第十二講高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽考點(diǎn)組合數(shù)學(xué)

第十二講高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽考點(diǎn)組合數(shù)學(xué)

什么是組合數(shù)學(xué)？組合數(shù)學(xué)可以一般地描述為：研究離散結(jié)構(gòu)的存在、計(jì)數(shù)、分析和優(yōu)化

等問題的一門學(xué)科.在不同的階段有不同的范疇，高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的組合數(shù)學(xué)等同于大學(xué)里

的離散數(shù)學(xué)的縮小版，而小學(xué)、初中階段有關(guān)組合數(shù)學(xué)的問題一般稱之為雜題。由于組合數(shù)

學(xué)問題要求的思維品質(zhì)高，融合的知識(shí)廣泛，因而成為了各級(jí)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的主要內(nèi)容。

本講是針對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)競(jìng)賽而設(shè)，希望通過以下四個(gè)方面的闡述，使大家能對(duì)高

中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中組合數(shù)學(xué)問題有一個(gè)大致的了解。

一、競(jìng)賽說明、考情解讀

1、競(jìng)賽說明

中國數(shù)學(xué)會(huì)普及委員會(huì)對(duì)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽制定了考試大綱，即對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱之外增

加了一部分內(nèi)容，其中就包含了對(duì)組合數(shù)學(xué)的要求，有圓排列、有重復(fù)元素的排列與組合、

組合恒等式、組合計(jì)數(shù)、組合幾何、抽屜原理、容斥原理、極端原理、圖論問題、集合的劃

分、覆蓋、平面凸集、凸包及應(yīng)用等.

高中階段各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的組合數(shù)學(xué)試題都按上述要求命題，但平面凸集、凸包及應(yīng)用

等只在CMO中才涉及。

2、考情解讀

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的賽事有：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（簡稱高聯(lián)）、CMO、IMO、中國東南地區(qū)數(shù)

學(xué)奧林匹克、中國西部地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克、女子數(shù)學(xué)奧林匹克等。

組合數(shù)學(xué)問題的考查情況：在高聯(lián)中至少有一道填空題和一道解答題，在CMO、IMO中

至少有一道解答題，在中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國西部地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克、女子數(shù)學(xué)

奧林匹克有二道解答題。

組合數(shù)學(xué)試題考查常見類型有：組合計(jì)數(shù)問題、組合極值問題、存在性問題、操作性問

題、組合數(shù)論問題、組合幾何問題等。

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是普及性較高的一項(xiàng)賽事,我們整理了2010-2017近八年的全國高中

數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，發(fā)現(xiàn)組合數(shù)學(xué)試題類型分布的情況如下：

20102011201220132014201520162017

組合計(jì)數(shù)1填空1填空1填空2填空1填空2填空2填空1填空

1解答

組合極值1解答1解答1解答1解答1解答

組合幾何1解答

存在性1解答

其中填空題均為一試題（8分），解答題都是加試題（50分）。

一試的組合試題基本是組合計(jì)數(shù)，加試題重點(diǎn)是組合極值問題，八年中有五年是組合極

值試題，其次是組合計(jì)數(shù)、組合幾何、存在性問題。

組合試題在加試中的位置基本是第三、四道，難度較大，基本是作為壓軸題.

另外，由于組合數(shù)學(xué)的屬性，決定了它與數(shù)論的結(jié)合的比較多，要更好地解決組合數(shù)學(xué)

問題，必須對(duì)數(shù)論的相關(guān)知識(shí)要有一定程度上的掌握。

二、競(jìng)賽目標(biāo)、考點(diǎn)解析

在競(jìng)賽中組合數(shù)學(xué)試題考些什么？跟其他的試題一樣，也是考查“三基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、

基本技能、基本思想方法，和它們之間的靈活運(yùn)用，以及創(chuàng)新能力。但組合數(shù)學(xué)試題也有異

于其他試題的方面，一是三基交匯重合較多；二是涉及靈活運(yùn)用和創(chuàng)新能力方面的試題，難

度就會(huì)很大，基本是屬于壓軸題。雖然如此，但我們還是不失一般性，通過列舉研究歷年高

中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題，為大家展示組合數(shù)學(xué)試題的考查的六個(gè)目標(biāo)，以期為大家撩開組合數(shù)學(xué)問

題解決的面紗。

目標(biāo)一考查組合問題的基礎(chǔ)知識(shí)

競(jìng)賽大綱要求的組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)包括:排列組合二項(xiàng)式定理、組合恒等式、圓排列、

有重復(fù)元素的排列與組合、組合計(jì)數(shù)、組合幾何、抽屜原理、容斥原理、極端原理、圖論問

題、集合的劃分等.

