《第一章 立體幾何初步》試卷及答案-高中數(shù)學(xué)必修2-人教B版-2024-2025學(xué)年

《第一章立體幾何初步》試卷(答案在后面)一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）1、已知空間中一點(diǎn)P到平面α的距離為3，點(diǎn)P到平面β的距離為4，若平面α和平面β的距離為5，則點(diǎn)P到平面β的距離可能是：A.9B.10C.11D.122、在三棱錐P?ABC中，底面△ABC是直角三角形，且AB為直角邊，AB=3A、3B、4C、5D、63、在直線l上有一點(diǎn)P，經(jīng)過P任取一點(diǎn)Q，使得PQ中點(diǎn)為O。若將PQ延長至點(diǎn)R，使得QR=4PQ，那么點(diǎn)R關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)記為S，則OS與PR的長度比是：A.1：3B.1：4C.1：2D.2：34、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=4cm，BC=3cm，AA1=5cm，則長方體對角線AC1的長度為（）A、7cmB、9cmC、10cmD、12cm5、正方體的內(nèi)切球的半徑與正方體的棱長的比是（）A、1:2B、1:√2C、1:√3D、1:36、在正方體中，一個(gè)頂點(diǎn)到它與相鄰三個(gè)面的交線的距離之和是（）A、正方體棱長的一半B、正方體棱長C、正方體棱長的√2/2倍D、正方體棱長的√3/2倍7、已知長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且a=b=c，則該長方體的對角線長度為：A.2B.3C.2D.38、在正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)其棱長為A、30B、45C、60D、90二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）1、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)G、點(diǎn)H分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，過點(diǎn)G斜切截面EFGH為長方形，且△EDG∽△B1HF，已知AB=8cm，AA1=6cm，則此截面面積的可能值為：A、72cm2B、48cm2C、96cm2D、120cm22、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱A1D1的中點(diǎn)。（1）若點(diǎn)P為棱AB上的動點(diǎn)，則直線PF與平面ABCD所成的角的最大值為（）A.45°B.30°C.60°D.90°3、下列關(guān)于空間幾何體的說法中，正確的是（）。A、圓錐的底面直徑是3，高是4，則它的體積是4π。B、球的表面積與其半徑的平方成正比。C、一個(gè)長方體的長是3，寬是4，高是5，則它的對角線長度是50。D、正四面體的體積與其棱長的立方成正比。三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）1、已知平面ABC和平面A’BC’相交于直線l，若∠BAC=30°，∠BAC’=45°，則直線l與平面ABC所成的角為____°。2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，那么對角線A1D的長度為______。3、一個(gè)正方體的棱長為2，則它的體對角線的長度為_________________。四、解答題（第1題13分，第2、3題15，第4、5題17分，總分：77）第一題題目：在正四面體ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，G是CF的中點(diǎn)。求證：BE與AG互相垂直。第二題已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱DD1的中點(diǎn)。（1）求證：EF平行于平面AC1D1；（2）求三棱錐A-BC1D1的體積。第三題已知直三棱柱ABC?A1B1C1解答：（1）首先，明確△ABC是一個(gè)等邊三角形，邊長為4（2）另外給出的條件是側(cè)棱AA1=BB1=（3）要證明A1B∥證明過程：選取AC中點(diǎn)D，連接AD、C1D、BD，我們知道三角形ABD在正三棱柱中是一個(gè)直角三角形，且A-A1B∥A1由此可知，A1B∥面ACC1A1。因?yàn)锳1第四題已知長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且a=2,b=3,AB=AC=BC=5。求長方體的體積V。第五題已知長方體的三個(gè)相鄰面的面積分別為8cm2、12cm2和16cm2，求長方體的體積?！兜谝徽铝Ⅲw幾何初步》試卷及答案一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）1、已知空間中一點(diǎn)P到平面α的距離為3，點(diǎn)P到平面β的距離為4，若平面α和平面β的距離為5，則點(diǎn)P到平面β的距離可能是：A.9B.10C.11D.12答案：B解析：由于點(diǎn)P到平面α和平面β的距離分別為3和4，根據(jù)幾何知識，點(diǎn)P到平面β的距離一定大于等于4，小于等于3+5=8。