專題04五類概率與統(tǒng)計(jì)-2023年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)練習(xí)（新高考專用）

專題04五類概率與統(tǒng)計(jì)題型2023年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)（解析版）概率與統(tǒng)計(jì)問題一般分為五類：類型1：獨(dú)立性檢驗(yàn)問題；類型2：線性回歸及非線性回歸問題；類型3：超幾何分布問題；類型4：二項(xiàng)分布問題類型5：正態(tài)分布問題。下面給大家對(duì)每一個(gè)類型進(jìn)行秒殺處理.類型1：獨(dú)立性檢驗(yàn)問題1.分層抽樣一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的。注：①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”2.頻率分布直方圖（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于.3.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長方形的面積．4.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．獨(dú)立性檢驗(yàn)問題專項(xiàng)訓(xùn)練1．為提升學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，某校在高一，高二年級(jí)開設(shè)“航空模型制作"選修課程．為考察課程開設(shè)情況，學(xué)校從兩個(gè)年級(jí)選修該課程的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名同學(xué)分別制作一件航空模型．并根據(jù)每位同學(xué)作品得分繪制了如圖所示的莖葉圖．若作品得分不低于80，評(píng)定為“優(yōu)良”，否則評(píng)定為“非優(yōu)良”．高一同學(xué)作品高二同學(xué)作品88326579654322107138799622182345677899539078(1)請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表；優(yōu)良非優(yōu)良合計(jì)高一高二合計(jì)(2)判斷是否有的把握認(rèn)為作品是否“優(yōu)良”與制作者所處年級(jí)有關(guān)?附：，．0.1500.1000.0100.0012.0722.7066.63510.828【答案】(1)答案見解析；(2)有的把握認(rèn)為作品是否“優(yōu)良”與制作者所處年級(jí)有關(guān)．【分析】（1）根據(jù)莖葉圖完成列聯(lián)表即可；（2）求出，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由莖葉圖可知高一優(yōu)良的有個(gè)，非優(yōu)良的有個(gè)，高二優(yōu)良的有個(gè)，非優(yōu)良的有個(gè)，完成的2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)良非優(yōu)良合計(jì)高一71320高二13720合計(jì)202040（2）∵，∴有的把握認(rèn)為作品是否“優(yōu)良”與制作者所處年級(jí)有關(guān)．2．4月15日是全民國家安全教育日．以人民安全為宗旨也是“總體國家安全觀”的核心價(jià)值.只有人人參與，人人負(fù)責(zé)，國家安全才能真正獲得巨大的人民性基礎(chǔ)，作為知識(shí)群體的青年學(xué)生，是強(qiáng)國富民的中堅(jiān)力量，他們的國家安全意識(shí)取向?qū)野踩葹橹匾?某校社團(tuán)隨機(jī)抽取了600名學(xué)生，發(fā)放調(diào)查問卷600份（答卷卷面滿分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間．同時(shí)根據(jù)560份有效答卷的分?jǐn)?shù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數(shù)和平均數(shù)n（同一組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值代替）.(2)如果把75分及以上稱為對(duì)國家安全知識(shí)高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國家安全知識(shí)敏感度有關(guān)．高敏感低敏感總計(jì)男生80女生80總計(jì)560附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828公式：，其中．【答案】(1)，中位數(shù)62，平均數(shù)60.2(2)列聯(lián)表見解析，有【詳解】（1）因?yàn)?，所以．又，故設(shè)中位數(shù)為x，則，所以．平均數(shù).（2）由題意可得列聯(lián)表如下：高敏感低敏感總計(jì)男生80160240女生80240320總計(jì)160400560,故有的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國家安全知識(shí)敏感度有關(guān)．3．某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市200天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到江濱公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)1（優(yōu)）1220442（良）1519303（輕度污染）1616144（中度污染）752(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；并求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：．【答案】(1)，340(2)列聯(lián)表見解析，有【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（2）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量好6674空氣質(zhì)量不好4416，因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．4．某市閱讀研究小組為了解該城市中學(xué)生閱讀與語文成績的關(guān)系，在參加市中學(xué)生語文綜合能力競(jìng)賽的各校學(xué)生中隨機(jī)抽取了500人進(jìn)行調(diào)查，并按學(xué)生成績是否高于75分（滿分100分）及周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)，將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出成績不低于75分的樣本占樣本總數(shù)的，周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的一半，而不低于75分且周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的樣本有100人.