江蘇省重點(diǎn)中學(xué)2023屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={幻上=，一2人+%+3},3={x|log2^>l}則全集U=R則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=AB.A<JB=BC.（6/B=0D.

2.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱，旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，

共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述第族的是（）

c=ane-iaae--"tsn?E一道口地調(diào)

A.這五年，出口總飆之和比進(jìn)口總辨之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

3.如圖，設(shè)尸為AA3C內(nèi)一點(diǎn)，且=則AA3P與八鉆C的面積之比為

34

I

B.

3

2]_

D.

36

4.已知雙曲線C：「一與=1（a＞0力＞0）的左右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn),,P為雙曲線。上一點(diǎn)，。為雙曲線C漸近

ab-

線上一點(diǎn)，P,。均位于第一象限，且2QP=P%，?。尸2=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

22

5.若雙曲線E：__21=1（。＞0/＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸（3,0）,過P點(diǎn)的直線/與雙曲線E交于A、B兩點(diǎn),

/b2

且AB的中點(diǎn)為尸（一3,-6）,則E的方程為（）

A.《上=1B.片一片=1C.二一片=1D.片一￡=1

54456336

6.正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中的％、%039是函數(shù)/（x）=gr-4x2+6x—3的極值點(diǎn)，則log6生020=（）

A.-1B.1C.y/2D.2

7.過雙曲線二-二=1（。＞0,。＞0）的左焦點(diǎn)作傾斜角為30。的直線/,若/與）’軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0力），則該雙曲

Q-b~

線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

22222

A.——y2=1B.——_y2=1C.——y2=1D.--^―=1

234-32

8.設(shè)a，b，c是非零向量.若卜憐Y=；（a+/?＞c，則（）

A.&-（〃+d）=（）B.a-（b-c）=0C.（?+/?）?（?=（）D.（^d-h）-c=0

9.設(shè)左＞1,則關(guān)于的方程（1一攵）￥+;/=42一]所表示的曲線是（）

A.長(zhǎng)軸在）'軸上的橢圓B.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓

C.實(shí)軸在y軸上的雙曲線D.實(shí)軸在X軸上的雙曲線

10.已知向量4=（見1）,Z?=（3，加一2）,則加=3是a/妨的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)xwR,

用國(guó)表示不超過X的最大整數(shù)，則y=[可稱為高斯函數(shù)，例如：[-0.5]=-1,[1.5]=1,已知函數(shù)

/(x)=4.一32+4<0<x<2),則函數(shù)>=［/(切的值域?yàn)?)

A.--B.1-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

12.設(shè)y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8)單調(diào)遞增，a=log020.3,Z7=log20.3,則()

A.f(a+b)>f(ab)>f(.Q)B.f(a+b)>f(0)>f(ab)

C.f(ab)>f(a+b)>f(0)D.J\ab)》于⑼)于(a+b)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)a為銳角，若cos(a+￥)=^^,貝Usin2a的值為.

64

14.如圖梯形ABC。為直角梯形，ABrAD,CDrAD,圖中陰影部分為曲線y=/與直線x=x+2圍成的平面圖形,

向直角梯形ABCO內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是

15.若函數(shù)/(x)=(x-a)(x+3)為偶函數(shù)，貝U/(2)=.

16.邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中,AC與BO交于點(diǎn)。,后是線段8的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與8相交于點(diǎn)匕若

NBAD=60°,Jil!|BEEF=?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)g(x)=e*—(a—1)1—反一l(a,Z,eR),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若函數(shù)/(x)=g'(x)在區(qū)間［0,1］上是單調(diào)函數(shù)，試求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且g(D=0,求。的取值范圍.

18.(12分)每年3月20日是國(guó)際幸福日，某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,

用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù)，結(jié)果見如圖所示莖葉圖，其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為

葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！?

0

7

(I)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；

(II)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),

求X的分布列及E(X).

19.(12分)已知橢圓C:二+:=1缶＞。＞0)的離心率為也，且過點(diǎn)A(0』).

ab2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)尸是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,5的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PQJ-y軸于。，線段尸。的中點(diǎn)為M直線AM與直

線丁=-1交于點(diǎn)N,O為線段8N的中點(diǎn)，設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以。。為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.

-121「1(T

20.(12分)已知矩陣知=,MN=.

21J[_01

(1)求矩陣N；

(2)求矩陣N的特征值.

21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為3的線段的兩端點(diǎn)4B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P為線段上的點(diǎn)，

且滿足|4尸1=2|2?|.記點(diǎn)2的軌跡為曲線后.

