331拋物線及其方程-高二數(shù)學(xué)(人教A版2019選擇性)

高中數(shù)學(xué)

人教A版（2019）

選擇性必修第一冊(cè)

第三章

圓錐曲線的方程3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教材分析

本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第三章《圓錐曲線的方程》的第三節(jié)《拋物線》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：第三章圓錐曲線的方程課時(shí)內(nèi)容3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)所在位置教材第130頁教材第134頁新教材內(nèi)容分析教材在用直尺畫拋物線的過程中，體會(huì)拋物線的定義，感知拋物線的形狀，為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、研究拋物線的幾何性質(zhì)做好鋪墊。通過對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中的p的幾何意義，體會(huì)坐標(biāo)法研究曲線性質(zhì)的基本思路與方法，感受通過代數(shù)運(yùn)算研究曲線性質(zhì)所具有的程序化、普適性特點(diǎn)。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；通過對(duì)拋物線的定義理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。通過拋物線的幾何性質(zhì)的研究，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；通過直線與拋物線的位置關(guān)系的判定，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3.明確p的幾何意義，并能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程難點(diǎn)：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（一）新知導(dǎo)入

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一類圓錐曲線——拋物線．

如圖，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)，直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣，把一根繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上點(diǎn)A，截取繩子的長(zhǎng)等于A到l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直角尺左右滑動(dòng)，這樣鉛筆就畫出了一條曲線，這條曲線就叫做拋物線．

比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系，可能使所求拋物線的方程形式簡(jiǎn)單？（二）拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義【探究1】由畫圖過程你能給出此曲線的定義嗎？[提示]平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于到直線的距離的點(diǎn)軌跡．（二）拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程◆拋物線的定義定義把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．焦點(diǎn)點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線集合表示

P＝{M||MF|＝d}，d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離（二）拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【探究2】比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為應(yīng)如何選擇坐標(biāo)系，建立的拋物線方程才能更簡(jiǎn)單？

（二）拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程◆拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p＞0)x＝－y2＝－2px(p＞0)x＝x2＝2py(p＞0)y＝－x2＝－2py(p＞0)y＝p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。（二）拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【做一做3】(教材P132例1(2)改編)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,2)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______

_．AC

（三）典型例題1.利用拋物線的方程研究焦點(diǎn)、準(zhǔn)線

（三）典型例題

【鞏固練習(xí)1】(1)拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0,2)B．(0，－2)

C．(4,0)

D．(－4,0)(2)若拋物線y2＝ax的準(zhǔn)線方程為x＝1，則a＝________.

（三）典型例題2.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

（三）典型例題2.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程例2.分別求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上；(4)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.

（三）典型例題

（三）典型例題【鞏固練習(xí)2】根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸且過點(diǎn)(－1，－3)；(2)過點(diǎn)(4，－8)．

（三）典型例題3.與拋物線有關(guān)的軌跡方程例3.已知?jiǎng)訄AM與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．[解析]設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則由題意可得M到圓心C(0，－3)的距離與直線y＝3的距離相等．由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y.（三）典型例題【類題通法】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法：定義法，判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否滿足拋物線的定義．若滿足拋物線的定義，則可按拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫出方程.【鞏固練習(xí)3】過點(diǎn)A(1,0)，且與直線l：x＝－1相切的圓的圓心的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線

D．拋物線解析：如圖設(shè)動(dòng)圓的圓心為M，由題意，M到直線l的距離等于圓的半徑|MA|，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以A(1,0)為焦點(diǎn)，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線．答案：D（三）典型例題4.拋物線中的最值問題[例4]已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．[解析]如圖，作PN⊥l于N(l為準(zhǔn)線)，作AB⊥l于B，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)．∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5.此時(shí)yP＝2，代入拋物線得xP＝1，∴P(1,2)．（三）典型例題【類題通法】利用拋物線的定義求最值的策略當(dāng)條件中有關(guān)于拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離問題一定要考慮拋物線的定義，注意點(diǎn)P到F的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化．

（三）典型例題5.拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題

例5.一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m．（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．（2）為了增強(qiáng)衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時(shí)星波束反射聚集點(diǎn)的坐標(biāo)．（三）典型例題[解析]（1）以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），代入點(diǎn)（0.5，2.4），可得2.42＝2p?0.5，解得p＝5.76，即拋物線的方程為y2＝11.52x，焦點(diǎn)為（2.88，0）；（2）設(shè)拋物線的方程為y2＝2mx（m＞0），代入點(diǎn)（0.5，2.6），可得2.62＝2m?0.5，解得m＝6.76，即有拋物線的方程為y2＝13.52x，焦點(diǎn)為（3.38，0）．（三）典型例題【類題通法】求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟【鞏固練習(xí)5】一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口寬為am，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值．（三）典型例題

（四）操作演練

素養(yǎng)提升

答案：1.D

2.B3.C

4.D（五）課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)學(xué)生反思（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？