周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)合計(jì)75分以下不低于75分100合計(jì)500(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時(shí)間是否有關(guān)；(2)先從成績不低于75分的樣本中按周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)分層抽樣抽取9人進(jìn)一步做問卷調(diào)查，然后從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列與均值.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)，有的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時(shí)間有關(guān)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【詳解】（1）根據(jù)已知條件，列聯(lián)表如下：周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)合計(jì)75分以下200150350不低于75分50100150合計(jì)250250500所以，由表知，所以有的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時(shí)間有關(guān).（2）依題意，成績不低于75分的學(xué)生中周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)和不少于10小時(shí)的人數(shù)比是1:2，按分層抽樣抽取9人，則周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)有3人，不少于10小時(shí)的有6人，從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，則可能的取值為，，.分布列如下：0123.5．一個(gè)航空航天的興趣小組，對(duì)500名男生和500名女生關(guān)于航空航天是否感興趣的話題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，情況如下表所示．男生女生感興趣380220不感興趣120280P（）0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828附：．(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)?(2)一名興趣小組成員在試驗(yàn)桌上進(jìn)行兩艘飛行器模型間的“交會(huì)對(duì)接”游戲，左邊有2艘“Q2運(yùn)輸船”和1艘“M1轉(zhuǎn)移塔”，右邊有3艘“M1轉(zhuǎn)移塔”．假設(shè)兩艘飛行器模型間的“交會(huì)對(duì)接”重復(fù)了n次，記左邊剩余2艘“Q2運(yùn)輸船”的概率為，剩余1艘“Q2運(yùn)輸船”的概率為，求與的遞推關(guān)系式；(3)在（2）情況下，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)(2)(3)分布列見解析，，【詳解】（1）解：∴有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)．（2），，，．當(dāng)時(shí)，①，②2×①＋②，得．從而．（3）由（2）得，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，③，聯(lián)立②③得，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，由③得，，的概率分布列為：則，．類型2：線性回歸及非線性回歸問題①線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．②非線性回歸建立非線性回歸模型的基本步驟（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．線性回歸及非線性回歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練6．某旅游公司針對(duì)旅游復(fù)蘇設(shè)計(jì)了一款文創(chuàng)產(chǎn)品來提高收益．該公司統(tǒng)計(jì)了今年以來這款文創(chuàng)產(chǎn)品定價(jià)（單位：元）與銷量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下表所示：產(chǎn)品定價(jià)（單位：元）99.51010.511銷量（單位：萬件）1110865(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；(2)建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)品定價(jià)為8.5元時(shí)，銷量可達(dá)到多少萬件．參考公式：．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)，說明與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系(2)12.8萬件【詳解】（1）由題條件得，．，，．與的相關(guān)系數(shù)近似為，說明與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），關(guān)于的線性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)產(chǎn)品定價(jià)為8.5元時(shí)，預(yù)測(cè)銷量可達(dá)到12.8萬件．7．2023年，國家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研發(fā)的信心，增強(qiáng)了企業(yè)的創(chuàng)新動(dòng)能.某企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過技術(shù)革新和能力提升，極大提升了企業(yè)的影響力和市場(chǎng)知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，右表為該企業(yè)今年1~4月份接到的訂單數(shù)量.月份t1234訂單數(shù)量y（萬件）5.25.35.75.8附：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，.(1)試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較弱）.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.【答案】(1)0.96，訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性較強(qiáng)(2)，6.05萬件【詳解】（1），，，，，，訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性較強(qiáng)；（2），，線性回歸方程為，令，（萬件），即該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量預(yù)計(jì)為6.05萬件.8．