專題4.2 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）

專題4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）負數(shù)和零沒有對數(shù)，即； （2）1的對數(shù)等于0，即；（3）底數(shù)的對數(shù)等于1，即； （4）對數(shù)恒等式.2．對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么：（1）； （2）；（3）.3．對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式的變形及推廣：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).4．對數(shù)運算的一般思路（1）對于指數(shù)式、對數(shù)式混合型條件的化簡與求值問題，一般可利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將所給條件統(tǒng)一為對數(shù)式或指數(shù)式，再根據(jù)有關(guān)運算性質(zhì)求解；（2）在對數(shù)運算中，可先利用冪的運算性質(zhì)把底數(shù)或真數(shù)變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后運用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式，將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算.5．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表所示：圖象定義域值域性質(zhì)過定點，即時，在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0在直線的右側(cè)，當時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．6．對數(shù)函數(shù)的圖象過定點（1,0），所以討論與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過定點的問題，只需令真數(shù)為1，解出相應(yīng)的，即可得到定點的坐標.7．當?shù)讛?shù)時，對數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，當時，底數(shù)的值越小，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當?shù)讛?shù)時，對數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，當時，底數(shù)的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快.也可作直線y=1與所給圖象相交,交點的橫坐標即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大?。?．對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．特別地，要注意底數(shù)和的兩種不同情況．有些復雜的問題，借助于函數(shù)圖象來解決，就變得簡單了，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．9．一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.10．求對數(shù)型函數(shù)定義域的策略列出對應(yīng)的不等式(組）求解，注意對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍.11．比較對數(shù)式的大?。海?）若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討論；（2）若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較；（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．12．解對數(shù)不等式：（1）形如的不等式，借助的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分與兩種情況討論；（2）形如的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再借助的單調(diào)性求解．一、單選題1．某種水果失去的新鮮度與其采摘后時間（小時）近似滿足函數(shù)關(guān)系式為（為非零常數(shù)）．若采摘后20小時，這種水果失去的新鮮度為20%，采摘后30小時，這種水果失去的新鮮度為40%．那么采摘下來的這種水果大約經(jīng)過多長時間后失去50%新鮮度（）A．33小時 B．35小時C．38小時 D．43小時2．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當，當，（為常數(shù)），若，則實數(shù)A． B．C． D．3．設(shè)函數(shù)，且，則A． B．1C． D．34．已知函數(shù)，則A． B．C． D．5．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．6．設(shè)實數(shù)，且，，，則x，y，z的大小關(guān)系為A． B．C． D．7．求函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間A． B．C． D．8．函數(shù)的定義域為A． B．C． D．9．函數(shù)的定義域為A． B．C． D．10．函數(shù)與（且）在同一坐標系中的圖象可以是A． B．C． D．11．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為A． B．C． D．12．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為A． B．C． D．13．已知，則A． B．C． D．14．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是A． B．C． D．15．已知，則以下結(jié)論中正確的是A．； B．；C．； D．．16．已知對數(shù)函數(shù)，且在區(qū)間上恒有，則實數(shù)a的取值范圍是A．； B．；C．； D．．17．已知，，，則A． B．C． D．18．函數(shù)f（x）=1n（x2-2x-8）的單調(diào)遞增區(qū)間是A．（-，-2） B．（-，1）C．（1，+） D．（4，+）19．已知，那么等于A． B．C． D．20．若實數(shù)a，b，c滿足，則下列式子正確的是A． B．C． D．21．已知，則的值為A． B．C． D．22．設(shè)，則．A． B．C． D．23．設(shè)2a＝5b＝m，且＝2，則m等于A． B．10C． D．2024．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則下列三個數(shù)，，，的大小關(guān)系為A． B．C． D．25．已知，，，則有A． B．C． D．26．中國古代十進制的算籌計數(shù)法在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，算籌計數(shù)的方法是個位?百位?萬位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出：十位?千位?