(1)求曲線上的方程；

(2)若點(diǎn)M、N為曲線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記OMON=m，判斷是否存在常數(shù)，"使得點(diǎn)。到直線MN的距離為定

值？若存在，求出常數(shù)加的值和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

cosBcosCsinA

22.(10分)已知在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,且「一+----二廠.八.

bcV3sinC

(1)求。的值;

（2）若cos8+J5sin8=2,求AABC面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

化簡(jiǎn)集合A,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合3,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由一212+工+320,(2x-3)(%+1)40,

3,故在A=(—8,一l)u俘+8),

則4=-1,-

由log2》>］知，8=(2,+8),因此AB=0,

3

AuB=-1,-u(2,+a>),(2A)c3=(2,+oo),

(2,+oo)c(-oo,-l)ul-,+ooj,

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對(duì)A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確;

對(duì)B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對(duì)C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；

對(duì)D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

作PD//AC交A3于點(diǎn)。，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出Sga與S,MBC的比例，再由與SA”/,的

比例，可得到結(jié)果.

【詳解】

如圖，作PD//AC交A3于點(diǎn)

則AP=AO+￡）P，由題意，AD^^-AB,DP^^-AC,且264。2+/048=180，

34

所以%郎=；|AO||OP|sinNAOP=；xg|A8|x；|AC|sinNC48qSMBc

又AO=〈AB,所以，SMPB=3SMDP=NS^BC，即沁=；，

34^^ABC-

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

22

由雙曲線的方程二=1的左右焦點(diǎn)分別為￡,鳥，。為雙曲線C上的一點(diǎn)，。為雙曲線C的漸近線上的一點(diǎn),

Q-

且RQ都位于第一象限，且2QP=P尸2，。4。/2=0，

可知P為QK的三等分點(diǎn)，且Q"，Q6，

點(diǎn)。在直線法一股'=0上，并且|00=c,則Q3,份，K（c,O）,

設(shè)P（xi,%）,則2（xi-a,yl-b）=（c-xl,-yl）,

曲由2a+c2b2tz+c2b

解得玉=-=W，即DPZ（-y-，可），

代入雙曲線的方程可得Q"+c>一j_=],解得e=￡=/一2,故選D.

4a24a

點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重

要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c,代入公式e=￡；②只需要

根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于〃力,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）,

即可得e(。的取值范圍).

5、D

【解析】

求出直線/的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的方程組,

求得。,人的值，即可得到答案.

【詳解】

由題意，直線/的斜率為&=Apr=答=1,

可得直線/的方程為y=x-3,

22

把直線/的方程代入雙曲線5—1=1,可得(〃—。2?2+6/%—94—/人2=0,

a"b~

6

設(shè)A8,x),B(x2,y2),則xi+x2=”,,

a-b

由AB的中點(diǎn)為P(-3,-6),可得乎二=—6,解答從=2/,

a-b~

又由"+/?2=c?=9，即/+2/=9，解得。=6力=遙，

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)一匕=1.

36

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中屬于運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)

系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

6、B

【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,得出4a4039=6,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：依題意%、。39是函數(shù)/(力=；%3—4/+6X—3的極值點(diǎn)，也就是r(x)=f-8x+6=0的兩個(gè)根

404039=6

又｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以％020=\la\^4039=屈

???端甸20=1咻m=1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.

7、A

【解析】

直線/的方程為y=#（x+c），令X=0,得y=1?c，得到”,〃的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)求解即可

【詳解】

直線/的方程為丫=/（％+°），令x=0,得y=^c.因?yàn)楹鮟=。，所以”=c2—〃=382一"=2",只有選

項(xiàng)A滿足條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.

8、D

【解析】

試題分析：由題意得：若a.c=O-c，貝U（a-〃）1=0；若“.0=一力.（:，則由。q=憐式=g可知，

ac=bc=。,故（。一/?）N=0也成立，故選D.

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.

【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、

數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常

用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解（較易）；②將條件通過向量的線性

運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解（較難）；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.

9、C

【解析】

22

根據(jù)條件，方程（l-Z）f+尸=公-1.即/-----—=1,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.

'7k2-lk+l

【詳解】

解：,:k>l,：A+k>0,*2-1>0,

22

方程(1一%)/+、2=Z2一],即戚《一占=1,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，

故選C.

【點(diǎn)睛】

22

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為，-----匚=1是關(guān)鍵.

k2-\Z+1

10、A

【解析】

向量：=(機(jī),1),)=(3,機(jī)-2)，a〃b，則3=M根一2),即加2一2〃?一3=0，%=3或者-1,判斷出即可.