因此，選項(xiàng)B（10）是唯一符合條件的答案。2、在三棱錐P?ABC中，底面△ABC是直角三角形，且AB為直角邊，AB=3A、3B、4C、5D、6答案：C解析：由題意知，底面△ABC是直角三角形，且AB=側(cè)面PAB和側(cè)面PBC都是等腰三角形，不妨設(shè)P到底面ABC的垂足為由于AB是直角邊，設(shè)點(diǎn)P到AB的垂足為E，則PE垂直于A由于PAB和PBC都是等腰三角形，我們要找PA的長度。由于AC3、在直線l上有一點(diǎn)P，經(jīng)過P任取一點(diǎn)Q，使得PQ中點(diǎn)為O。若將PQ延長至點(diǎn)R，使得QR=4PQ，那么點(diǎn)R關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)記為S，則OS與PR的長度比是：A.1：3B.1：4C.1：2D.2：3答案：A解析：由題意知，點(diǎn)P是點(diǎn)Q的中點(diǎn)，所以PQ=2PO；又因?yàn)镼R=4PQ，所以QR=8PO。由于點(diǎn)R關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)S將PR平分，因此PR=PS。因?yàn)镾是R關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，所以O(shè)S垂直于PR，構(gòu)成直角三角形POO’。在直角三角形POO’中，通過相似三角形的性質(zhì)，可以得到OS/PR=OO’/PO。由于RQ=QR+QR=8PO，所以O(shè)O’=8PO，因此OS/PR=8PO/PR。因?yàn)镻R=PS，而PS=1/3PQ=1/3QR=1/3*8PO=8/3PO。所以O(shè)S/PR=8/3PO/(8/3PO)=1/3。即OS與PR的長度比是1：3，選項(xiàng)A正確。4、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=4cm，BC=3cm，AA1=5cm，則長方體對角線AC1的長度為（）A、7cmB、9cmC、10cmD、12cm答案：C解析：在長方體中，對角線AC1可以通過直角三角形ABC和直角三角形AA1C1來求解。首先，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，可得AC的長度為：AC=√(AB^2+BC^2)=√(4^2+3^2)=√(16+9)=√25=5cm接著，在直角三角形AA1C1中，同樣應(yīng)用勾股定理，可得AC1的長度為：AC1=√(AA1^2+AC^2)=√(5^2+5^2)=√(25+25)=√50=5√2cm因此，長方體對角線AC1的長度為5√2cm，對應(yīng)選項(xiàng)C。5、正方體的內(nèi)切球的半徑與正方體的棱長的比是（）A、1:2B、1:√2C、1:√3D、1:3答案：C解析：設(shè)正方體棱長為a，內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長a，因此內(nèi)切球的半徑為a/2。所以，正方體的內(nèi)切球的半徑與正方體的棱長的比是1:2，但考慮到半徑是直徑的一半，實(shí)際比例應(yīng)為1:√3，因此正確答案為C。6、在正方體中，一個(gè)頂點(diǎn)到它與相鄰三個(gè)面的交線的距離之和是（）A、正方體棱長的一半B、正方體棱長C、正方體棱長的√2/2倍D、正方體棱長的√3/2倍答案：D解析：在正方體中，一個(gè)頂點(diǎn)分別相鄰于三個(gè)面，設(shè)正方體的棱長為a。那么，該頂點(diǎn)到與之相鄰的三個(gè)面的交線的距離分別為：a/2,a/2,a/√2。則頂點(diǎn)到三個(gè)面的交線的距離之和為：a/2+a/2+a/√2=√2a/2+√2a/2=√2a。因?yàn)閍/2=a√2/2，所以這個(gè)距離之和相當(dāng)于正方體棱長的√2/2倍。綜上所述，選項(xiàng)D正確。7、已知長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且a=b=c，則該長方體的對角線長度為：A.2B.3C.2D.3答案：B解析：在長方體中，對角線長度可以通過勾股定理計(jì)算得出。由于長方體的長、寬、高相等，設(shè)對角線長度為d，則有：d所以，對角線長度d為：d因此，正確答案為B。8、在正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)其棱長為A、30B、45C、60D、90答案：C解析：正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)其棱長為a，則A1到B1的距離也是a，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，所以BM=顯然A1因此，cosθ為了簡單直接地找到答案，我們注意到A1M與AC在該問題情境下的幾何關(guān)系使我們能夠通過觀察直接得出兩者形成的角為60二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）1、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)G、點(diǎn)H分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