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元）與某類商品銷售額（單位：億元）的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第年12345678910居民年收入32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值.379.6391247.624568.9(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù).以此推斷，與的線性相關(guān)程度是否很強(qiáng)？(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值與樣本相關(guān)系數(shù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)根據(jù)（2）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，計(jì)算第1個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差（精確到0.01）；并判斷若剔除這個(gè)樣本點(diǎn)再進(jìn)行回歸分析，的值將變大還是變小？（不必說明理由，直接判斷即可）.附：樣本的相關(guān)系數(shù)，，，.【答案】(1)線性相關(guān)程度很強(qiáng)(2)(3)，變小【詳解】（1）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷線性相關(guān)程度很強(qiáng).（2）由及，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以與的線性回歸方程.（3）第一個(gè)樣本點(diǎn)的殘差為：，由于該點(diǎn)在回歸直線的左下方，故將其剔除后，的值將變小.9．?dāng)?shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1—5．年份代碼x12345車載音樂市場(chǎng)規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1）；(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測(cè)公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后，通過修正，把b1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，請(qǐng)根據(jù)2022年中國車載音樂市場(chǎng)規(guī)模及修正后的年平均增長率預(yù)測(cè)2024年的中國車載音樂市場(chǎng)規(guī)模．參考數(shù)據(jù)：1.9433.821.71.6其中，．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．【答案】(1)(2)十億元【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，設(shè)，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，所以所以所以?）由（1）知2023年與2024年這兩年的年平均增長率，2022年中國車載音樂市場(chǎng)規(guī)模為17，故預(yù)測(cè)2024年的中國車載音樂市場(chǎng)規(guī)模（十億元）.10．某新能源汽車公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)投資額x（單位：百萬元）與其月銷售量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃用作為月銷售量y關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)公司決策層預(yù)測(cè)當(dāng)投資額為11百萬元時(shí)，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)投資11百萬元進(jìn)行產(chǎn)品促銷后，月銷售量的分布列為：345Pp結(jié)合回歸方程和的分布列，試問公司的決策是否合理.參考公式及參考數(shù)據(jù)：，，.y0.691.611.792.082.20（保留整數(shù)）25689【答案】(1)；(2)公司的決策合理.【詳解】（1）因?yàn)?，令，所?由題可得，，則，，所以，所以回歸方程為.（2）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榍?，所以，所?所以公司的決策合理.類型3：超幾何分布問題超幾何分布（1）在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.超幾何分布專項(xiàng)訓(xùn)練11．某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)競(jìng)賽，競(jìng)賽以抽盲盒答題的形式進(jìn)行，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盲盒箱，甲中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙中有3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，競(jìng)賽可以以不同的方式進(jìn)行.(1)若已知A班選擇了甲箱，且派出5人參賽，每個(gè)人盲抽一個(gè)題作答，答完后仍放回甲箱.每個(gè)人答對(duì)選擇題的概率為，答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分，每個(gè)人答對(duì)填空題的概率為，答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，求A班總得分X的數(shù)學(xué)期望.(2)若已知A班班長先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后B班班長再從乙箱中抽取一道題目，已知B班班長從乙箱中抽取的是選擇題，求A班班長從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）A班在甲箱抽取時(shí)，每個(gè)人抽到選擇題的概率為，抽到填空題的概率為，每個(gè)人得分的平均值，A班得分的數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)A班班長抽取0道、1道、2道選擇題的事件為，B班班長抽到的是選擇題的事件為,則,則.12．鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂?親近自然?尋味鄉(xiāng)愁的美好追求.