專題06復(fù)數(shù)的綜合運用

專題06復(fù)數(shù)的綜合運用【考點預(yù)測】一、基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．二、基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．【典型例題】例1．（2023春·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校?fù)數(shù)滿足，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則.則.則.故選：C例2．（2023春·安徽蕪湖·高一?？计谥校?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由題意得，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(3,1)，位于第一象限.故選：A例3．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）歐拉恒等式（為虛數(shù)單位，為自然對數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當自變量時，.得.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由題意，顯然，所以在復(fù)平面中對應(yīng)的點在第一象限；故選：A.例4．（2023春·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z滿足，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，，解得，則，又，，故.故選：B.例5．（2023春·山西·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)t的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，又，所以，由時，不等式恒成立，則恒成立，即恒成立，令，因為時，單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)t的取值范圍是．故選：B例6．（多選題）（2023春·廣西桂林·高一?？计谥校┮阎?，則下列說法正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限B．C．的虛部是D．的實部是1【答案】ABD【解析】由題得.所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，所以選項A正確；，所以選項B正確；的虛部是1，所以選項C錯誤；的實部是1，所以選項D正確.故選：ABD例7．（多選題）（2023春·福建三明·高一校聯(lián)考期中）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則的虛部為C．若，則不可能為純虛數(shù)． D．若，則

．【答案】ACD【解析】，所以，A正確；，虛部是，B錯誤；，若，則是實數(shù)，若，則是虛數(shù)，不是純虛數(shù)，C正確；，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，這個圓上的點到原點的距離最小值為0，最大值為2，所以，D正確．故選：ACD．例8．（2023春·浙江·高一期中）已知，關(guān)于x的一元二次方程的一個根z是純虛數(shù)，則________．【答案】【解析】設(shè)，則，因為，故，解得，故，故，故答案為：例9．（2023春·河南濮陽·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)___________.【答案】【解析】.因為，而，所以，所以.故答案為：例10．（2023春·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】10【解析】復(fù)數(shù)，由，即，于是得，整理得，，即，表示點與點、距離的和，顯然點P在x軸上，而線段AB與x軸相交，因此，，當且僅當點P為線段AB與x軸的交點時取“=”，所以的最小值是10.故答案為：10例11．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）設(shè).(1)證明：；(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，利用公式解方程.【解析】（1），故.（2），即，即則或，當，，當，或故方程的根為1或或.例12．（2023春·浙江金華·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)值.【解析】（1）由已知得到，因為在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，所以，解得，所以（2）因為虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個根，所以，所以，所以，所以，所以.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023春·山西呂梁·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：.故選：A.2．（2023春·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)?？计谥校┫铝忻}一定成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則是純虛數(shù)D．若且，則且【答案】D【解析】對于，當時，，故選項錯誤；對于，當時，，但并不相等，故選項錯誤；對于，若，則并不是純虛數(shù)，故選項錯誤；對于，因為且，所以為正實數(shù)，則且，故選項正確，故選：.3．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，故選：B.4．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，且，解得.故選：B5．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎翘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限C．的實部為1 D．的共軛復(fù)數(shù)的模為1【答案】D【解析】因為，所以，所以的虛部為，故A錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，其對應(yīng)的點是，在第一象限，故B錯誤；的實部為，故C錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，則模長為，故D正確，故選：D.6．（2023春·浙江·高一期中）任何一個復(fù)數(shù)（其中a、，為虛數(shù)單位）都可以表示成三角形式，其中．法國數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫佛定理，根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（

）A．B．當，時，C．D．當，時，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】A【解析】對于A，因為，所以，，，所以，故A正確；對于B，時，根據(jù)棣莫弗定理，，所以B不正確；對于C，因為，所以，所以，所以C不正確；對于D，時，，n為偶數(shù)時，設(shè),，k為偶數(shù)時，為實數(shù)，選項D錯誤.故選：A.7．（2023春·河南濮陽·高一統(tǒng)考期中）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以.故選：A.8．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校┮阎?，，，，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)，，所以，，因為，所以，即，所以.故選：D.二、多選題9．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)，，是的共軛復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則，且C．若是實數(shù)，則 D．若，則【答案】BD【解析】對于A，若，則，而此時，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，所以，且，所以B正確，對于C，若，則，而此時，所以C錯誤，對于D，設(shè)，則，所以，因為，所以，所以D正確，故選：BD10．（2023春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期中）已知a，，，，則下列說法正確的是（