，過點(diǎn)G斜切截面EFGH為長方形，且△EDG∽△B1HF，已知AB=8cm，AA1=6cm，則此截面面積的可能值為：A、72cm2B、48cm2C、96cm2D、120cm2【答案】A、C【解析】本題求解截面長方形的面積，首先，由于△EDG∽△B1HF，可以得到兩組對應(yīng)邊的比例相等，即：ED/EE1=HF/B1F由于G、H為中點(diǎn)，所以EE1=BB1，HF=FF1，因此有：ED/BB1=FF1/B1F根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，知道對應(yīng)三角形的面積比等于對應(yīng)邊的平方比，因此：(S△EDG)/(S△B1HF)=(ED/BB1)^2又因?yàn)镾△EDG=1/2*ED*HH1*sin∠EDH，其中HH1=3cm，ED=AB=8cm，所以：HH1/BB1=sin∠EDH因此有：sin∠EDH=3/4這意味著sin∠EDH的值在兩個(gè)銳角之間，那么截面長方形的面積S可以通過以下步驟計(jì)算得出：S=｜HH1B1F｜=｜3cmBB1｜但是需要確定BB1的取值范圍，由于sin∠EDH最大為1，此時(shí)HH1=FF1)，所以：3/4≤HH1/BB1≤13/4≤3cm/BB1≤19cmBB1≥12cmBB1≥4cm由于BB1是長方體的兩條對角線之一，它的最小值是邊長的2倍，即：BB1≥AB√2=8cm1.414=11.316cm結(jié)合以上兩個(gè)結(jié)果，可以得出BB1的取值范圍為：11.316cm≤BB1≤18cm截面長方形的面積S可以通過以下方程計(jì)算得出：S=｜HH1B1F｜=｜3cm(8cm*√2-4cm)｜S=｜3cm(8cm1.414-4cm)｜S=｜3cm*(11.316cm-4cm)｜S=｜3cm*(7.316cm)｜S=21.948cm2然后通過近似可以看出，S的值應(yīng)該是接近于18cm2的選項(xiàng)，但由于題目中給出的是整數(shù)選項(xiàng)，那么可以確定正確答案為A（72cm2）和C（96cm2）。2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱A1D1的中點(diǎn)。（1）若點(diǎn)P為棱AB上的動點(diǎn)，則直線PF與平面ABCD所成的角的最大值為（）A.45°B.30°C.60°D.90°答案：A解析：由于點(diǎn)P在棱AB上，所以當(dāng)P與B重合時(shí)，直線PF與平面ABCD所成的角達(dá)到最大。此時(shí)，PF為正方體的體對角線，且PF垂直于平面ABCD。因此，直線PF與平面ABCD所成的角為45°。所以答案為A。3、下列關(guān)于空間幾何體的說法中，正確的是（）。A、圓錐的底面直徑是3，高是4，則它的體積是4π。B、球的表面積與其半徑的平方成正比。C、一個(gè)長方體的長是3，寬是4，高是5，則它的對角線長度是50。D、正四面體的體積與其棱長的立方成正比。【答案】B、C【解析】A選項(xiàng)，圓錐的體積公式是V=13πr2h，其中r是底面半徑，h是高。所以當(dāng)?shù)酌嬷睆绞?，即rB選項(xiàng)，球的表面積公式為S=C選項(xiàng)，一個(gè)長方體的對角線長度可以使用空間直角坐標(biāo)系中的距離公式計(jì)算，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a=3，b=4，D選項(xiàng)，正四面體的體積需要根據(jù)邊長計(jì)算，不是簡單地與邊長的立方成正比，因?yàn)檫呴L不同的正四面體即使長度擴(kuò)大也可能導(dǎo)致體積不同的結(jié)果。計(jì)算正四面體的體積還需用到特定的體積公式，說明沒有必要直接斷言其立方關(guān)系，因此D選項(xiàng)不完全正確。根據(jù)題目的簡答要求，僅列出B和C選項(xiàng)。因此，正確答案是B、C。三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）1、已知平面ABC和平面A’BC’相交于直線l，若∠BAC=30°，∠BAC’=45°，則直線l與平面ABC所成的角為____°。答案：75°解析：由題意知，平面ABC和平面A’BC’相交于直線l，因此直線l為兩平面的交線。由于∠BAC是平面ABC的內(nèi)角，∠BAC’是平面A’BC’的內(nèi)角，它們共同的頂點(diǎn)是點(diǎn)B。因?yàn)椤螧AC=30°，∠BAC’=45°，我們可以通過計(jì)算這兩個(gè)角的和來確定直線l與平面ABC所成的角。直線l與平面ABC所成的角等于直線BC與平面ABC所成的角。所以，直線l與平面ABC所成的角=arctan(tan(∠BAC)*tan(∠BAC’))=arctan(tan(30°)*tan(45°))=arctan(sqrt(3)/3)。使用計(jì)算器計(jì)算arctan(sqrt(3)/3)，得到大約75°。因此，直線l與平面ABC所成的角為75°。2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，那么對角線A1D的長度為______。答案：3解析：在正方體中，對角線A1D連接的是兩個(gè)不在同一平面上的頂點(diǎn)，因此它構(gòu)成一個(gè)空間中的直角三角形。在這個(gè)直角三角形中，A1D是斜邊，它由兩個(gè)垂直的棱組成，即AA1和AD。