某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：民宿點(diǎn)甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于10間的有6家，品質(zhì)型民宿和普通型民宿的房間均不低于10間的有4家.記“這3家的普通型民宿的房間均不低于10間”為事件，“這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間”為事件，則，所以.（2）這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于15間的有3家，故的所有可能取值為.，，所以的分布列如下表：0123所以.13．已知某排球特色學(xué)校的校排球隊(duì)來自高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為7人、6人、2人．(1)若從該校隊(duì)隨機(jī)抽取3人拍宣傳海報(bào)，求抽取的3人中恰有1人來自高三年級(jí)的概率．(2)現(xiàn)該校的排球教練對(duì)“發(fā)球、墊球、扣球”這3個(gè)動(dòng)作技術(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，且在訓(xùn)練階段進(jìn)行了多輪測(cè)試，規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．已知在某一輪測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，乙同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，且每位同學(xué)的每個(gè)動(dòng)作互不影響，甲、乙兩人的測(cè)試結(jié)果互不影響．記X為甲、乙二人在該輪測(cè)試結(jié)果為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【詳解】（1）設(shè)事件A為“抽取的3人中恰有1人來自高三年級(jí)”，則有（2）設(shè)甲同學(xué)在一輪測(cè)試中3個(gè)動(dòng)作“優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為Y，則有；設(shè)乙同學(xué)在一輪測(cè)試中3個(gè)動(dòng)作“優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為Z，則有；所以甲同學(xué)在一輪測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率，乙同學(xué)在一輪測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率．由題意，得X可取0，1，2；則有；；．所以X的分布列為：X012P因此X的數(shù)學(xué)期望．14．為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會(huì)在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2018年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：年份20182019202020212022年份代碼12345年借閱量（冊(cè)）3692142（參考數(shù)據(jù)：）(1)在所統(tǒng)計(jì)的5個(gè)年借閱量中任選2個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①和②兩種模型作為年借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并用殘差平方和比較哪個(gè)模型擬合效果更好.【答案】(1)分布列見解析，(2)；模型②的擬合效果更好【詳解】（1）由題知，5年的借閱量的平均數(shù)為：，又，則所以低于平均值的有3個(gè)，所以服從超幾何分布，，所以，，，所以的分布列為：所以；（2）因?yàn)樗裕?所以模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：根據(jù)模型①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得：根據(jù)模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得：因?yàn)?，且所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.15．2023年是全面貫徹落實(shí)黨二十大精神的開局之年，也是實(shí)施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，今年春季以來，各地出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各種措施，經(jīng)濟(jì)增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜現(xiàn)象.服務(wù)業(yè)的消費(fèi)越來越火爆，紹興一些超市也紛紛加大了廣告促銷.現(xiàn)隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）數(shù)據(jù)如下：超市ABCDEFG廣告支出1246101320銷售額19324440525354(1)建立關(guān)于的一元線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)若將超市的銷售額與廣告支出的比值稱為該超市的廣告效率值，當(dāng)時(shí)，稱該超市的廣告為“好廣告”.從這7家超市中隨機(jī)抽取4家超市，記這4家超市中“好廣告”的超市數(shù)為，求的分布列與期望.附注：參考數(shù)據(jù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可得；，又，,..（2）由題知，7家超市中有3家超市的廣告是“好廣告”，X的可能取值是0，1，2，3..所以的分布列為0123所以.類型4：二項(xiàng)分布問題二項(xiàng)分布（1）一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．④二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．若，則，．二項(xiàng)分布問題專項(xiàng)訓(xùn)練16．甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場(chǎng)至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場(chǎng)都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調(diào)遞增.該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.17．為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進(jìn)校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進(jìn)人物的先進(jìn)事跡來感動(dòng)師生，用身邊的榜樣去打動(dòng)師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚(yáng)美，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，；(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析；【詳解】（1）解：由題意得，第二次抽到男生的概率為，“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而，，所以.（2）解：被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且.

