2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2第2課時測量高度角度問題學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE第2課時測量高度、角度問題內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.精確理解實(shí)際測量中常用的仰角、俯角、方向角等概念．2.駕馭測量高度的常見方法．3.能把方向角等角度條件轉(zhuǎn)化為解三角形的條件，解決航海等角度問題.運(yùn)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)抽象授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第9頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)相關(guān)術(shù)語學(xué)問梳理名稱術(shù)語意義圖示仰角與俯角在同一鉛直平面內(nèi)，目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝eq\f(h,l)＝tan_α坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比值方位角從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的最小正角方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角[自我檢測]1．若P在Q的北偏東37°方向上，則Q在P的()A．東偏北53°方向上 B．北偏東37°方向上C．南偏西37°方向上 D．西偏南53°方向上答案：C2．在200m的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，答案：eq\f(400,3)m授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第10頁探究一利用仰角測量高度[閱讀教材P13的例3]測量器材：測角儀，卷尺方法步驟：(1)選水平基線HG，使H，G，B三點(diǎn)共線，與A點(diǎn)構(gòu)造一個面內(nèi)的三角形．(2)測量HG長度，和角度∠ADE＝β，∠ACE＝α，測角儀高度為h.(3)在△ACD中求AC，在△ACE中求AE，進(jìn)而求AB＝AE＋h.[例1]如圖，在坡角為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最終一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最終一排的距離為10eq\r(6)m，則旗桿的高度為________m.[解析]如圖，設(shè)旗桿高為h，最終一排為點(diǎn)A，第一排為點(diǎn)B，旗桿頂端為點(diǎn)C，則BC＝eq\f(h,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)h.在△ABC中，AB＝10eq\r(6)m，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理，得eq\f(10\r(6),sin30°)＝eq\f(\f(2\r(3),3)h,sin45°)，故h＝30m.[答案]30方法技巧此類題所選基線與建筑物位于同一個平面內(nèi)，一般要構(gòu)造兩個三角形，基線和建筑物分別是兩個三角形的邊，通過正、余弦定理求解．跟蹤探究1.如圖，要在山坡上A，B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高，由A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60°和45°，AB長為40m，斜坡與水平面成30°角，則鐵塔CD的高為________解析：延長CD交過A，B的水平線于E，F(xiàn)，因?yàn)椤螩AE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，在△ACD中，由正弦定理得，eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(40,\f(\r(3),2))＝eq\f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq\f(40\r(3),3).答案：eq\f(40\r(3),3)[閱讀教材P14例5]測量器材：測角儀，卷尺方法步驟：(1)選基線(馬路)AB.(2)在A點(diǎn)測山頂D在水平面上的射影點(diǎn)E的方向角．(3)在B點(diǎn)測E的方向角及山頂?shù)难鼋牵?4)測出AB長度．(5)在空間中運(yùn)用三角形△ABC和△BCD，求CD.[例2]如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量點(diǎn)C和D.現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.[解析]在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴eq\f(BC,sinβ)＝eq\f(s,sin[180°－α＋β])，即eq\f(BC,sinβ)＝eq\f(s,sinα＋β)，∴BC＝eq\f(sinβ,sinα＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴eq\f(AB,BC)＝tanθ.∴AB＝BC·tanθ＝eq\f(sinβ·tanθ,sinα＋β)·s.方法技巧對于底部不行到達(dá)的建筑物的高度測量問題，我們可選擇一條過建筑物底部點(diǎn)的基線，在基線和基線所在的平面上取另外兩點(diǎn)，這樣四點(diǎn)可以構(gòu)成兩個小三角形．其中，把不含未知高度的那個小三角形作為依托，從中解出相關(guān)量，進(jìn)而應(yīng)用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解決即可．跟蹤探究2.如圖，地平面上有一旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上選一基線AB，AB＝20m，在A點(diǎn)處測得P點(diǎn)仰角∠OAP＝30°，在B點(diǎn)處測得P點(diǎn)的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°，求旗桿的高度h.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字解析：在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·eq\f(1,tan45°)＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2×eq\r(3)h×h×eq\f(1,2)，解得h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176.4，∴h≈13m.即旗桿的高度h約為13m.探究二利用俯角測量高度[閱讀教材P13－14例4]測量器材：測角儀方法步驟：(1)選基點(diǎn)A.(2)在C處測A的俯角β.(3)在B處測A的俯角α.(4)解三角形，在斜三角形中求AB，在Rt△ABD中求BD或在斜三角形中求AC，在Rt△ADC中求CD.[例3]飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔15000m，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°，經(jīng)過108s后又看到山頂?shù)母┙菫?8°A．