近幾年清華、北大自主招生數(shù)學(xué)試題

近年北大清華自主招生試題匯編

2022北大自主招生（三校聯(lián)招）

1.（僅文科做）Ovav幾，求證：sina<a<tana.（25分）

2

2.AB為邊長(zhǎng)為1的正五邊形邊上的點(diǎn).證明：AB最長(zhǎng)為5近一（25分）

2

3.AB為y=1-x2上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，求過(guò)AB的切線與x軸圍成面積的最小值.（25分）

4.向量0A與0B夾角，|0A（=1,|0B|=2,0P=（1—t）OA,OQ=tOE,0WtW1.|PQ|在

t時(shí)取得最小值，問(wèn)當(dāng)0時(shí)，夾角的取值國(guó).（25分）

005

5.（僅理科做）存不存在Ovxv幾r使得sinx,8sx,tanx,8tx為等差數(shù)列.⑵分）2

2022北大自主招生數(shù)學(xué)試題

1圓接四邊形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4。求圓工徑。

2一無(wú)窮等差數(shù)列中有3項(xiàng)：13,25,41o求證：2022為數(shù)列中一項(xiàng)。

3是否存在實(shí)數(shù)*使也*+（根3：與cot*+（根3）為有理數(shù)？

4對(duì)任意*均有acos*+bcos2*>=-l恒成立，求a+b的最大值

5*次考試共有333名學(xué)生做對(duì)了1000道題。做對(duì)3道及以下為不及格，6道及以上為優(yōu)秀。

問(wèn)不及格和優(yōu)秀的人數(shù)哪個(gè)多？

2022北大自主招生數(shù)學(xué)試題

5+1

1求證：邊長(zhǎng)為1的正五邊形對(duì)角線長(zhǎng)為

2

2六邊形ACBACB中AC=AB,BC=BA,CA=CB,ZA+ZB+ZC=ZA+ZB+ZC

iiiiiiiiiiii

求證△ABC面積是六邊形ACBACB的一半。

111

4排球單循壞賽南方球隊(duì)比北方球隊(duì)多9支南方球隊(duì)總得分是北方球隊(duì)的9倍求證冠軍是一

支南方球隊(duì)（勝得1分?jǐn)〉?。分?/p>

51理科）O*YZ坐標(biāo)系*oy平面系0共y共2-X2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個(gè)不透光立體在點(diǎn)（1,

0,1）設(shè)置一光源*oy平面有一以原點(diǎn)為圓心的圓C被光照到的長(zhǎng)度為2兀求C上未被照到的長(zhǎng)度

2022年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

設(shè)當(dāng)二嗝整數(shù)局部為a,小數(shù)局部為b

V5-1

（1）求a,b；

（2）求a?+b2+亭；

（3）求lim（b+松+

n）w....）

（\hbn71

2.U）X,y為實(shí)數(shù)，且x+y=1,求證：對(duì)于任意正整數(shù)n,X2n+y2n>

22n-1

（\abc八.

a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：++>3,其中x,y,z為a,b,c的一種羅列

xyz

3.請(qǐng)寫出所有三個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)，且公差為8的等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論

4.橢圓x?+丫？=1,過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A（-a,0）的直線L與橢圓交于Q,與y軸交于R,過(guò)

空巨

原點(diǎn)與L平行的直線與橢圓交于P

求證：AQ,而P,AR成等比數(shù)列

5.sint+cost=1,設(shè)s=cost+isint,求f（s）=1+s+S2+Sn

6.隨機(jī)挑選一個(gè)三位數(shù)I

（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有兩個(gè)數(shù)碼相等的概率

7.四面體ABCD中，AB=CD,AC—BD,AD—B0

（1）求證：四面體每一個(gè)面的三角形為銳角三角形；

（2）設(shè)三個(gè)面與底面BCD所成的角分別為a,b,Y,求證：cosa+cosb+cosY=1

8.證明當(dāng)p,q均為奇數(shù)時(shí)，曲線y=X2-2px+2q與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為無(wú)理數(shù)

9.設(shè)a,a,,a均為整數(shù)，性質(zhì)P為：對(duì)a,a,,a中任意2n個(gè)數(shù)，存在1

22n+1122n+1

一種分法可將其分為兩組，每組r個(gè)數(shù)，使得兩組所有元素的知相等

求證：a,a；??-,a全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a,a,......,a具有性質(zhì)P

122n+1122n+1

2022年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題（文科）

1.數(shù)列Q｝,且S=na+n（n-l）

nn

（1）求證：｛a｝是等差數(shù)列；

n

（）求（（，）

2|anf|所在的直線方程

2.12名職員（其中3名為男性）被平均分配到3個(gè)部門

（1）求此3名男性被分別分到不同部門的概率：

（2）求此3名男性被分到同?部門的概率;