在相關(guān)的考試中，只在高聯(lián)一試中，偏重考查組合問題的基礎(chǔ)知識(shí)，在高聯(lián)的加試中

或在其他類型的考試中，雖然會(huì)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有所考查，但更多的是“三基”融合，試題難

度較大。高聯(lián)一試中組合數(shù)學(xué)試題的類型主要是組合計(jì)數(shù)問題.考查的內(nèi)容從基本的分類、

分步計(jì)數(shù)原理到排列、組合，從簡單的分組、分配到復(fù)雜的容斥原理、圓排列、幾何計(jì)數(shù)等，

都有出現(xiàn).另外也常出現(xiàn)通過概率問題達(dá)到考查目標(biāo)。

例1.（2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題）將編號(hào)為1,2,…，9的九個(gè)小球隨機(jī)放置在

圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球.設(shè)圓周上所有相鄰兩球號(hào)碼之差的絕對(duì)

值之和為S.求使S達(dá)到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可

與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）

【解析】（這是一道古典概率題，關(guān)鍵是求出隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的樣本總數(shù)和所求隨機(jī)事

件的樣本數(shù)。）

先考慮求樣本空間的樣本總數(shù)：九個(gè)編號(hào)不同的小球放在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每點(diǎn)放

一個(gè)，相當(dāng)于九個(gè)不同元素在圓周上的一個(gè)圓排列，故共有8!種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，

則不同的放法有三種。

2

下求使S達(dá)到最小值的方法種數(shù)（即所求隨機(jī)事件的樣本數(shù)）：

在圓周上，從1到9有優(yōu)弧、劣弧兩條路徑，對(duì)其中任一條路徑，設(shè)

\=X0,X\,X2,---,xk^=xk+｛是依次排列于該弧上的小球號(hào)碼，1_____

1=0z=0\

當(dāng)且僅當(dāng)1＜%＜一＜々＜9時(shí)，等號(hào)成立，即而=2x8=16,

9

且這樣的放法種數(shù)等于

（C；+G+G+日++C；）+2=26=64,故所求概率等于P=

【點(diǎn)評(píng)】1、本題考查圓排列數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)、組合恒等式等組合數(shù)學(xué)

有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；

2、考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，要求熟練掌握絕對(duì)值不等

式，利用其解決最值，并由此尋找取得最值的放球方法種數(shù)；

3、考查了審題能力.

目標(biāo)二考查組合數(shù)學(xué)解決問題的基本技能

組合數(shù)學(xué)解決問題的基本技能：枚舉、基本計(jì)數(shù)（加法、乘法）原理、映射、算兩次、

遞推、母函數(shù)、抽屜原理、容斥原理、極端原理、平均值原理、介值原理等.組合數(shù)學(xué)之所

以極具魅力，大概緣于她層出不窮的方法技能。

例2.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題)方程x+y+z=2010滿足x<y<z的正整數(shù)

解(x,y,z)的個(gè)數(shù)是.

【解析】法1：考慮用枚舉法

對(duì)x枚舉：當(dāng)％=左(左21)時(shí)，由于xWyWz,3k<2010,.,.1<^<670.

~2010-

而y+z=2010-Z:,「.2yW2010-Z:,「.Z:WyW-------,所以％=”時(shí)，滿

~2010-

足條件的解的個(gè)數(shù)為---------?一左+1個(gè)，因此滿足條件的解的總個(gè)數(shù)為

L2J

。浩行2010—0,八罟「2010—%]爺，sc

S=Y--------------k+1=>-------------->攵+670=336675.

k=\\Ln」Jk=\L4」攵=】

法2：分類計(jì)數(shù)：把x+y+z=2010滿足的正整數(shù)解分為三類：

(1)x,y,z均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)顯然為1；

(2)x,y,z中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，易知為1003；

(3)設(shè)x,%z兩兩均不相等的正整數(shù)解為k.

但我們知x+y+z=201()的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為。縱=2009xl004.

易知1+3x1003+6攵=2009x1004,

所以6%=2009x10()4—3x1003—1

=2006x1005-2009+3x2-1=2006x1005-2004,

B[U=1003x335-334=335671.

從而滿足x4y<z的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

1+1003+335671=336675.

