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布的關(guān)鍵在于它是否滿足以下兩個條件：(1)在一次試驗中事件A只有兩種試驗結(jié)果(發(fā)生和不發(fā)生)，而且事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的概率為1p；(2)試驗可以獨立重復(fù)地進(jìn)行，即每重復(fù)做一次試驗，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p，事件A發(fā)生的概率都是1—p.2.運用二項分布求概率的一般方法(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；(2)分析出隨機(jī)變量服從二項分布；(3)明確參數(shù)n，p，寫出二項分布的分布列；(4)將k值代入表達(dá)式(公式)求出概率。〔3〕二項分布與超幾何分布辨析有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復(fù)試驗，此種抽樣是二項分布模型.而不放回抽樣時，取出一個總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型.因此，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。例1．（2022·全國·新高考卷Ⅱ·19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.例2．（2020·北京·高考·18）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）1．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））現(xiàn)有兩所學(xué)校的高三學(xué)年分別采用甲，乙兩種方案進(jìn)行線上教學(xué)，為觀測其教學(xué)效果，分別在兩所學(xué)校的高三學(xué)年各隨機(jī)抽取60名學(xué)生，對每名學(xué)生進(jìn)行綜合測試評分，記綜合評分為80及以上的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計得到兩所學(xué)校抽取的學(xué)生中共有72名優(yōu)秀學(xué)生.(1)用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在兩個學(xué)校的高三學(xué)年隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求所抽取的學(xué)生中的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差;(2)已知A學(xué)校抽出的優(yōu)秀學(xué)生占該校抽取總?cè)藬?shù)的，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為學(xué)生綜合測試評分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).優(yōu)秀學(xué)生非優(yōu)秀學(xué)生合計甲方案乙方案合計附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.2．（2022·湖南永州·一模）我市為了解學(xué)生體育運動的時間長度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學(xué)校中隨機(jī)調(diào)查了男?女生各100名的平均每天體育運動時間，得到如下數(shù)據(jù)：分鐘性別（0，40]（40，60]（60，90]（90，120]女生10404010男生5254030根據(jù)學(xué)生課余體育運動要求，平均每天體育運動時間在（60，120]內(nèi)認(rèn)定為“合格”，否則被認(rèn)定為“不合格”，其中，平均每天體育運動時間在（90，120]內(nèi)認(rèn)定為“良好”.(1)完成下列22列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析學(xué)生體育運動時間與性別因素有無關(guān)聯(lián)；不合格合格合計女生男生合計(2)從女生平均每天體育運動時間在的100人中用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取2人，記為2人中平均每天體育運動時間為“良好”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，其中平均每天體育運動時間為“良好”的人數(shù)設(shè)為，記“平均每天體育運動時間為'良好'的人數(shù)為”的概率為，視頻率為概率，用樣本估計總體，求的表達(dá)式，并求取最大值時對應(yīng)的值.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.8283．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲?乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.(1)在一場比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；(2)求甲在參加三場比賽后，積分之和為5分的概率.4．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））我國出現(xiàn)了新冠疫情后，醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥，并對確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，分成兩組，組3人，服用甲種中藥，組3人，服用乙種中藥.服藥一個療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為.(1)設(shè)事件表示組中恰好有1人康復(fù)，事件表示組中恰好有1人康復(fù)，求；(2)求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.5．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）華容道是古老的中國民間益智游戲，以其變化多端、百玩不厭的特點與魔方、獨立鉆石一起被國外智力專家并稱為“智力游戲界的三個不可思議”．據(jù)《資治通鑒》注釋中說“從此道可至華容也”．通過移動各個棋子，幫助曹操從初始位置移到棋盤最下方中部，從出口逃走．不允許跨越棋子，還要設(shè)法用最少的步數(shù)把曹操移到出口．2021年12月23日，在廈門蓮坂外圖書城四樓佳希魔方，廈門市新翔小學(xué)六年級學(xué)生胡宇帆現(xiàn)場挑戰(zhàn)“最快時間解數(shù)字華容道”世界紀(jì)錄，并以4.877秒打破了“最快時間解數(shù)字華容道”世界紀(jì)錄，成為了該項目新的世界紀(jì)錄保持者．(1)小明一周訓(xùn)練成績?nèi)绫硭荆F(xiàn)用作為經(jīng)驗回歸方程類型，求出該回歸方程．第x（天）1234567用時y（秒）105844939352315(2)小明和小華比賽破解華容道，首局比賽小明獲得勝利的概率是0.6，在后面的比賽中，若小明前一局勝利，則他贏下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，則他贏下后一局比賽的概率為0.5，比賽實行“五局三勝”，求小明最終贏下比賽的概率是多少．