專題92正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（B卷提升篇）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元AB卷（新教材人教B版）

專題9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（B卷提升篇）參考答案與試題解析第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2020·全國高二（理））如圖，一艘船上午在處測(cè)得燈塔在它的北偏東處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午到達(dá)處，此時(shí)又測(cè)得燈塔在它的北偏東處，且與它相距.此船的航速是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)航速為在中，，，，由正弦定理得：，∴.故選：C.解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型；（3）根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解；（4）將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.2．（2020·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)、兩點(diǎn)在水庫的兩岸，測(cè)量者在的同側(cè)的庫邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離為m，，，就可以計(jì)算出、兩點(diǎn)的距離為（）A．m B．m C．m D．m【答案】A【解析】根據(jù)題中條件先求出，再由正弦定理，即可得出結(jié)果.【詳解】∵中，，，∴.又∵中，m，∴由正弦定理可得：，則m.故選：A.3．（2020·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）某快遞公司在我市的三個(gè)門店A，B，C分別位于一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，其中門店A，B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50°方向上，門店B位于門店C的北偏西70°方向上，則門店A，B間的距離為（）A．a(chǎn)km B． C． D．2akm【答案】C【解析】根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由題意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，由余弦定理得，，所以，即門店A，B間的距離為.故選：C.4．（2020·重慶高三月考）《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個(gè)問題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？用現(xiàn)代語言來解釋，其意思為：立兩個(gè)3丈高的標(biāo)桿，之間距離為1000步，兩標(biāo)桿與海島的底端在同一直線上.從第一個(gè)標(biāo)桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點(diǎn)共線；從后面的一個(gè)標(biāo)桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點(diǎn)也共線，則海島的高為（3丈=5步）（）A．1200步 B．1300步 C．1155步 D．1255步【答案】D【解析】設(shè)海島的高為步，用表示和，列出方程即可求出.【詳解】解：設(shè)海島的高為步，由題意知，步，步，步，步，則，即，，所以，則，解得，即海島的高為步，故選：D.5．（2020·全國高二（理））如圖所示，在坡度一定的山坡處測(cè)得山頂上一建筑物的頂端對(duì)于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)m到達(dá)處，又測(cè)得對(duì)于山坡的斜度為，若m，山坡對(duì)于地平面的坡角為，則（）

A． B．C． D．【答案】C【解析】先在中，利用正弦定理求得BC，再在中，利用正弦定理求得，然后由求解.【詳解】在中，由正弦定理得：

，在中，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，故選：C6．（2020·廣東深圳市·明德學(xué)校高三月考）一輛汽車在一水平的公路上由北向南行駛，在公路右側(cè)有一高山．汽車行駛到A處測(cè)得高山在南偏西15°方向上，山頂處的仰角為60°，繼續(xù)向南行駛到B處測(cè)得高山在南偏西75°方向上，則山高為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)A處到山頂處下方的地面C距離為，則山高，再利用正弦定理即可得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)A處到山頂處下方的地面C距離為，則山高，在中，，，，由正弦定理，得，，所以，.故選：C7．（2020·河南高三期中）如圖，在離地面的熱氣球上，觀察到山頂處的仰角為，在山腳處觀察到山頂處的仰角為60°，若到熱氣球的距離，山的高度，，則（）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】D【解析】首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，在中，由正弦定理得到，從而得到或，再分類討論即可得到的值.【詳解】在中，，，∴在中，由正弦定理知，解得，∴或120°.當(dāng)時(shí)，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，，.∴.故選：D8．（2020·全國高三月考（理））如圖所示，某旅游景區(qū)的，景點(diǎn)相距，測(cè)得觀光塔的塔底在景點(diǎn)的北偏東45°，在景點(diǎn)的北偏西60°方向上，在景點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，現(xiàn)有游客甲從景點(diǎn)沿直線去往景點(diǎn)，則沿途中觀察塔頂?shù)淖畲笱鼋堑恼兄禐椋ㄋ敶笮『陀慰蜕砀吆雎圆挥?jì)）