【點(diǎn)評(píng)】1、本題考查了分類計(jì)數(shù)原理等組合數(shù)學(xué)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；

2、考查了枚舉、映射、算兩次等基本技能和方程的思想。

目標(biāo)三考查組合數(shù)學(xué)解決問題的基本思想方法

解決組合問題的基本思想方法有：先猜后證、歸納法、反證法、估計(jì)法、計(jì)數(shù)法、調(diào)整

法、組合分析法、配對(duì)法、平衡法、染色方法、賦值法等.

競(jìng)賽中的組合數(shù)學(xué)問題，解決她的思想方法深深地隱藏在海洋的深處，必須不斷探索，

在一次次挫折與失敗中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能探明方向。

例3.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)對(duì)于整數(shù)〃24,求出最小的整數(shù)/(〃)，使得

對(duì)于任意正整數(shù)加，集合｛以加+1,…,加+〃-1｝的任一個(gè)/(〃)元子集中，均有至少3個(gè)

兩兩互素元素。

【解析】(首先要說明/(〃)是存在的)

當(dāng)“24時(shí)，對(duì)集合M={/%加+1,…,777+〃-1}:(連續(xù)兩個(gè)正整數(shù)是互素的，連續(xù)

三個(gè)奇數(shù)也是互素的)

若則/〃+1,加+2,/〃+3兩兩互素；若21〃？，則人根+1,加+2兩兩互素。于是M

的所有〃元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互素的元素，于是/(〃)存在且

(其次，估計(jì)/(〃)的下限：由m于的任意性，不妨取”={2,3,…,〃+1},構(gòu)造元素

個(gè)數(shù)盡量多的M的子集7；,使其任意三個(gè)元素都不兩兩互素，則_/1(”)引口+1)

設(shè)(=如《〃+1,且2|t,或3|t},則7；是集合{2,3,…,〃+1}的子集，且該集合中任

意3個(gè)元素均不能兩兩互素，因此/(〃)》園+1。

由容斥原理知：上|=等+等］—［等，從而必有：

(猜測(cè)/(〃)的值，并設(shè)法證明之)

因此,/(4)>4,/(5)>5,/(6)>5,/(7)>6,/(8)>7,/(9)>8e下證"6)=5

設(shè)玉,工2團(tuán),工4，尤5為{""+1，…，加+5}中的5個(gè)數(shù)元素，若這5個(gè)數(shù)中有3個(gè)奇數(shù),

則它們兩兩互素；(連續(xù)六個(gè)正整數(shù)，那么，奇偶數(shù)差的絕對(duì)值為1或3或5,若％為偶，y

為奇數(shù)，則(％,')=0,%一丁)=(%,k一日)=0,1或3或5))若這5個(gè)數(shù)中有兩個(gè)奇數(shù)，則

必有3個(gè)偶數(shù)，不妨設(shè)%,％,當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，|x,.-xje{2,4},

所以王，/，七中至多有一個(gè)能被3整除，至多有一個(gè)能被5整除，即至少有一個(gè)既不能被3

整除又不能被5整除，不妨設(shè)此數(shù)為七，則毛，*4，毛兩兩互素，這就是說這5個(gè)數(shù)中有3

個(gè)數(shù)是兩兩互素，即"6)=5o又由

=1)知：/(H+1)</(n)+l,所以

/(4)=4,/(5)=5,/(6)=5,/(7)=6,/(8)=7,/(9)=8,因此，當(dāng)4?〃W9時(shí)，

C(\「〃+1［「〃+1］「〃+1］,G

/(〃)=----+------------+1。②

\/236

假設(shè)當(dāng)〃=攵(左29)時(shí)②式成立，那么當(dāng)〃=%+1時(shí):

(對(duì)集合A=BUCmW忸在A中任取加+〃一1個(gè)元素，則一定含有至少m

個(gè)B的元素或至少〃個(gè)C中的元素。所以對(duì)于連續(xù)〃個(gè)正整數(shù)的集合，分成前后兩段，分別

為〃?,生個(gè)數(shù)，則f(n)</(勺)+/(?!)-1)

由歸納假設(shè)知〃=6,〃=左一5時(shí)②式成立，故：

/伏+1)</(6)+〃%一5)—彳］—［咨+1③

23o

由①③知，當(dāng)〃=%+1時(shí)也成立。

〃+1〃+1

綜上可知，對(duì)于任意整數(shù)”24,都有/(〃)=

"V

【點(diǎn)評(píng)】

1、本題考查了容斥原理、抽屜原理等組合數(shù)學(xué)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)論的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；

2、運(yùn)用了估計(jì)法、構(gòu)造法、歸納法、先猜后證、數(shù)學(xué)歸納法、逐步調(diào)整法、逼近法等解決

組合問題的基本思想方法；

3、本題解決的重點(diǎn)在于堅(jiān)持正確的解題方向。

目標(biāo)四考查組合數(shù)學(xué)中基本技能、基本思想方法的靈活運(yùn)用

競(jìng)賽中的組合數(shù)學(xué)的解答題，往往是比較難的問題，需要靈活運(yùn)用組合數(shù)學(xué)中的基本技能、

基本思想，經(jīng)歷反復(fù)的探索調(diào)整，才能把握解決問題的正確的方向.

