備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題17同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式5題型分類(原卷版+解析)

專題17同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式5題型分類一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．注：1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．（一）同角求值（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型1：同角求值1-1．（2024高一上·廣東江門·期末）已知，求，的值.1-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則.1-3．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知，求值：(1)；(2)；(3).1-4．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩根．(1)求的值；(2)若，求的值．1-5．（2024高三·山西運(yùn)城·學(xué)業(yè)考試）已知，求下列各式的值：(1)；(2).（二）誘導(dǎo)求值與變形（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化題型2：誘導(dǎo)求值與變形2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）的值為2-2．（2024高一下·甘肅天水·期末）化簡(jiǎn)2-3．（2024高三上·福建莆田·期中）已知?jiǎng)t．2-4．（2024高三·江蘇·對(duì)口高考）已知，且，則的值是.2-5．（2024高三上·山東泰安·期中）已知是第四象限角，且，則.2-6．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則.2-7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．（三）同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．（2）注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．題型3：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值3-1．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為第二象限角，且滿足，則3-2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，則=.3-3．（2024高一上·天津和平·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．13-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知sin(3π＋θ)＝，則＋＝.3-5．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．題型4：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用4-1．（2024高一上·江蘇淮安·期末）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．4-2．（2024高一下·山東東營(yíng)·期中）已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的值．4-4．（2024高一上·廣東深圳·期末）已知．(1)求的值．(2)求的值．（四）三角恒等式的證明三角恒等式的證明中涉及到同角三角函數(shù)基本關(guān)系，和角公式，差角公式，二角公式，輔助角公式等基本知識(shí)點(diǎn)，理解和掌握這些基本知識(shí)點(diǎn)是解答該類問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵題型5：三角恒等式的證明5-1．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：當(dāng)或3時(shí)，.5-2．（2024高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求證：＝．5-3．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：（1）；（2）；（3）；（4）.5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）求證：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；（2）已知tan2α=2tan2β+1，求證：2sin2α=sin2β+1.一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）勾股定理，在我國(guó)又稱為“商高定理”，最早的證明是由東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成的大正方形圖案（如圖所示），若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則“趙爽弦圖”里的直角三角形中最小角的正弦值為（

）

A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．2 C． D．4．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知角為鈍角，且角終邊上有一點(diǎn)，則角（

）A． B． C． D．6．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，在在角終邊上，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．9．（2024·陜西寶雞·一模）已知，則（

）A． B． C． D．10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，過點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A． B． C． D．12．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．13．（2024·陜西西安·二模）已知，則（

）A． B． C．- D．14．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．15．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．16．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．17．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．18．（2024高一下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，且，（

）A． B． C． D．19．（2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足，則（

）A．2 B．1 C．3 D．20．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．21．（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件22．（2024·陜西榆林·二模）已知，則=（

）A． B． C． D．23．（2024高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知為第二象限的角，且，則的值為（

）A． B． C． D．24．（2024高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．26．（2024高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．27．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知角的終邊過點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．28．（2024高三上·安徽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．29．（2024高三上·安徽·期中）已知是角的終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．30．（2024高三上·安徽·期中）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．31．（2024高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．32．（2024高三上·重慶永川·期中）已知，，則（

）A． B． C．3 D．33．（2024高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題34．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為第一象限角,,則（

）A．B．C．D．35．（江蘇省宜興中學(xué)、泰興中學(xué)、泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（

）A． B．C． D．36．（2024高一下·河南焦作·階段練習(xí)）已知角，是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（

