新人教數(shù)學(xué) 9年級(jí)下：同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練（26.2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程）

26.2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.二次函數(shù)y=-x2+4x-3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則△ABC的面積為()A．6B．4C．3D．1解析：解方程-x2+4x-3=0,得A、B為（1，0）、（3，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，所以C為（0，-3），所以△ABC的面積為×3(3-1)=3.答案：C2．當(dāng)a＞0，Δ=b2-4ac__________0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為正；當(dāng)a__________0，Δ=b2-4ac__________0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為負(fù)．解析：當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，若與x軸無交點(diǎn)，則其值恒為正；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下，若與x軸無交點(diǎn)，則其值恒為負(fù)．答案：<<<3．已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0）、B（m，0），且過第四象限內(nèi)的點(diǎn)C（1，n），而m+n=-1，mn=-12，則此拋物線關(guān)系式是__________．解析：由題意，得m、n為方程x2+x-12=0的兩根，∴解得m=-4，n=3或m=3，n=-4．又∵(1，n)在第四象限，∴n<0．∴m=3，n=-4，即B(3,0)，C（1，-4）．設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=a(x-3)(x+1)．把（1，-4）代入上式，得[來源:]-4＝a（1-3）（1+1），∴-4a＝-4.∴a＝1．∴y＝（x-3）(x+1)=x2-2x-3．答案：y=x2-2x-310分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）和直線y=kx+d（k≠0）有兩個(gè)交點(diǎn)的條件是__________，只有一個(gè)交點(diǎn)的條件是__________，沒有交點(diǎn)的條件是__________．解析：圖象有無交點(diǎn)或有幾個(gè)交點(diǎn)，取決于兩個(gè)方程組的解的情況．答案：（b-k）2-4a(c-d)>0（b-k）2-4a(c-d)=0（b-k）2-4a(c-d)<02．拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于A（x1，0），B（x2，0），x1<x2，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為__________，不等式ax2+bx+c<0的解集為__________．解析：拋物線在x軸上方的范圍是y>0，拋物線在x軸下方的范圍是y<0，拋物線上的點(diǎn)在x軸上時(shí)y=0，對(duì)應(yīng)的x的范圍分別為x>x2或x<x1；x1<x<x2．答案：x>x2或x<x1x1<x<x23．利用圖象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x-10=0;(2)2x2-3x+1=0．解析：作圖象要盡量精確一些，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的近似值．解：略．4．(2010上海抽考)已知拋物線y=x2+(n-3)x+n+1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．（1）求這條拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)這條拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，求以直線PA為圖象的一次函數(shù)的解析式．解:(1)∵拋物線y=x2+(n-3)x+n+1經(jīng)過原點(diǎn)，∴n+1=0．∴n=-1．得y=x2-4x，即y=x2-4x=(x-2)2-4．∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）．（2）根據(jù)題意，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．設(shè)所求的一次函數(shù)解析式為y=kx+b．根據(jù)題意，得解得[來源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]∴所求的一次函數(shù)解析式為y=2x-8．5．已知拋物線y=x2-mx+與拋物線y=x2+mx-m2在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖26-2-1,其中一條與x軸交于A、B兩點(diǎn)．圖26-2-1（1）試判斷哪一條拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)？并說明理由．（2）若A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離OA、OB滿足，求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式．解析：(1)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線的Δ＞：（2）可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來解.解法一：（1）y=x2-mx+,中Δ1=m2-2m2=-m2．∵拋物線不過原點(diǎn)，∴m≠0.∴-m2<0.∴Δ1<0．[來源:]∴拋物線y=x2-mx+與x軸無交點(diǎn)．∴y=x2+mx-m2經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（2）設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x1＜0，x2＞0，∴OA=-x1，OB=x2．又∵,∴，即3（x1+x2）=2x1x2．又∵x1、x2是方程x2+mx-m2=0的兩根，∴x1+x2=-m，x1x2=-m2．∴-3m=m2．∴m1=0（不符合題意，舍去），m2=2．∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=x2+2x-3．解法二：（1）∵兩條拋物線都不過原點(diǎn)，∴m≠0．拋物線y=x2-mx+與y軸交于(0，)．∵>0，∴拋物線y=x2-mx+不經(jīng)過A、B點(diǎn)．拋物線y＝x2+mx-m2與y軸交于（0，-m2），-m2<0，[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]∴拋物線y=x2+mx-m2經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（2）同解法一中的（2）．30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1．二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為2,它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4,則二次函數(shù)的解析式是()[來源:]A．y=2(x-4)(x+2)B．y=2(x+4)(x-1)C．y=2(x-4)(x-1)D．y=2(x-4)(x+1)[來源:]解析：由二次函數(shù)兩點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)，a=2,x1=1,x2=4即得.[來源:]答案：C2．已知拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為3，且與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4、2，則該拋物線的關(guān)系式為__________________．解析：已知兩個(gè)特殊點(diǎn)及一個(gè)關(guān)系,可用y=a(x-x1)(x-x2)或一般式求其解析式．∵拋物線與x軸交于（4，0），（2，0），∴設(shè)y=a(x-4)(x-2)=a(x2-6x+8)=ax2-6ax+8a．頂點(diǎn)到x軸距離為3，即頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為3或-3，∴=3或=-3.解得a=-3或a=3．∴y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24．答案：y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24注意：頂點(diǎn)到x軸距離分頂點(diǎn)在x軸上方和下方兩種情況.3．