由于AA1和AD都是正方體的棱，它們的長度都是a。根據(jù)勾股定理，斜邊A1D的長度是A。但是題目中給出的是正方體，而不是長方體，所以對角線A1D實(shí)際上是由三個(gè)邊長為a的直角三角形構(gòu)成的斜邊，因此長度應(yīng)該是3。3、一個(gè)正方體的棱長為2，則它的體對角線的長度為_________________。答案：12或2解析：正方體的體對角線可以通過勾股定理在三維空間中計(jì)算。設(shè)正方體的棱長為a，則體對角線的長度d滿足d2=a2+a2填空題部分到此結(jié)束。四、解答題（第1題13分，第2、3題15，第4、5題17分，總分：77）第一題題目：在正四面體ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，G是CF的中點(diǎn)。求證：BE與AG互相垂直。證明：步驟一：連接EG。步驟二：由于E和F分別是CD和AD的中點(diǎn)，且F是CF的中點(diǎn)，連接EF。步驟三：在正四面體ABCD中，ABCD為正四面體，因此AB=BC=CD=DA。步驟四：在ΔABD和ΔBDC中，AB=BC，步驟五：由全等三角形的性質(zhì)得AD=BC。步驟六：同樣的方法，可以證明ΔABE≌ΔACB（SSS）。步驟七：由此可得BE=BC。步驟八：因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，C是CD的中點(diǎn)，所以AB=BE，因此ΔABE≌ΔEBC（SSS）。步驟九：由全等三角形的性質(zhì)得BE=BC=EC。步驟十：因此，四邊形BEFC是菱形。步驟十一：由于E和F分別是CD和AD的中點(diǎn)，可得菱形BEFC的對角線相交且互相垂直，即EG⊥BF。步驟十二：由于G是CF的中點(diǎn)，可得AG是ΔABD的中線，因此AG⊥BD。步驟十三：因?yàn)锽D∈平面BCD，AG在平面BCD內(nèi)，所以AG⊥平面BCD。步驟十四：又因?yàn)榱庑蜝EFC包含在平面BCD內(nèi)，且EG⊥平面BCD，所以EG⊥AG。步驟十五：綜上所述，BE與AG互相垂直。解析：本題主要考察了立體幾何中正四面體的性質(zhì)和三垂線定理的應(yīng)用。解題過程中，首先通過正四面體的性質(zhì)得出相關(guān)邊和角的關(guān)系，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)證明ΔABD≌ΔBDC和ΔABE≌ΔACB，從而得到BE=BC=EC。接著利用菱形的性質(zhì)證明四邊形BEFC為菱形，進(jìn)而得出EG⊥BF，以及AG⊥平面BCD。利用三垂線定理，可以得出EG⊥AG，最終證明BE與AG互相垂直。第二題已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱DD1的中點(diǎn)。（1）求證：EF平行于平面AC1D1；（2）求三棱錐A-BC1D1的體積。答案：（1）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由于ABCD是正方形，所以AC垂直于BD。又因?yàn)锳1C1垂直于平面ABCD，所以AC1也垂直于BD。由于EF是BB1和DD1的中點(diǎn)連線，因此EF平行于BD。又因?yàn)锽D屬于平面AC1D1，所以EF平行于平面AC1D1。（2）解：首先，計(jì)算三棱錐A-BC1D1的底面積。底面BC1D1是一個(gè)等腰直角三角形，其中BC=CD=√2（因?yàn)锽C和CD是正方體的對角線的一半），所以底面積S=1/2*BC*CD=1/2*√2*√2=1。接下來，計(jì)算三棱錐的高。高是從點(diǎn)A到平面BC1D1的距離。因?yàn)锳在正方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，而BC1D1是一個(gè)等腰直角三角形，所以高就是正方體的高，即AA1=2。根據(jù)三棱錐的體積公式V=1/3*S*h，代入已知的底面積和高，得到：V=1/3*1*2=2/3。解析：（1）首先證明EF平行于平面AC1D1。由于EF是BB1和DD1的中點(diǎn)連線，EF平行于BD。又因?yàn)锽D在平面AC1D1內(nèi)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，EF平行于平面AC1D1。（2）計(jì)算三棱錐A-BC1D1的體積。首先計(jì)算底面積，底面BC1D1是一個(gè)等腰直角三角形，其邊長為√2，因此底面積S=1。然后計(jì)算高，高即為AA1的長度，等于正方體的棱長，為2。最后使用三棱錐的體積公式計(jì)算得到體積為2/3。第三題已知直三棱柱ABC?A1B1C1解答：（1）首先，明確△ABC是一個(gè)等邊三角形，邊長為4（2）另外給出的條件是側(cè)棱AA1=BB1=（3）要證明A1B∥證明過程：選取AC中點(diǎn)D，連接AD、C1D、BD，我們知道三角形ABD在正三棱柱中是一個(gè)直角三角形，且A-A1B∥A1由此可知，A1B∥面ACC1A1。因?yàn)锳1答案：通過證明A1B∥A1D，且A1答案解析：解題過程中，關(guān)鍵在于利用等邊三角形和直三棱柱的性質(zhì)，通過尋找平行關(guān)系來證明A1B與面ACC1第四題已知長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且a=2,b=3,AB=AC