可得；；；；，所以隨機(jī)變量的分布列為：X01234P所以隨機(jī)變量的期望為：.18．某大型商場(chǎng)為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放8個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)為紅色，4個(gè)為黑色．抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球．如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng)．(1)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果你是商場(chǎng)老板，如何在上述問兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫出你的選擇及簡要理由．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)分布列見解析；期望為(3)答案見解析【詳解】（1）若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)的概率為，因?yàn)閮纱纬楠?jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．（2）若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因?yàn)椋?）（2）兩問的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問中兩次獎(jiǎng)的概率比第（2）問的小，即，第（1）問中不中獎(jiǎng)的概率比第問小，即，回答一：若商場(chǎng)老板希望中兩次獎(jiǎng)的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問方式進(jìn)行抽；回答二：若商場(chǎng)老板希望中獎(jiǎng)的顧客多，則選擇按第（1）問方式進(jìn)行抽獎(jiǎng)．19．某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣某項(xiàng)指標(biāo)X值滿足12.2≤X≤21.8時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行X值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過疫苗小白鼠的總體，設(shè)．(1)求，；(2)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作為N的估計(jì)值）；(3)對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的X值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組n（n≤50）只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)n只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，n只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為n+9元．試給出n的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．附：若，則，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】(1)17，23(2)N的估計(jì)值為149或150(3)每只小白鼠平均檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10【詳解】（1）法1：記甲地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為，則，，，，所以．,法2：記甲地小白鼠樣本的X值為x1，x2，…，x120，平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本的X值為y1，y2，…，y90，平均數(shù)為，方差為．因?yàn)?，，，．所以．由，，可得．同理，于是．?）法1：因?yàn)?，所以．從注射過疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．記，則．由等價(jià)于N101<0.32（N+1），當(dāng)且僅當(dāng)，知當(dāng)103≤N≤148時(shí)，α（N）<α（N+1）；當(dāng)N=149時(shí)，α（N）=α（N+1）；當(dāng)N>149時(shí)，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150時(shí)，α（N）最大，所以N的估計(jì)值為149或150．法2：因?yàn)?，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μσ≤X≤μσ）≈0.68．從注射過疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．若N=102，則．若N≥103，則化簡得解得149≤N≤150．綜上，N的估計(jì)值為149或150．（3）記n只小白鼠檢測(cè)費(fèi)用為Y元，當(dāng)n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=n+9，當(dāng)n只小白鼠不都產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=11n+9，則P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=10.991n．因此．因?yàn)閚≤50，所以．故，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)取等號(hào)．于是每只小白鼠平均檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10．20．某公司對(duì)新生產(chǎn)出來的300輛新能源汽車進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測(cè)不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質(zhì)檢員檢測(cè)不合格的汽車需要重新由甲、乙兩人各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，重新檢測(cè)后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測(cè)不合格，也會(huì)被列為不合格汽車.