(15－18eq\r(3)sin18°cos78°)kmB．(15－18eq\r(3)sin18°sin78°)kmC．(15－20eq\r(3)sin18°cos78°)kmD．(15－20eq\r(3)sin18°sin78°)km[解析]如圖，作CD⊥AD，垂足為點(diǎn)D.∵A＝18°，∠CBD＝78°，∴∠ACB＝60°，AB＝1000×108×eq\f(1,3600)＝30(km)，∴在△ABC中，BC＝eq\f(30sin18°,sin60°)＝20eq\r(3)sin18°.∵CD⊥AD，∴CD＝BCsin∠CBD＝20eq\r(3)sin18°sin78°(km)，山頂?shù)暮０胃叨葹?15－20eq\r(3)sin18°sin78°)km.故選D.[答案]D方法技巧通過俯角構(gòu)造三角形，運(yùn)用正弦定理求解．跟蹤探究3.如圖，在離地面200m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC為________m.解析：依據(jù)題意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝200，所以AM＝eq\f(MD,sin45°)＝200eq\r(2).因?yàn)樵凇鱉AC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝eq\f(MAsin∠AMC,sin∠MCA)＝eq\f(200\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝200eq\r(3)，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300m.答案：300探究三測量角度[閱讀教材P15－16例6]方法步驟：(1)依據(jù)題意畫出海輪的行駛方向及位置．(2)解三角形，依據(jù)余弦定理求AC，依據(jù)正弦定理求角．(3)依據(jù)方向角的概念求航向．[例4]某海上養(yǎng)殖基地A接到氣象部門通知，位于基地南偏東60°方向，距離基地20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時10eq\r(2)海里的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)料臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且(eq\r(3)＋1)小時后起先影響基地，持續(xù)2小時．求臺風(fēng)移動的方向．[解析]如圖所示，設(shè)剛接到通知時臺風(fēng)中心為B，起先影響基地時臺風(fēng)中心為C,2小時后，起先不影響基地時臺風(fēng)中心為D，則B，C，D在同始終線上，且AD＝20，AC＝20.由題意知，AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)×10eq\r(2).在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAC＝30°.又∵B位于A的南偏東60°方向上，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∵∠ADC＝45°，∴臺風(fēng)移動的方向?yàn)楸逼?5°方向．方法技巧解決測量角度問題的留意點(diǎn)(1)明確方位角和方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，并依據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵的一步．(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，留意正、余弦定理的“聯(lián)袂”運(yùn)用．跟蹤探究4.某沿海四個城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝(40＋30eq\r(3))nmile，AD＝70eq\r(6)nmile，D位于A的北偏東75°方向．現(xiàn)在有一艘輪船從A動身沿直線航行，一段時間到達(dá)D后，輪船收到指令改向城市C直線航行，收到指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西θ，則sinθ＝________.解析：連接AC(圖略)，在△ABC中，依據(jù)余弦定理得AC2＝802＋(40＋30eq\r(3))2－2×80×(40＋30eq\r(3))×cos60°，解得AC＝50eq\r(3)(nmile)．再依據(jù)正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，得sin∠ACB＝eq\f(4,5)，則cos∠ACB＝eq\f(3,5)，于是sin(135°－∠ACB)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))×eq\f(4,5)＝eq\f(7\r(2),10).在△ACD中，依據(jù)正弦定理eq\f(AC,sinD)＝eq\f(AD,sin135°－∠ACB)，得sinD＝eq\f(1,2)，所以D＝30°，因此依據(jù)題意，θ＝75°－30°＝45°，所以sinθ＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁[課后小結(jié)]測量高度時常見的三種數(shù)學(xué)模型及其特征(1)有以下三種數(shù)學(xué)模型底部可到達(dá)底部不行到達(dá)解直角三角形解直角三角形解一般三角形(2)特征①底部可到達(dá)，此類問題可干脆構(gòu)造直角三角形．②底部不行到達(dá)，但仍在同一與地面垂直的平面內(nèi)，此類問題中兩次觀測點(diǎn)和所測垂線段的垂足在同一條直線上，觀測者始終向“目標(biāo)物”前進(jìn)．③底部不行到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面．此類問題中觀測者兩次觀測點(diǎn)所在直線不經(jīng)過“目標(biāo)物”．(3)解三角形應(yīng)用題的方法步驟解三角形應(yīng)用題時，通常都要依據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出所求三角形的邊角的大小，從而得出實(shí)際問題的解．這種數(shù)學(xué)建模思想，從實(shí)際問題動身，經(jīng)過抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為詳細(xì)問題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問題的解，用流程圖可表示為：[素養(yǎng)培優(yōu)]方程、不等式思想在三角形實(shí)際應(yīng)用中的呈現(xiàn)據(jù)氣象臺預(yù)報(bào)，距S島正東方向300km的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時30km的速度向北偏西30°的方向移動，在距臺風(fēng)中心270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響，問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島起先受到臺風(fēng)的影響？持續(xù)時間多久？說明理由．解析：設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過t小時到達(dá)B點(diǎn)，由題意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：