【詳解】

解：向量.=(/〃,1),/?=(3,m—2')>

allb>則3=加叱—2),即M—2?i—3=0，

根=3或者-1,

所以/”=3是加=3或者m=-1的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)/(X)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得/(X)的取值范圍，由此求得〉=[/(x)]的

值域.

【詳解】

4”12

因?yàn)椤??=40_32+4(0<X<2),所以，=^-3.2'+4=5(2')~-3-2'+4,令2—(1</<4),則

113

20

/(r)=-r-3r+4(l<r<4),函數(shù)的對(duì)稱軸方程為z=3,所以/⑺而口=/(3)=—/?max=/(D=-，所以

「13、

/U)e-,-1,所以丁=[/(切的值域?yàn)椋鸗0」｝.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).

12、C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較明即可.

【詳解】

解：|a+W=|log0,20.3+log20.3|=M|+詈

1g0.21g2

lg0.3xlgjlg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog20.3|=

-lgO.3xlgO.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(—lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg—

003

Ig5xlg2

顯然Iggclgg,所以|。+可＜|明

y=/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8）單調(diào)遞增,

所以/（燦）＞/（。+。）＞/（0）

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

it3+3+

J.J、---------

8

【解析】

：a為銳角，cos(a+—)=—>/?sin(a+—)=>

6464

sin(2a+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=-^,cos(2a+—)=2cos2(a+—)-1=--,

3664364

77+36

故sin2a=sin[(2a+-)--]=sin(2a+—)cos--cos(2a+—)sin—=—x—+—x—=

33333342428

3

14、

5

【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出最后根

據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】

V—x2fx=2[x=—1

解：聯(lián)立)解得，或，，即8(2,4),C(-l,l),￡>(-1,0),A(2,0),

y=x+2[y=4[y=i

=2223]]5

陰影|[(x+2)-x^<i￥=-x+2X--X|^=—,SAfiCD=(l+4)x3x-=—

—I

9

.p=S陰影=2=3

"SABCD~15-5

2

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.

15、-5

【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說明一次項(xiàng)系數(shù)為0,求得參數(shù)。，將x=2代入表達(dá)式即可求解

【詳解】

由/,。)=/+(3-。?-3。為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0,所以3—a=0,a=3,所以/(x)=f-9,

/(2)=22-9=-5

故答案為：-5

【點(diǎn)睛】

本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題

【解析】

取基向量AQ，AB，然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將8E，律表示為基向量后再相乘可得.

【詳解】

設(shè)AF-AAD4-(1—A,)AC9又AE——AD+—AO=—A。+—AC,

且存在實(shí)數(shù)/使得

AAD4-(1-A)AC=-tAD+LAC,

24

l-2=-r

4

/.AF=-AD+-AC

339

/.EF=AF-AE=-AD-^—AC,

612

BE.EF=(AE-AB).EF=(AD+DE-AB).EF=(4。+：DB—AB)￡AD+卷AC)

=(AD+-AB--AJD-AB).(-AD-F—AC)

44612

3311

=(-AD——AB).(-A。+—AB)

44412

32I2I

=—AD——AB——AB.AD

16168

=—3x4)1x4)—1xc2xc2x—1

161682

j_

-4

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)°o,—u—+1,+ooJ；(2)(e—1,2).

【解析】

(1)求出g'(x)=/(x),再求/”(x)NO,XG［0,1］恒成立，以及尸(x)40,XG［0,l］恒成立時(shí),“的取值范圍；

(2)由已知g(l)=g(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為/(x)=g'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),

由(1)的結(jié)論對(duì)。分類討論，根據(jù))(x)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意得/(x)=e"-2(。一1)》一/?,則/'(X)=e'-2(“一1),

當(dāng)函數(shù)fW在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增時(shí)，

f'(x)=ex-2(a—1)..0在區(qū)間［0,1］上恒成立.

.\2(a-l)?(e').=1(其中xe［0,l］),解得知

當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減時(shí)，

f(x)=e*-2(a-1)?0在區(qū)間［0,1］上恒成立，

=e(其中xe［0,l］),解得4.F+1.

\/max2

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍是1-00,gU］+1，+=°)

(2)=ex-2(a-l)x-h-f(x).

由g(0)=g⑴=0,知g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),

設(shè)該零點(diǎn)為七,則g(x)在區(qū)間(0,小)內(nèi)不單調(diào).

...)(X)在區(qū)間((),七)內(nèi)存在零點(diǎn)七，

同理/*)在區(qū)間(％』)內(nèi)存在零點(diǎn)x2.