十萬位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出．如7738可用算籌表示．縱式橫式1-9這9個數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則圖片表示的結(jié)果和下列相同的是A． B．C． D．27．聲音大小(單位為分貝)取決于聲波通過介質(zhì)時，所產(chǎn)生的壓力變化(簡稱聲壓，單位為)．已知聲音大小與聲壓的關(guān)系式為，且根據(jù)我國《城市區(qū)域環(huán)境噪音標準》規(guī)定，在居民區(qū)內(nèi)，戶外白晝噪聲容許標為50分貝，夜間噪聲容許標準為40分貝，則居民區(qū)內(nèi)，戶外白晝噪聲容許標準的聲壓是戶外夜間噪聲容許標準的聲壓的（）倍A． B．C．10 D．2028．若函數(shù)，則A． B．C． D．29．將（且）轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，其中錯誤的是A． B．C． D．30．若實數(shù)x、y滿足（，且），則的值為A． B．2C． D．131．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A． B．C．（1，3） D．（-1，1）32．對數(shù)函數(shù)(，且)與二次函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是A． B．C． D．33．已知函數(shù)區(qū)間上恒有，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．34．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為A． B．C． D．35．若，，，則A． B．C． D．36．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．37．設(shè)，，則A． B．C． D．38．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，國家有關(guān)規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量大于或等于，小于的駕駛行為為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過（）小時才能駕駛．（參考數(shù)據(jù)，）A．3 B．5C．7 D．939．已知函數(shù)的表達式為．若且，則的取值范圍為A． B．C． D．40．如果在實數(shù)運算中定義新運算“”：．那么對于任意實數(shù)a、b、c，以下結(jié)論中不一定成立的是A． B．C． D．二、多選題1．下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中正確是A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝52．若，，則下列表達正確的是A． B．C． D．3．聲強級（單位：）與聲強（單位：）之間的關(guān)系是，其中指的是人能聽到的最低聲強，對應(yīng)的聲強級稱為聞閾．人能承受的最大聲強為，對應(yīng)的聲強級為，稱為痛閾．某歌唱家唱歌時，聲強級范圍為（單位：）．下列選項中正確的是A．聞閾的聲強級為B．此歌唱家唱歌時的聲強范圍（單位：）C．如果聲強變?yōu)樵瓉淼谋?，對?yīng)聲強級也變?yōu)樵瓉淼谋禗．聲強級增加，則聲強變?yōu)樵瓉淼谋叮?．已知是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，則下列給出的的取值范圍中，能使得成立的有A． B．C． D．5．歷史上數(shù)學計算方面的三大發(fā)明為阿拉伯數(shù)字、十進制和對數(shù)，常用對數(shù)曾經(jīng)在化簡計算上為人們做過重大貢獻，而自然對數(shù)成了研究科學、了解自然的必不可少的工具．現(xiàn)有如下四個關(guān)于對數(shù)的運算，其中正確的是A． B．C． D．6．若，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．7．已知，則A． B．C． D．8．已知正實數(shù)x，y，z滿足，則下列正確的選項有A． B．C． D．9．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的是A．與 B．與C．與 D．與10．已知函數(shù)，則A．在上的最大值為 B．在上單調(diào)遞增C．在上無最小值 D．的圖象關(guān)于直線對稱11．已知函數(shù)，下列四個命題正確的是．A．函數(shù)為偶函數(shù)B．若，其中，，，則C．函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)D．若，則12．表示不超過的最大整數(shù)，下列說法正確的是A．B．，C．D．13．已知正數(shù)、滿足，則下列說法中正確的是A． B．C． D．14．設(shè)都是正數(shù)，且，那么A． B．C． D．15．已知互不相等的三個實數(shù)a，b，c都大于1，且滿足，則a，b，c的大小關(guān)系可能是A． B．C． D．三、填空題1．已知，則用m表示____________．2．函數(shù)的定義域為____________．3．已知對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則實數(shù)____________．4．已知，，且，則實數(shù)a的取值范圍是____________．5．已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值比最小值大4，則實數(shù)____________．6．計算：____________．7．若，，且，則____________．8．____________．9．____________．10．函數(shù)的定義域是____________．11．已知常數(shù)且，假設(shè)無論a為何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個定點，則這個點的坐標為____________．12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．13．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是____________．14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________．15．已知，則關(guān)于x的不等式的解集是____________．四、解答題1．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）記函數(shù)，求的值域．2．設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊長，其中c為斜邊長，且．求證：．3．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）若，，求的值．5．已知函數(shù)的表達式為（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值．6．已知關(guān)系式（其中，，常數(shù)）．若當時，取到最小值，求此時相應(yīng)的的值．7．我們常說的里氏震級，其計算公式為，其中是距震中處標準測震儀接收到的地震的最大振幅，是該處接收到的級地震波的最大振幅．某地區(qū)發(fā)生了級地震．隨后的一次余震中，一個距離震中的測震儀接收到的地震最大振幅是