例4.(第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)設(shè)1,2,…,9的所有排列

X—(%),工2,…,不)的集合為A；VXGA>記f(X)—xt+2X2+3x3+…+9為，

M={/(X)|XeA}；求(其中表示集合M的元素個(gè)數(shù))

【解析】(顯然，/(X)介于1,2,…,9與1,2,…,9的逆序和和順序和之間，由于

*=(%,%「.,不)有9!個(gè)，于是我們猜測(cè)/(X)將取遍逆序和到順序和的所有數(shù)。其中有

121個(gè)數(shù)，我們要用逐步調(diào)整手段，找出滿足與之對(duì)應(yīng)的121個(gè)X,表述非常繁瑣。為了有

利于證明，我們采取迂回策略，將其一般化)

我們一般地證明，若〃之4,對(duì)于前〃個(gè)正整數(shù)1,2,…,〃的所有排列X,,=(%,々，…，Z)構(gòu)

成的集合A,若/區(qū),)=玉+2工2+3七+…+%，M?={/(X)|XeA},則

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

n(n+l)(n+2)〃(〃+l)(〃+2)〃(〃+l)(2〃+l)]

n[666J

當(dāng)〃=4時(shí)，由排序不等式知，集合M中的最小元素是/({4,3,2,1})=20,最大元

素是/({1,2,3,4})=30.又，/({3,4,2,1})=21,/({3,4,1,2})=22,/({4,2,1,3})=23,

/({3,2,4,1})=24,/({2,4,1,3})=25,/({1,4,3,2})=26,/({1,4,2,3})=27,

/({2,1,4,3})=28,/({1,2,4,3})=29,

43-4+6

所以，|Mj={20,21,…,30}共有11=--—個(gè)元素.因此，〃=4時(shí)命題成立.

假設(shè)命題在〃一1(〃25)時(shí)成立；考慮命題在〃時(shí)的情況.對(duì)于1,2,—1的任一排列

X.T=(%,工2,…,七-1)，恒取七=〃，得到1,2,…，〃的一個(gè)排列七,當(dāng),…,尤”_|,〃，

“〃一1〃

則Z2=〃2+工日&.由歸納假設(shè)知，此時(shí)Z匕■?取遍區(qū)間

k=lk=\k=\

/I(/一])〃(”+1),(〃一1)〃(2〃-1)"|n(/i2+5)此±詈斗一所有整數(shù).

H--------------------------=-----------------

"66J[6

再令X"=l，則

力3.=〃+￡如=〃+￡%(/—1)+嗎1)=”(1)+型(/—I),

k=\k=\k=\乙乙?=l

再由歸納假設(shè)知，￡依人取遍區(qū)間

k=l

上的所有整數(shù).

2n(n2+2)n(n2+5)《的偏反而「〃(〃+D(〃+2)〃(〃+1)(2〃+廠

因?yàn)?----6---->-----6----，所以，>￡取遍區(qū)間L------z6--------,--------6--------

上的所有整數(shù).即命題對(duì)〃也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知，命題成立.

上丁〃(〃+1)(2〃+1)"(〃+1)(〃+2)〃3—〃+6&人”/3一士人生7

由于———7---------——T-----=——7——，從而，集合的兀素個(gè)數(shù)為

666

胃―:+6特別是，當(dāng)”=9時(shí)，=

【點(diǎn)評(píng)】1、本題運(yùn)用排序不等式和介值原理進(jìn)行切入;

2、本題結(jié)論很容易猜到，但很難表述清楚，若直接采用調(diào)整法，比較繁雜；本解答靈活

運(yùn)用一般化方法，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，并靈活運(yùn)用了調(diào)整法；

3、本題也考查的集合與覆蓋等相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。

目標(biāo)五考查組合數(shù)學(xué)中創(chuàng)新能力型問題

在組合數(shù)學(xué)中，創(chuàng)新是解決問題的根本源泉，很多看似簡單的問題，必須有一個(gè)創(chuàng)舉才

能得到完美的詮釋：很多看似復(fù)雜的問題，必須要有所創(chuàng)造才能變得一如的簡單.