（3）假設(shè)有一男性被分到指定部門，求其他2人被分到其他不同部門的概率

3.一元三次函數(shù)f（x）的三次項(xiàng)數(shù)為L(zhǎng)f（x）+9x<0的解集為（1,2）

3

（1）假設(shè)f（x）+7a=0,求f（x）的解析式：

（2）假設(shè)f（x）在眩單調(diào)增，求a的圍

4.pM|F］N=|2M（-2,0）,N（2,0）,求點(diǎn)P的軌跡W；直線y=k（x?2）與W

交于點(diǎn)A、B,求SQAB（O為原點(diǎn)）

X+X+.......X（）

5.設(shè)a=—1---2------------------B-Vn=M

n

（1）求證：S共0

3

（2）求S的最值，并給出此時(shí)x,x,x,x滿足的條件

41234

（3）假設(shè)S<0,求x,x,x,x,x不符合時(shí)的條件

512345

2022屆清華大學(xué)自主招生試題

i.a,b,c都是有理數(shù)，步時(shí)遍是有理數(shù)，證明：a,6,6部國(guó)有理數(shù)；

2.（1）一個(gè)四面體，證明：至少存在一個(gè)頂點(diǎn)，從其出發(fā)的三條棱組成一個(gè)三角形；

IIIIw

（2）四面體一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)角分別是----arctan2,求一的面和arctan2的面

233

所成的二面角；

3.求正整數(shù)區(qū)間［m,n］（m<n）中，不能被3整除的整數(shù)之和；

4.sina+cosa=#+sin2a,求a的取值圍；

5.假設(shè)limf(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=X2,求f(x)；

x)0

6.證明：以原點(diǎn)為中心的面積大于4的矩形中，至少還有兩個(gè)格點(diǎn)。

2022清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

1.求f(X)=2的單調(diào)區(qū)間及極值.

X

2.設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a,T是T的中點(diǎn)三角形，A為T除去T后剩下三個(gè)三角

n-1nnnn+1

形切圓面積之和.求limxnA

n)<ok

k=1

3.*音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C路線，D左聲道和E右聲道，其中

每一個(gè)部件工作的概率如下列圖所示.能聽(tīng)到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B中有一工作，C工作，D

與E中有一工作；且假設(shè)D和E同時(shí)工作則有立體聲效果.

求：(1)能聽(tīng)到立體

聲效果的概率：

(2)聽(tīng)不到

聲音的概率.

4.⑴求三直線

x+y=60,y=/x,y=0所圍成三角形上的整點(diǎn)個(gè)數(shù);

y<2x

⑵求方程組［y>-x的整數(shù)解個(gè)數(shù).

x+>*=60

5.A(_1,_1),△ABC是正三角形，且B、C在雙曲線xy=1(x>0)一支上.

⑴求證B、c關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

(2)求4ABC的周長(zhǎng).

6對(duì)于集合M二R2,稱M為開(kāi)集，當(dāng)且僅當(dāng)VP。=M,3r>0,使得

｛P=R2||PP|<r｝二M.判斷集合｛(x,y)4|x+2y_5>0｝與｛(x,y)x|>0,y>0｝是否為

開(kāi)集，并證明你的結(jié)論.

2022清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

I.求最小正整數(shù)n，使得I=(1+1i)n為純虛數(shù)，并求出I.

22乖

2.a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+1>,a+b=1,求M的最值.

3.sin9、sina、cos9為等差數(shù)列，sin9、sinb.8s9為等比數(shù)列，求cos2a_*os2b的

值.

4.求由正整數(shù)組成的集合S，使S中的元素之和等于元素之積.

5.隨機(jī)取多少個(gè)整數(shù)，才干有0.9以上的概率使得這些數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù).

6.y=X2上一點(diǎn)p(非原點(diǎn))，在P處引切線交X、y軸于Q、R,求PQJ

lPRl

7.f(x)滿足：對(duì)實(shí)數(shù)a、b有f(a.b)=af(b)+bf(a),且|f(x)|41,求證:f(x)恒為零.

(可用以下結(jié)論：假設(shè)limg(x)=0,|f(x)|<M,M為一常數(shù)，貝”im(f(x).g(x))=0)

X-ttx-<x>

2022大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

?求證：邊長(zhǎng)為?的正五邊形對(duì)角線長(zhǎng)為

2

略解：

三角形ABEs三角形DAE

X1-X

1-X

則：x=5T

2

對(duì)角線AC=1+x=5+1

2

2六邊形ACBACB中AC=AB,BC=BA,CA=CB,ZA+ZB+ZC=ZA+ZB+ZC

1I1II1IIIIII

求證△ABC面積是六邊形ACBACB的?半

1II

略解：如圖得證

3

4排球單循壞賽南方球隊(duì)比北方球隊(duì)多9支南方球隊(duì)總得分是北方球隊(duì)的9倍求證冠軍是

一支南方球隊(duì)(勝得1分?jǐn)〉?分〕

解：設(shè)北方球隊(duì)共有*支，則南方球隊(duì)有*+9支

(2X+9)(2X

所有球隊(duì)總得分為C2=+8)=(2x+9)(x+4)

2x+92

南方球隊(duì)總得分為粵2X+9)(2X+8)=如加土4)

10210

北方球隊(duì)總得分為《x++G

南方球隊(duì)部比賽總得分C2

x+9

北方球隊(duì)部比賽總得分C2

X

初,日11<22911+V22911+16

解得：---N-^9—

333

(2x+9)(x+4)

因?yàn)?-----今用屣

10

*=6或者*=8

當(dāng)*=6時(shí)

所有球隊(duì)總得分為C2=(2X+9)(2X+8)=(2X+9)(x+4)=210

2x492

北方球隊(duì)總得分為Qx+