）A． B．C． D．37．（2024高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．38．（2024高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．39．（2024高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題40．（2024·全國(guó)）若，則．41．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知，，那么.42．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若，求的值為.43．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則.44．（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于的方程的兩根，則.45．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則．46．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.47．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最大值為，的最小值為．48．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知，，則.49．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知，且，則．50．（2024·浙江溫州·二模）已知，則.51．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知，則的值是．52．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則．53．（2024高三上·湖南衡陽(yáng)·期中）已知，則．54．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則.55．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）若，則.56．（2024高一下·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）已知，且，則．57．（2024高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則.58．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的終邊落在直線上，則．四、解答題59．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的終邊落在直線上．求(1)的值；(2)的值．60．（2024高一下·安徽·期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)位于軸上方且.(1)求的值；(2)求的值.61．（2024高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.(1)求的表達(dá)式，并求；(2)若，，求的值.62．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證:.63．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）證明：.64．（2024高一上·四川廣安·期末）已知(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值.65．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）證明：，．66．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：．67．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.68．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若，求的值.69．（2024高三上·河南周口·期中）（1）若，求的值；（2）設(shè)，求的值.70．（2024高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度后交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)為(1)求函數(shù)的解析式，并求的值；(2)若，，求的成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題17同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式5題型分類一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．注：1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．（一）同角求值（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型1：同角求值1-1．（2024高一上·廣東江門·期末）已知，求，的值.【答案】為第四象限角時(shí)，，；為第二象限角時(shí)，，【分析】借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，故有，即，又，故，即，則，當(dāng)時(shí)，即為第四象限角時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即為第二象限角時(shí)，.1-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則.【答案】0【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系直接求解，注意分類討論．【詳解】因?yàn)榍遥芍獮榈诙笙藿腔虻谌笙藿?，由得?）當(dāng)為第二象限角時(shí)，，，；（2）當(dāng)為第三象限角時(shí)，，，；綜上可知：.故答案為：0.1-3．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知，求值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將平方即可求得答案；（2）利用立方和公式結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案；（3）結(jié)合（1）的結(jié)果，將化為，繼而化為，即可得到關(guān)于的方程，即可求得答案.【詳解】（1）由可得，即；（2）；（3）由于，故，即，由于，故，故.1-4．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩根．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用韋達(dá)定理以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)已知條件判斷出，所以利用即可求解.【詳解】（1）由已知得①，②，將①兩邊同時(shí)平方得，則，所以；（2）∵，，，∴，，∴，.1-5．（2024高三·山西運(yùn)城·學(xué)業(yè)考試）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)，分式同除可得.（2）根據(jù)先將轉(zhuǎn)化為，再將分式同除可得.【詳解】（1）（2）（二）誘導(dǎo)求值與變形（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化題型2：誘導(dǎo)求值與變形2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）的值為【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：.故答案為：.2-2．（2024高一下·甘肅天水·期末）化簡(jiǎn)【答案】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系得解.【詳解】原式．2-3．（2024高三上·福建莆田·期中）已知?jiǎng)t．【答案】/【分析】通過換元，得到，，再利用誘導(dǎo)公式即可求出結(jié)果.【詳解】令，則，，因?yàn)?，所以，所以，故答案為?2-4．（2024高三·江蘇·對(duì)口高考）已知，且，則的值是.【答案】【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.2-5．（2024高三上·山東泰安·期中）已知是第四象限角，且，則.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，得，即因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?，所以，則，所以，故答案為：-22-6．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則.【答案】/【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而求得，，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由題意得，，則或，又，即，解得或（舍去），則，所以.故答案為：.2-7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角的正切值進(jìn)行求解即可.【詳解】．故選：C．（三）同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．（2）注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．題型3：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值3-1．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為第二象限角，且滿足，則【答案】/【分析】根據(jù)為第二象限角得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)得到的值，兩邊平方得到，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，，所以，兩邊平方可得，則.故答案為：.3-2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，則=.【答案】【分析】將所求式利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行三角恒等變換化簡(jiǎn)即得.【詳解】由知于是，故故答案為：.3-3．