.../(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

由(1)易知，當(dāng)4,g時(shí)，/(x)在區(qū)間(0/)上單調(diào)遞增，

故在區(qū)間(()/)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)a.S+1時(shí)，/*）在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，

2

故/（X）在區(qū)間（（）/）內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意,

2<a<S+1.令/'(x)=0,得x=ln(2a-2)G(0,1),

22

函數(shù)/（x）在區(qū)間（0』n（2a—2）］上單凋遞減,

在區(qū)間（ln（2a—2）,1）上單調(diào)遞增.

記fW的兩個(gè)零點(diǎn)為司,馬（王<々）,

:.x{G(0,ln(2(2-2)],x2￡(ln(2a-2),1),必有f(0)=l-b>0,/(l)=e-2〃+2-/?>0.

由g(l)=。，得a+/?=e.

IS=&+1-(Q+0)=&+l-e<0

又f（0）-u—c+\>0,f（1）=2-a〉0,

?.e—l<a<2.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e-1,2）.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較

難題.

199

18、（I）麗.（II）見解析.

【解析】

（1）18人中很幸福的有12人，可以先計(jì)算其逆事件，即3人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用1減去3人都認(rèn)為不很幸福

的概率即可；（II）根據(jù)題意，隨機(jī)變量X列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可.

【詳解】

（I）設(shè)事件A=｛抽出的3人至少有1人是“很幸?！钡模?則無(wú)表示3人都認(rèn)為不很幸福

=1￡=1H

P(A)=1—P(Z)

%204204

(II)根據(jù)題意，隨機(jī)變量xX的可能的取值為0,1,2,3

J1[2門2

P(X=0)=C；-=一;尸(X=l)=C；x—x-=—；

'7\3)27'739

P(X=2)=C/xf|Tx|=l,唳=3)=錯(cuò)[吟

JyJyJy乙/

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

1248

P

779927

c1,2c4c8C

=0x--Fix—+2x—+3x——=2

279927

【點(diǎn)睛】

本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問題，屬于常規(guī)題型.

19、(1)—+y2=[(2)點(diǎn)M在以8為直徑的圓上

4

【解析】

(D根據(jù)題意列出關(guān)于“，b,。的方程組，解出“，b,。的值，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸(X。，%),則時(shí)(￡,%),求出直線AM的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)0

的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)P在橢圓C上證出揄.而=(),所以點(diǎn)M在以8為直徑的圓上.

【詳解】

b=\

a=2

(1)由題意可知，，,解得＜b=1,

a2

2一八2,二c=V3

2

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4

(2)設(shè)點(diǎn)P(x(),%),則M(，，%),

y0-\2(yu-l)

，直線AM的斜率為&_0-X。，

2

???直線AM的方程為：y=二生Qx+1,

x()

令y=T得，》=丹，

|一%

.??點(diǎn)N的坐標(biāo)為(產(chǎn)，-D,

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為(Jr，-1),

“一打)

22

血血=多為)吟-^?%+。=子+%2-++%，

又點(diǎn)P(Xo，%)在橢圓C上,

2

+y（/=],=4-4y（：,

—f4(1—v2)

OM3M=1-=”+%=1-(1+%)+%=0,

4(1-%)

.?■點(diǎn)M在以O(shè)￡＞為直徑的圓上.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓方程，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識(shí)，屬于中檔題.

2

3

20、⑴心2j（2）4=；,4=7.

_3-3.

【解析】

/、「Q〃

(1)由題意，可得N=,,利用矩陣的知識(shí)求解即可.

ca

(2)矩陣N的特征多項(xiàng)式為/(/)=(/+；)令/(2)=0,求出矩陣N的特征值.

【詳解】

b']F12aba+2cb+2d10

(1)設(shè)矩陣N=,,則MN=一

a2led2a-he2b+d__01

a+2c=1

b+2d=0EH1,22

所以解得。二一二，b=—

2a+c=03393

2〃+d=l

」1

33

所以矩陣'=2;；

_3-3.

⑵矩陣N的特征多項(xiàng)式為/(/)=卜+；j,

令/(2)=0,解得/1]=；,辦=一1,

即矩陣N的兩個(gè)特征值為4=g，4=T.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的知識(shí)點(diǎn)，屬于?？碱}.

21、(1)乙+/=1(2)存在；常數(shù)加=(),定值2

45

【解析】

(1)設(shè)出P,A,8的坐標(biāo)，利用AP=2PB以及|AB|=3,求得曲線E的方程.

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線MN的方程，求得。到直線MN的距離”.聯(lián)立直線MN的方程和曲線E的

方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合OM-ON=”以及〃為定值，求得〃?的值.當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證乩加.

由此得到存在常數(shù)機(jī)=0,且定值"=冬叵.

5

【詳解】

⑴解析:⑴設(shè)尸(x,y),A(%0),

由題可得AP=2PB

x=