）A．z的虛部是 B．C． D．z對應(yīng)的點在第二象限【答案】BC【解析】由復(fù)數(shù)相等可得解得所以，對于A，的虛部是2，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，對應(yīng)的點在虛軸上，故D錯誤.故選：BC11．（2023春·福建泉州·高一泉州五中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點在復(fù)平面上的坐標為 B．C．的最大值為 D．的最小值為1【答案】ABC【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，．復(fù)數(shù)滿足，則對應(yīng)的點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓．∴的最大值為；的最小值為．綜上可得：ABC正確，D不正確．故選：ABC．12．（2023春·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．若，則【答案】AD【解析】選項A：若，則，所以，故A正確，選項B：設(shè)，，則，但是，故B錯誤，選項C：設(shè)，則，，所以，故，故C錯誤；選項D：設(shè)，，，，，則，則，，所以，故D正確，故選：AD．三、填空題13．（2023春·山西呂梁·高一校聯(lián)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標原點，向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則的值為_________.【答案】【解析】因為，，，所以，，，所以，所以.故答案為：.14．（2023春·山東青島·高一山東省青島第十九中學(xué)?？计谥校┤魪?fù)數(shù)滿足，則=_________【答案】【解析】依題意，，所以.故答案為：15．（2023春·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)?？计谥校?fù)數(shù)、滿足，，則______．【答案】【解析】原題等價于，，求.，，，.故答案為：.16．（2023春·廣東廣州·高一?？计谥校┮阎菍嵪禂?shù)方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的一個根，則___________．【答案】14【解析】因為是實系數(shù)方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的一個根，所以也是實系數(shù)方程的一個根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得：解得：，所以.故答案為：14.17．（2023春·吉林長春·高一長春吉大附中實驗學(xué)校?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，滿足，，則的最小值為______．【答案】1【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，，則在復(fù)平面內(nèi)是以為圓心，為半徑的圓上，，則在復(fù)平面內(nèi)是以為圓心，8為半徑的圓上，又兩圓心間的距離為，故的最小值為故答案為：118．（2023春·吉林·高一吉化第一高級中學(xué)校?？计谥校┰趶?fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點滿足的方程為______．【答案】【解析】由題意，，，，則，化簡得，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點滿足的方程為.故答案為：四、解答題19．（2023春·浙江·高一期中）已知復(fù)數(shù)使得，，其中是虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)的模；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，，根據(jù)題意，，所以，即；又，所以，即，所以，則；（2）由（1）可知，所以。在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限，所以且，解得，即的取值范圍為．20．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）.(1)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)的值.【解析】（1），，因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，所以，解得；（2）因為虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，所以虛數(shù)也是一元二次方程的根，則，所以.21．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為A，B，O為坐標原點，求OAB的面積.【解析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，由題意，得，解得，所以.（2）由（1）可得，所點，，，.因為，所以，所以22．（2023春·山東·高一統(tǒng)考期中）設(shè)，均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，已知對應(yīng)的點的坐標為，且對應(yīng)的點在第一象限.(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；(2)若，且是關(guān)于x的方程的一個復(fù)數(shù)根，求.【解析】(1)由題可知，其中，∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，∴，且，∴.(2)∵，∴，∴，∴關(guān)于的方程的兩根分別為，，∵對應(yīng)的點在第一象限，∴，且，∵，∴，∴，或，∵，∴，∴，∴，∴.23．（2023春·河南·高一河南省實驗中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，，其中a是正實數(shù)．(1)若，求實數(shù)a的值；(2)若是純虛數(shù)，求a的值．【解析】（1）∵，，，∴，從而，解得，所以實數(shù)a的值為2．（2）依題意得：，因為是純虛數(shù)，所以：，解得：或；又因為a是正實數(shù)，所以a＝2．24．（2023春·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)滿足