（2024高一上·天津和平·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行弦化切代入即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，則，故選：C.3-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知sin(3π＋θ)＝，則＋＝.【答案】18【分析】由已知求得sinθ，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值.【詳解】由，可得，∴.故答案為：18.3-5．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合倍角公式以及齊次式問題分析求解.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，即，且，可得，則，所以.故選：C.題型4：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用4-1．（2024高一上·江蘇淮安·期末）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，判斷，結(jié)合計(jì)算，即可得答案.（2）判斷，求出其值，化簡(jiǎn)為，代入求值即可.【詳解】（1）由于，且，故，且，則；（2）由于，因?yàn)?，故，則，所以.4-2．（2024高一下·山東東營(yíng)·期中）已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求得，即可求得結(jié)果；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)（1）中所求，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有，消去得，解得或因?yàn)榻鞘堑谌笙藿?，所以，，?），當(dāng)角是第一象限角時(shí)，，當(dāng)角是第三象限角時(shí)，，4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的值．【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正余弦齊次式的求法可將所求式子化為關(guān)于的式子，代入的值即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故答案為：.4-4．（2024高一上·廣東深圳·期末）已知．(1)求的值．(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系有，即可求值；（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由商數(shù)關(guān)系及已知求值.【詳解】（1）；（2）.（四）三角恒等式的證明三角恒等式的證明中涉及到同角三角函數(shù)基本關(guān)系，和角公式，差角公式，二角公式，輔助角公式等基本知識(shí)點(diǎn)，理解和掌握這些基本知識(shí)點(diǎn)是解答該類問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵題型5：三角恒等式的證明5-1．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：當(dāng)或3時(shí)，.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式左側(cè)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊=；當(dāng)時(shí)，左邊=；綜上，或有原等式恒成立.5-2．（2024高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求證：＝．【答案】證明見解析【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將等式兩邊分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而證明問題.【詳解】左邊.右邊.∴左邊＝右邊，故原等式成立．5-3．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）證明見解析【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)式關(guān)系,結(jié)合齊次式的化簡(jiǎn)即可證明.【詳解】（1）證明:根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)等式左邊可得而右邊所以原式得證.（2）證明:根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,可得而右邊原式得證.（3）證明:而右邊原式得證（4）證明:由同角三角函數(shù)關(guān)系式可知而右邊原式得證【點(diǎn)睛】本題考查了利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明三角函數(shù)恒等式,屬于基礎(chǔ)題.5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）求證：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；（2）已知tan2α=2tan2β+1，求證：2sin2α=sin2β+1.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）將代入左式，化簡(jiǎn)即可得到右式.（2）將，代入條件，通分化簡(jiǎn)得到，即2cos2α=cos2β，然后由，將余弦化成正弦即可證得結(jié)論.【詳解】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cos2α）=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，則原等式得證.（2）因?yàn)閠an2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，從而2cos2α=cos2β，于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，則原等式得證.一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式得到關(guān)于的方程，再利用倍角公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，即，則，即，所以或（舍去），所以.故選：B.2．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）勾股定理，在我國(guó)又稱為“商高定理”，最早的證明是由東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成的大正方形圖案（如圖所示），若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則“趙爽弦圖”里的直角三角形中最小角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，較小的角為，則中間小正方形的邊長(zhǎng)為，由題意可得，顯然可得，即可得到，從而求出.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，較小的角為，則中間小正方形的邊長(zhǎng)為，由題意可得，顯然，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以.故選：D3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用已知的三角函數(shù)值，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得答案.【詳解】令，則，從而.故選：A.4．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】注意到，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求角的正弦，再利用誘導(dǎo)公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以且，所以得，由誘導(dǎo)公式得，.所以.故選:D5．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知角為鈍角，且角終邊上有一點(diǎn)，則角（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】點(diǎn)，由誘導(dǎo)公式可化為，由三角函數(shù)的定義知，，又因?yàn)闉殁g角，，所以.故選:B.6．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，在在角終邊上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角終邊上，則，，所以,.故選：B7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)定義求得，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意得，，故選：C.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線一般方程可求得，再利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得其結(jié)果.【詳解】由直線的方程為，得斜率，則；故選：A．9．（2024·陜西寶雞·一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知條件化簡(jiǎn)得；再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出；最后利用二倍角公式即可求解.【詳解】.由可得：.因?yàn)?，所?所以.故選：C.10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到，再利用正切和角公式得到方程，求出，利用余弦二倍角，齊次化求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，故，解得，所?故選：B．11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，過點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切線的方程為，求得圓心到切線的距離，求得的值，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意知，圓的圓心為，半徑，且切線，的斜率都存在，設(shè)切線的方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到切線的距離，解得或，所以，在四邊形中，因?yàn)椋傻?，所?故選：A．12．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式，平方關(guān)系和商關(guān)系即可求解.【詳解】.故選：D13．（2024·陜西西安·二模）已知，則（