假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測(cè)相互獨(dú)立，每一次檢測(cè)不合格的概率為.(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率；(2)公司對(duì)本次質(zhì)量檢測(cè)的預(yù)算支出是4萬元，每輛汽車不需要重新檢測(cè)的費(fèi)用為60元，需要重新檢測(cè)的前后兩輪檢測(cè)的總費(fèi)用為100元，所有汽車除檢測(cè)費(fèi)用外，其他費(fèi)用估算為1萬元，若300輛汽車全部參與質(zhì)量檢測(cè)，實(shí)際費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算?【答案】(1)(2)不會(huì)【詳解】（1）由題意知，每輛汽車第一輪質(zhì)量檢測(cè)被列為不合格汽車的概率為，每輛汽車重新檢測(cè)被列為不合格汽車的概率為，綜上可知，每輛汽車被列為不合格汽車的概率為.（2）設(shè)每輛汽車質(zhì)量檢測(cè)的費(fèi)用為元，則的可能取值為60，100，由題意知，，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（元），，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即（元）.所以此方案的最高費(fèi)用為（萬元），綜上可知，實(shí)際費(fèi)用估計(jì)不會(huì)超過預(yù)算.類型5：正態(tài)分布問題（1）隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．（2）原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡稱之為原則．正態(tài)分布問題專項(xiàng)訓(xùn)練21．人勤春來早，實(shí)干正當(dāng)時(shí)．某工廠春節(jié)后復(fù)工復(fù)產(chǎn)，為滿足市場(chǎng)需求加緊生產(chǎn)，但由于生產(chǎn)設(shè)備超負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)導(dǎo)致某批產(chǎn)品次品率偏高．已知這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，當(dāng)時(shí)產(chǎn)品為正品，其余為次品．生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本為20元/件，售價(jià)為40元/件．若售出次品，則不更換，需按原售價(jià)退款并補(bǔ)償客戶10元/件．(1)若某客戶買到的10件產(chǎn)品中恰有兩件次品，現(xiàn)從中任取三件，求被選中的正品數(shù)量的分布列和數(shù)學(xué)期望：(2)已知P，工廠欲聘請(qǐng)一名臨時(shí)質(zhì)檢員檢測(cè)這批產(chǎn)品，質(zhì)檢員工資是按件計(jì)費(fèi)，每件x元．產(chǎn)品檢測(cè)后，檢測(cè)為次品便立即銷毀，檢測(cè)為正品方能銷售．假設(shè)該工廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品都能銷售完，工廠對(duì)這批產(chǎn)品有兩種檢測(cè)方案，方案一：全部檢測(cè)；方案二：抽樣檢測(cè)．若要使工廠兩種檢測(cè)方案的盈利均高于不檢測(cè)時(shí)的盈利，求x的取值范圍，并從工廠盈利的角度選擇恰當(dāng)?shù)姆桨福敬鸢浮?1)分布列見解析；期望為(2)，從工廠盈利的角度應(yīng)選擇方案一【詳解】（1）由題意可知的可能取值為1,2,3，∴ξ的分布列如下：123P．∴．（2）∵且，∴．∴這批產(chǎn)品的次品率為設(shè)該工廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品有n件，記Y為這批產(chǎn)品的次品數(shù)量，則若這批產(chǎn)品不檢測(cè)，則該工廠的利潤的期望為．若選擇方案一，則該工廠的利潤的期望為令，解得．若選擇方案二，假設(shè)抽樣檢測(cè)件，則檢測(cè)出的次品的期望為0.04m件，不檢測(cè)的產(chǎn)品有件，則該工廠的利潤的期望為令，解得．則，∵，且，∴．∴，并從工廠盈利的角度應(yīng)選擇方案一、．22．某APP公司對(duì)喜歡使用該APP的用戶年齡情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名喜歡使用該APP的用戶，年齡均在周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)使用該視頻APP用戶的平均年齡的第分位數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留2位）；(2)若所有用戶年齡近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；(3)用樣本的頻率估計(jì)概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機(jī)抽取8名用戶，用表示這8名用戶中恰有名用戶的年齡在區(qū)間歲的概率，求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：【答案】(1)（歲）(2)(3)【詳解】（1）由直方圖可知，第分位數(shù)位于區(qū)間，第分位數(shù)（歲）.（2）（歲）使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的.（3）根據(jù)題意，要使取最大值，則，，解得，因?yàn)?，所?23．錨定2060碳中和，中國能源演進(jìn)“綠之道”，為響應(yīng)綠色低碳發(fā)展的號(hào)召，某地在沙漠治理過程中，計(jì)劃在沙漠試點(diǎn)區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風(fēng)固沙，中間種植適合當(dāng)?shù)丨h(huán)境的特色經(jīng)濟(jì)作物，通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率為0.8，紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率均為p，且已知任取三種幼苗各一株，其中至少有兩株幼苗成活的概率不超過0.896．(1)當(dāng)p最大時(shí)，經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率也將提升至0.88，求此時(shí)三種幼苗均成活的概率（）；(2)正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布（單位：mm）．㈠梭梭樹幼苗栽種5年后，若任意抽取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概