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：，6．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進(jìn)老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對5個樣品進(jìn)行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響.(1)若3個樣品選擇甲方案，2個樣品選擇乙方案.（i）求5個樣品全部測試合格的概率；（ii）求4個樣品測試合格的概率.(2)若測試合格的樣品個數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測試的樣品個數(shù).7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））國內(nèi)某大學(xué)有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學(xué)生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運動的時間（單位：小時），統(tǒng)計表明該校學(xué)生平均每天運動的時間范圍是，若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學(xué)生為“運動達(dá)人”，低于2小時的學(xué)生為“非運動達(dá)人”.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)按性別與“是否為‘運動達(dá)人’”進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表：運動時間性別運動達(dá)人非運動達(dá)人合計男生36女生26合計100(1)請根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別與“是否為‘運動達(dá)人’”有關(guān)；(2)將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查該校的3名男生，設(shè)調(diào)查的3人中運動達(dá)人的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635，其中.8．（2022·黑龍江·大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性．某檢測點根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該處疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為．現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗．混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗結(jié)果就會呈陽性．若混合樣本呈陽性，則再將該組中每一個備份的樣本逐一進(jìn)行化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再檢驗．現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組，每組兩個樣本混合在一起，再分組化驗．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．(1)求4個疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗，請問：方案一、二中哪個較“優(yōu)”？做出判斷并說明理由．9．（2022·河南開封·模擬預(yù)測（理））大豆是我國重要的農(nóng)作物，種植歷史悠久．某種子實驗基地培育出某大豆新品種，為檢驗其最佳播種日期，在A，B兩塊試驗田上進(jìn)行實驗（兩地塊的土質(zhì)等情況一致）.6月25日在A試驗田播種該品種大豆，7月10日在B試驗田播種該品種大豆．收獲大豆時，從中各隨機(jī)抽取20份（每份1千粒），并測量出每份的質(zhì)量（單位：克），按照，，進(jìn)行分組，得到如下表格：A試驗田/份3611B試驗田/份6104把千粒質(zhì)量不低于200克的大豆視為籽粒飽滿，否則視為籽粒不飽滿．(1)判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為大豆籽粒飽滿與播種日期有關(guān)？(2)從A，B兩塊實驗田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿的概率；(3)用樣本估計總體，從A試驗田隨機(jī)抽取100份（每份千粒）大豆，記籽粒飽滿的份數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82810．（2022·湖北·模擬預(yù)測）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕，該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱情，某冰雪運動品商店對消費達(dá)一定金額的顧客開展了“冬奧”知識有獎競答活動，試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，共需要回答三個問題，對于每一個問題，答錯得0分；答對填空題得30分答對選擇題得20分現(xiàn)設(shè)置了兩種活動方案供選擇，方案一：只回答填空題；方案二：第一題是填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次是填空題，若上題回答錯誤，則下一次是選擇題．某顧客獲得了答題資格，已知其答對填空題的概率均為，答對選擇題的概率均為P，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)(1)若該顧客采用方案一答題，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，該顧客選擇何種方案更加有利？并說明理由．11．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））某省會城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費乘公交”“綠色出行日免費乘公交”等便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對出行工具的選擇，交管部門隨機(jī)抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計表：出行方式步行騎行自駕公共交通比例5%25%30%40%同時交管部門對某線路公交車統(tǒng)計整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．12．（2022·北京·北大附中三模）北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時選考物理?化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理?化學(xué)成績等級和人數(shù)的