）A． B． C．- D．【答案】A【分析】因?yàn)?，由誘導(dǎo)公式可得選項(xiàng).【詳解】.故選：A.14．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，借助于誘導(dǎo)公式，即可求得結(jié)果．【詳解】，的值為，故選：15．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)運(yùn)用，套用公式即可.【詳解】利用誘導(dǎo)公式可得，故選：B.16．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)已知得，再求的值.【詳解】由得，所以在第一、二象限，所以.故選：D.17．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，求出這兩個(gè)量的值，即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋深}意可得，解得，因此，.故選：B.18．（2024高一下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知等式兩邊平方，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，結(jié)合的范圍確定與的正負(fù)，再利用完全平方公式及三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，故，所以與導(dǎo)號(hào)，又因?yàn)?，所以，，所?故選：C.19．（2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足，則（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【分析】利用平方關(guān)系可求得，可解得，再結(jié)合是三角形的一個(gè)內(nèi)角即可得，即可求出.【詳解】將兩邊同時(shí)平方可得，即；所以若，解得，這與是三角形的一個(gè)內(nèi)角矛盾，所以，解得，此時(shí)求得.故選：A.20．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，故選：B21．（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式的逆運(yùn)用以及由三角函數(shù)的概念即可判斷其充分性，由代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷其必要性，從而得出結(jié)論.【詳解】若，則，故，即．又，故或，充分性不成立；若，即，所以，所以，所以必要性成立．故選：D．22．（2024·陜西榆林·二模）已知，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】，由，有，兩邊平方得，則，故.故選：C.23．（2024高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知為第二象限的角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?，且，所以，所?故選：A.24．（2024高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角的范圍及正弦值求出余弦值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以?故選：C25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系運(yùn)算即可得.【詳解】由題意得，則，故.故選：D.26．（2024高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式可得出，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，聯(lián)立，解得，因此，.故選：B.27．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知角的終邊過點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算得解.【詳解】由角的終邊過點(diǎn)，得，，所以.故選：A28．（2024高三上·安徽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，，則，則．故選：A．29．（2024高三上·安徽·期中）已知是角的終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而由商數(shù)關(guān)系可求.【詳解】因?yàn)槭墙堑慕K邊上一點(diǎn)，所以，則，故選：B.30．（2024高三上·安徽·期中）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)可求得：，，再結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式從而求解.【詳解】因?yàn)椋海樽鴺?biāo)原點(diǎn)），所以:由三角函數(shù)的定義，得，，所以：.故C項(xiàng)正確.故選：C.31．（2024高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用整體代換法與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】依題，令，則，，所以.故選：A32．（2024高三上·重慶永川·期中）已知，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由條件化簡(jiǎn)求得，將所求式子利用三角恒等變換化簡(jiǎn)再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為正切求得結(jié)果.【詳解】由，即，又，解得，.故選：B.33．（2024高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，由誘導(dǎo)公式得，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題34．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為第一象限角,,則（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】首先由題意得是第一象限角,所以,再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)計(jì)算確定正確答案.【詳解】由題意得,則,若在第四象限,則,所以也是第一象限角,即,,A項(xiàng)錯(cuò)誤;,B項(xiàng)正確;,C項(xiàng)錯(cuò)誤;,D項(xiàng)正確.故選:BD.35．（江蘇省宜興中學(xué)、泰興中學(xué)、泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題意列出重合時(shí)刻t的表達(dá)式，進(jìn)而可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，通過賦值對(duì)比選項(xiàng)即可得解.【詳解】點(diǎn)的初始位置，銳角，設(shè)時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則，即，此時(shí)點(diǎn)，即，，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，即，故D正確；由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合，故B錯(cuò)誤，故選：ACD.36．（2024高一下·河南焦作·階段練習(xí)）已知角，是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)單調(diào)性一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題易知，，，即A、B、C結(jié)論成立.對(duì)于D，由銳角三角形知，，得，因此，所以錯(cuò)誤.故選：ABC37．（2024高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC.38．