A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由題意得，，．故在中，由正弦定理得所以．當(dāng)游客甲到達(dá)處時(shí)，仰角為且．因?yàn)闉槎ㄩL，所以當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，取最大值．故當(dāng)時(shí)，最大．在中，在中，，所以．所以．故選:A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。9．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知在△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，給出下列條件，其中使△ABC為等腰三角形的一個(gè)充分條件是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】選項(xiàng)A，或或，即△ABC為等腰三角形或直角三角形，該命題是必要條件，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，即△ABC為等腰三角形，正確；選項(xiàng)C，，即△ABC為直角三角形，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，即△ABC為等腰三角形，正確.故選：BD10．（2020·山東省青島第十七中學(xué)高一期中）下列說法正確的有（）A．在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件D．在△ABC中，若sinA=，則A=【答案】AC【解析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由正弦定理可得：即成立，故選項(xiàng)A正確；由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項(xiàng)C正確；在△ABC中，若sinA=，則或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．（2019·膠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）（多選題）如圖，設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且．若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，下列說法中，正確的命題是（）A．的內(nèi)角 B．的內(nèi)角C．四邊形面積的最大值為 D．四邊形面積無最大值【答案】ABC【解析】先根據(jù)正弦定理化簡條件得，再結(jié)合得，最后根據(jù)三角形面積公式表示四邊形面積，利用余弦定理以及輔助角公式化為基本三角函數(shù)形式，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】,因此A,B正確；四邊形面積等于因此C正確，D錯(cuò)誤，故選：ABC12．（2020·江蘇省清江中學(xué)高一期中）在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知，若，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】首先由正弦定理將條件化成邊，然后由余弦定理求出，然后利用求出其范圍即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，所?由正弦定理得，，所以故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2020·成都市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校（西區(qū)）高一期中）如圖，位于處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營救.在處南偏西30°且相距20海里的處有一救援船，其速度為海里小時(shí)，則該船到求助處的時(shí)間為______分鐘.【答案】【解析】利用余弦定理求出，即可求出該船到求助處的時(shí)間.【詳解】解：由題意知：，，，則在中，利用余弦定理知：，代入數(shù)據(jù)，得，解得：，則從到所用時(shí)間為，則，即.故答案為：.14．（2020·河南新鄉(xiāng)市·高二期中（文））如圖，為測(cè)量小汽車的速度，某人在一條水平公路旁的山頂處測(cè)得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得俯角為，已知此山的高度為米，，則該小車的速度是__________千米/時(shí).【答案】【解析】在直角三角形中求出，然后由余弦定理求得后可得速度．【詳解】由題意，，在中，∴速度為（千米/小時(shí)）．故答案為：．15．（2020·四川省成都市鹽道街中學(xué)高一期中）在山頂鐵塔上處測(cè)得地面上一點(diǎn)的俯角，在塔底處測(cè)得點(diǎn)的俯角，已知鐵塔部分高米，山高_(dá)______．【答案】米【解析】設(shè)米，在直角三角形中表示出，利用的長求得，從而得．【詳解】由，易得，，設(shè)，則，，，．16．（2020·河南商丘市·高三月考（文））某中學(xué)組隊(duì)到某村參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，村長讓學(xué)生測(cè)量河流兩岸與兩點(diǎn)間的距離．同學(xué)們各抒己見，但李明想到一種測(cè)量方法，同學(xué)們一致認(rèn)為很好．其方法是：在點(diǎn)處垂直底面豎立一根竹竿，在竹竿上取一點(diǎn)，使米，在處測(cè)得從看的俯角為．①當(dāng)和在同一水平面上時(shí)（如圖1）．測(cè)得______米；②當(dāng)和不在同一水平面上（和，在同一水平面上）時(shí)（如圖2），利用測(cè)角儀測(cè)得，此時(shí)，可測(cè)得______米．【答案】【解析】①根據(jù)圖示可知：，結(jié)合長度求解出結(jié)果；②根據(jù)條件先求解出的表示，然后在中根據(jù)正弦定理可得，化簡此式可求解出的長度.