求下列二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)：(1)y=x2+4x-5;(2)y=-x2+x+2;(3)y=x2-3x;(4)y=x2-6x+10.解析：令y=0,求解關(guān)于x的一元二次方程．答案：（1）（1，-5）;（2）（-1，2）;（3）（0，3）;（4）不存在.注意：頂點(diǎn)到x軸距離分頂點(diǎn)在x軸上方和下方兩種情況．4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和B（2，1），且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m．(1)若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.解:（1）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,把點(diǎn)A(1,0)、B(2,1)和c=m代入解析式中,得所以，解析式為y=x2-x+m(m≠-1)．（2）二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，即Δ=b2-4ac=()2-4m()>0，解得m≠1.又m≠-1,得m≠±1.5．如圖26-2-2，拋物線y=(x+1)2-2，圖26-2-2（1）設(shè)此拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B（A在B的左邊），請(qǐng)你利用圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）有一條直線y=x-1，試?yán)脠D象法求出該直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問是否存在一點(diǎn)P，使S△ABP=2?若存在,則有幾個(gè)這樣的點(diǎn)P?并寫出它們的坐標(biāo)．解析：（1）讀圖易得;（2）畫圖精確度要高一點(diǎn);（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）,則△ABP中AB邊上的高為b，而|b|=1,代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．[來源:]解：（1）A（－3,0），B（1,0）．（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）和（－1，－2）．（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）,則△ABP中，AB邊上的高為｜b｜，又S△ABP=2,從而得|b|=1.把b=1,b=-1分別代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(-1,1);P(-1,1);P(-1,-1);P(-1,-1)．6．已知拋物線y=2x2和直線y=ax+5．（1）求證：拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，試用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的距離d=·｜x1-x2｜,試用含a的代數(shù)式表示d.解：（1）將y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2-ax-5=0,∵Δ=(-a)2-4×2×(-5)=a2+40>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴不論a取何值，拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（2）∵x1、x2是方程2x2-ax-5=0的兩個(gè)根,∴x1+x2=,x1x2=．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(x1+x2)+5=·+5=+5．（3）∵x1+x2=,x1x2=．∴｜x1-x2｜=.∴d==.7．畫出函數(shù)y=x2-4x-3的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？（2）方程x2-4x-3=0的解是什么？（3）不等式x2-4x-3>0，x2-4x-3<0的解是什么？解：圖象如圖所示．（1）x1≈4.6，x2≈-0.65，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（4.6，0），（-0.65，0）．（2）x1≈4.6，x2≈-0.65．（3）不等式x2-4x-3>0的解為x<-0.65或x>4.6；不等式x2-4x-3<0的解為-0.65<x<4.6．8．某醫(yī)藥研究所進(jìn)行某一新藥研發(fā)，經(jīng)過大量的服用試驗(yàn)知：成年人按規(guī)定劑量服用后，每毫升血液中藥物含量y微克（1微克=10-3毫克）,隨時(shí)間x小時(shí)的變化規(guī)律與某一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并測(cè)得服用時(shí)每毫升血液中藥物含量為0微克，服用2小時(shí)后每毫升血液中藥物含量為6微克；服用3小時(shí)后，每毫升血液中藥物含量為7．5微克．（1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出0≤x≤8內(nèi)的圖象．（2）求服用后幾小時(shí)，才能使每毫升血液中藥物含量最大？并求出血液中的最大藥物含量.（3）結(jié)合圖象說明一次服藥后的有效時(shí)間是多少？（有效時(shí)間是血液中藥物含量不為0的總時(shí)間）解：（1）由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過（0，0），（2，6），（3，7.5），將它們代入y=ax2+bx+c,得解之,得所以y=-x2+4x．（2）y=-x2+4xy=-（x-4）2+8，所以x=4時(shí)，y最大=8．（3）當(dāng)y=0時(shí),x1=8,x2=0（舍去）．答案：（1）y=-x2+4x;（2）服藥4小時(shí)后含藥量最大，此時(shí)最大含藥量為每毫升血液中8微克;（3）8小時(shí)．9．(福建三明模擬)已知二次函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，Δ=p2-4q>0)的圖象與x軸相交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為d，例如，通過研究其中一個(gè)函數(shù)y=x2-5x+6及圖象(如圖26-2-3)，可得出表中第2行的相關(guān)數(shù)據(jù)．圖26-2-3y=x2+px+qpqΔx1x2dy=x2-5x+6-561231y=x2-x[來源:]y=x2+x-2-2-23(1)在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；(2)根據(jù)上述表內(nèi)d與Δ的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個(gè)符合條件的二次函數(shù)，驗(yàn)證你的猜想；(3)對(duì)于函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，Δ=p2-4q>0)證明你的猜想.解：(1)第二行q=0,x1=0；d=；第三行p=1,△=9，x2=1；(2)猜想：d2=Δ.例如：y=x2-x-2中,p=-1,q=-2,Δ=9;由x2-x-2=0得x1=2，x2=-1,d=3,d2=9,∴d2=Δ．(3)證明:令y=0，得x2+px+q=0，∵Δ>0，設(shè)x2+px+q=0的兩根為x1,x2.則x1+x2=-p,x1·x2=q．d2=(｜x1-x2｜)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-p)2-4q=p2-4q=Δ.[來源:]10．(2010重慶模擬，27)已知m,n是方程x2-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m<n，拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m,0)、B(0,n)．(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；〔注：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()〕(3)P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把△PCH分成面積之比為23的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．圖26-2-4解:（1）解方程x2-6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0）,B（0，5）．將A（1，0）,B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=-x2+bx+c,得解這個(gè)方程組得所以，拋物線的解析式為y=-x2-4x+5.（2）由y=-x2-4x+5，令y=0，得-x2-4x+5=0，解這個(gè)方程得x1=-5,x2=1,所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）．由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算得點(diǎn)D（-2，9）．過D作x軸的垂線交x軸于M．則S△DMC=×9×(5-2)=，S梯形MDBO=×2×(