（2024高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】本題可通過誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，A正確，然后通過誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，B正確，最后根據(jù)以及同角三角函數(shù)關(guān)系判斷出C錯(cuò)誤以及D正確.【詳解】A項(xiàng)：，A正確；B項(xiàng)：因?yàn)椋?，B正確；C項(xiàng)：因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查的公式有、、、等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.39．（2024高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)于A、B，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可，對(duì)于C、D，由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題40．（2024·全國(guó)）若，則．【答案】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)椋瑒t，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.41．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知，，那么.【答案】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系及已知條件求得，代入目標(biāo)式求值即可.【詳解】由，，則，所以.故答案為：42．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若，求的值為.【答案】/【分析】由已知求出，再將化為，利用齊次式法求值，即得答案.【詳解】由可得，因?yàn)椴贿m合，故，所以，故，故答案為：43．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則.【答案】【分析】分式上下同除以，化弦為切，代入求值即可.【詳解】，.故答案為：.44．（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于的方程的兩根，則.【答案】【分析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【詳解】由題意：，所以，所以，即，解得.故答案為：.45．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】由立方差公式，得.將兩邊平方，解得，代入即可得解.【詳解】由題知，因?yàn)椋瑑蛇吰椒接?，所以，所?故答案為：.46．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.【答案】/【分析】由已知可求出的取值范圍，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值，可求出的值，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)椋覟榈诙笙藿牵瑒t，解得或，因?yàn)?，整理可得，即，解得（舍）或，所以，，，所以，，因此?故答案為：.47．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最大值為，的最小值為．【答案】91【分析】借助誘導(dǎo)公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化，再利用兩點(diǎn)間的距離公式將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，利用形的直觀來求最值.【詳解】因?yàn)?，所以，此式可看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離．而點(diǎn)的軌跡是圓．又點(diǎn)到圓心的距離為2，所以的最大值，的最小值．故答案為：9；1【點(diǎn)睛】將所給函數(shù)式展開必將陷入命題人的圈套，此時(shí)要整體把握目標(biāo)，借助誘導(dǎo)公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化，再利用兩點(diǎn)間的距離公式將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，利用形的直觀來求最值，既簡(jiǎn)單又節(jié)省時(shí)間．本題不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的基本功，具有整體把握目標(biāo)的能力，還對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等要求較高．48．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知，，則.【答案】/【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角關(guān)系即可求解.【詳解】由得，由可得，故.故答案為：49．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知，且，則．【答案】/【分析】整體法誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，故，所?。故答案為：50．（2024·浙江溫州·二模）已知，則.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)為齊次式，再代入，可得答案.【詳解】因?yàn)椋浴?故答案為：51．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知，則的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡(jiǎn)，在將代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?.52．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，并分析三角函數(shù)值的正負(fù)即可求解.【詳解】解：已知①，則，，，，則，，②，聯(lián)立①②，得，，故答案為：.53．（2024高三上·湖南衡陽(yáng)·期中）已知，則．【答案】【分析】平方，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系即正弦二倍角公式求解.【詳解】?jī)蛇吰椒降茫?，解得?故答案為：54．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則.【答案】/0.2【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】由題可得.故答案為：55．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）若，則.【答案】【分析】以為整體，根據(jù)誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.56．（2024高一下·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）已知，且，則．【答案】/【分析】設(shè),,則,，從而將所求式子轉(zhuǎn)化成求的值，利用的范圍確定的符號(hào).【詳解】設(shè),,那么,從而.于是.因?yàn)?所以.由,得.所以,所以.故答案為：.57．（2024高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則.【答案】/-0.5【分析】根據(jù)任意角三角比的定義和誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，故答案為：.58．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的終邊落在直線上，則．【答案】或【分析】化簡(jiǎn)得到，考慮角為第一或第三象限角兩種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊落在直線上，所以角為第一或第三象限角，，當(dāng)角為第一象限角時(shí)，，；當(dāng)角為第三象限角時(shí)，，．故答案為：或.四、解答題5