【詳解】①，由，得；②，，在中由正弦定理，得，解得．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（2020·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，高郵漫水公路AB一側(cè)有一塊空地OAB，其OA＝6km，km，∠AOB＝90°．市政府?dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON＝30°．（1）若M在距離A點(diǎn)4km處，求點(diǎn)M，N之間的距離；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖OMN的面積要盡可能小．試確定M的位置，使OMN的面積最小，并求出最小面積．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，三角形的面積最小，最小值為．【解析】（1）中，利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得，中，利用正弦定理可得．（2）設(shè)，中，利用正弦定理可得．在中，利用正弦定理可得．利用三角形面積計(jì)算公式及其正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）OAB，其OA＝6km，km，∠AOB＝90°，，所以中，，則，在中，中，，所以．（2）設(shè)在中，得在中，得．，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)面積最小，最小值為．此時(shí)中，則．答：當(dāng)時(shí)，三角形的面積最小，最小值為方法點(diǎn)睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.18．（2020·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀在AE上的點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M，N在線段D，E(含端點(diǎn))上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方，經(jīng)測(cè)量得知：AD=8米，AE=8米，AP=2米，.記∠EPM=θ，監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米.（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出cosθ的取值范圍；（2）求可視區(qū)域△PMN的面積的最小值.【答案】（1）S=，cosθ∈[，1]；（2）18(﹣1)平方米.【解析】（1）利用正弦定理，求出，即可求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)與重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，cos∠APD=，求出，即可寫出cosθ的取值范圍；（2）當(dāng)當(dāng)2θ+=，即θ=時(shí)，求出取得最小值.【詳解】（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=8﹣2=6(米)，∠PEM=，∠PME=﹣θ，由正弦定理可得PM==，同理，在△PNE中，PN=，∴△PMN的面積為S=?PM?PN?sin∠MPN===，當(dāng)M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，cos∠APD=，即θ=﹣arccos，∴0≤θ≤﹣arccos，∴≤cosθ≤1，綜上所述，S=，cosθ∈[，1]；（2）由（1）知當(dāng)2θ+=，即θ=時(shí)，S取得最小值為=18(﹣1)平方米.19．（2020·寧夏固原市·固原一中高三月考（理））如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.【答案】【解析】先根據(jù)題目條件確定出的長度，確定，的度數(shù)，然后在中利用正弦定理可求得的長度，然后在直角三角形中確定的長度．【詳解】解：由題意可知，則,又,所以,,在中，由正弦定理得,即解得：,則，即山的高度為.20．（2020·長垣市第十中學(xué)高二月考（理））如圖，已知兩條公路，的交匯點(diǎn)處有一學(xué)校，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠，在兩公路旁，（異于點(diǎn)）處設(shè)兩個(gè)銷售點(diǎn)，且滿足，（千米），（千米），設(shè)．（注：）（1）試用表示，并寫出的范圍；（2）當(dāng)為多大時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)學(xué)校的影響最?。垂S與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)）．【答案】（1），；（2）時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)學(xué)校的影響最小．【解析】（1）利用正弦定理可得的表達(dá)式；（2）根據(jù)余弦定理表示出，結(jié)合三角函數(shù)最值可得的最大值，進(jìn)而可求.【詳解】（1）因?yàn)?，在中，因?yàn)?，所以，?）在中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值36，即取得最大值6．所以當(dāng)時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)學(xué)校的影響最?。?1．（2020·河南高二月考（文））某中學(xué)高二甲乙兩名學(xué)生在學(xué)習(xí)了解三角形知識(shí)后決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量學(xué)校附近的一個(gè)高燈的高度，已知高燈在一立柱的最上方，甲在立柱正前方，站立測(cè)得眼睛觀察立柱底端B與燈的頂端A的俯角與仰角分別為，，且，已知甲的眼睛到地面距離為1.6m.（1）求燈的頂端A到地面的距離；（2）若乙（身高忽略不計(jì)）在地面上選兩點(diǎn)P，Q，，且在點(diǎn)P處觀