例5.（2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題）設(shè)A是一個(gè)3x9的方格表，在每一個(gè)小方格內(nèi)

各填一個(gè)正整數(shù).稱A中的一個(gè)mx〃（l<根<3,14〃49）方格表為“好矩形”，若它的所有數(shù)

的和為10的倍數(shù).稱A中的一個(gè)1x1的小方格為"壞格”，若它不包含于任何一個(gè)“好矩形”.求

A中“壞格”個(gè)數(shù)的最大值.

【解析】（構(gòu)造一個(gè)盡可能多“壞格”的3x9的方格表，猜測(cè)她的最大值）

首先證明A中“壞格”不多于25個(gè).

用反證法.假設(shè)結(jié)論不成立，則方格表A中至多有1個(gè)小方格不是“壞格”.由表格的

對(duì)稱性，不妨假設(shè)此時(shí)第1行都是“壞格”.

（對(duì)一正整數(shù)列%,生，…，見，m<n,則此整數(shù)列中一定存在連續(xù)幾項(xiàng)的和是小的倍

數(shù)。因?yàn)椋河?=￡；%,則由抽屜原理知S“中一定有兩個(gè)數(shù)?！?，同余）

/=1

設(shè)方格表A第i列從上到下填的數(shù)依次為a?h?c?i=1,2,…,9.記

kk

Sk=^a?Tk=￡（/>,+c,）,^=0,1,2,???,9,

i=li=l

這里S°=T0=0.

我們證明：三組數(shù)5。百,…偈;"H，…,7；及So+4百+工，…,Sg+T；都是模10的完

全剩余系.

事實(shí)上，假如存在〃?,〃，,使5,“三5”（010（110）,貝U

=Sn-S?,三O（modlO）,

i=m+\

即第1行的第〃7+1至第〃列組成一個(gè)“好矩形”，與第1行都是“壞格”矛盾.

又假如存在m,n,0<m<n<9,使（“三Tn（mod10）,則

為應(yīng)+.）=—=0（modl0）,

i=ni+i

即第2行至第3行、第m+1列至第〃列組成一個(gè)“好矩形”，從而至少有2個(gè)小方格不是“壞

格”,矛盾.

類似地，也不存在,“〃,04"?<〃49,使

Sm+Tm^Sn+T?(mOdl0).

因此上述斷言得證.故

999

='XTk三+，.)季0+1+2+…+9=5(modlO)，

k=0k=0k=0

所以

999

Z(5.+，)=+Z.三5+5=O(modlO),

A=()1=0k=0

矛盾！故假設(shè)不成立，即“壞格”不可能多于25個(gè).

另一方面，構(gòu)造如下一個(gè)3x9的方格表，可驗(yàn)證每個(gè)不填10的小方格都是“壞格”，此

時(shí)有25個(gè)“壞格”.

綜上所述，“壞格”個(gè)數(shù)的最大值是

25.

1112111110

【點(diǎn)評(píng)】1、本題是一個(gè)解決問題

的模式很標(biāo)準(zhǔn)的“構(gòu)造+證明”的

111111111

組合極值問題；

2、創(chuàng)新1111011112之處是在“反證

法”意外地引入“向余理論”，非

常簡單導(dǎo)出了矛盾的結(jié)論，從而得以證明。

目標(biāo)六壓軸題例

競(jìng)賽壓軸題考查的目標(biāo)是：是否能對(duì)“三基”進(jìn)行靈活運(yùn)用，或能否創(chuàng)造性地解決問題,

或是否經(jīng)過探究能發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征，從而找到解決問題的方法。

例6：(2009CMO試題)設(shè)機(jī)，〃是給定的整數(shù)，4<m<n,…4“+1是一個(gè)正2n+1

邊形，P=求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù).

【解析】

設(shè)凸m邊形為P\P?…P”,,考慮有一個(gè)銳角，不妨設(shè)乙P“RP?<%,

――兀P.

更有NP,TP力M>5(34/〈利—1).

而/々6呂+/匕,_￡,/>乃，故其中至多一個(gè)為銳角，這就說明了頂點(diǎn)在P中的凸m

邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰..

在凸加邊形中，設(shè)頂點(diǎn)4與4為兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，且在這兩個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角均為銳角.設(shè)

A,與A)的劣弧上包含了尸的廠條邊(lWrW〃)，這樣的&力在，?固定時(shí)恰有2〃+1對(duì).

(1)若凸加邊形的其余〃?-2個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧A,4上，而

劣弧上有r—1個(gè)尸中的點(diǎn)，此時(shí)這根—2個(gè)頂