備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測專題23平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4題型分類(原卷版+解析)

專題23平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4題型分類1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.5.已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).（一）平面向量基本定理的應(yīng)用(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．題型1：平面向量基本定理的應(yīng)用1-1．（2024高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)向量是平面內(nèi)一個基底，且，則向量可以用另一個基底表示，即.1-3．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，則.1-4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為.1-5．（2024高三下·河南·開學(xué)考試）已知分別為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則.1-6．（2024·天津紅橋·一模）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，則，若，，則的最小值為.1-7．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且在上，且．若，則（

）A． B． C． D．（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．題型2：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2-1．（2024高三·全國·對口高考）為平行四邊形的對角線，，則．2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，，，且，則.2-3．（2024高三·全國·對口高考）已知點(diǎn)，若與的夾角是，，則點(diǎn)B坐標(biāo)為．2-4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.（三）向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．題型3：利用向量共線求參數(shù)3-1．（2024·江西上饒·一模）已知向量，，若三點(diǎn)共線，則.3-2．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則.3-3．（2024·湖南長沙·二模）已知向量，若B，C，D三點(diǎn)共線，則.3-4．（2024高三下·全國·開學(xué)考試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)a＝.3-5．（2024高一下·山西運(yùn)城·期中）3-6．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若與共線，則實(shí)數(shù)．3-7．（2024高三上·天津河北·期中）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.題型4：利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)4-1．（2024高三上·福建廈門·開學(xué)考試）寫出一個與向量共線的向量.4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，已知點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.4-3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．4-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.一、單選題1．（2024·北京）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．12．（2024高三上·天津武清·階段練習(xí)）在中，，E是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是（

）A．10 B．4 C．7 D．133．（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．（2024高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2024·廣東·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．8．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．非充分非必要條件9．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．10．（2024高三上·四川·開學(xué)考試）設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（

）A． B． C． D．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形中，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．12．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）如圖，在正八邊形中，，則（）A．1 B． C． D．13．（2024·陜西西安·一模）已知向量，，若不超過3，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．14．（2024高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．15．（湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或16．（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量，，若向量與共線，則（

）A． B． C． D．17．（2024·山東青島·一模）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，則“m＝－6”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件18．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．19．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．20．（2024高三上·北京朝陽·期末）在中，，當(dāng)時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（

）A． B． C． D．21．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．22．（湖南省益陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．223．（2024·河南·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．24．（2024·全國）已知向量，則A． B．2C．5 D．5025．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．1126．（2024高二上·安徽·期中）如圖，在長方形中，，點(diǎn)P滿足，其中，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．27．（2024高三上·河南南陽·期末）下列向量中，與向量共線的是（

）A． B． C． D．28．（2024高三上·河北保定·期末）已知命題，，與共線，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件29．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．30．（2024·四川巴中·一模）已知向量，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．4 D．531．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知和是兩個正交單位向量，，且，則（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或432．（2024高二上·江蘇南京·期末）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．33．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）已知，，是直線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)在外，若，則（

）A．3 B．2 C． D．34．（2024高一下·江西九江·期末）已知向量．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（

）A． B． C． D．35．（2024高三上·北京大興·期末）設(shè)向量，若，則（

）A． B． C． D．36．（2024高三上·山東威?！て谀┮阎蛄浚簦瑒t（

）A． B． C． D．37．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．38．（2024高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．39．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知向量，若與共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．2 B．4 C． D．或440．（2024高一上·遼寧沈陽·期末）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．41．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則（

）A．0 B． C． D．42．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點(diǎn)Q，且，則（

）A． B． C． D．43．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．44．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．45．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．46．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，,，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，則（

）A． B．C． D．47．（2024·安徽·二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．48．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．49．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若實(shí)數(shù)k與向量滿足，則可以是（

）A． B．C． D．50．（2024·河北·模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點(diǎn)M滿足，則（

）A．1 B． C． D．51．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．652．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知，且三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．二、多選題53．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）已知向量，則（

）A． B．C．可以作為平面向量的一個基底 D．54．（2024高一下·福建福州·期中）已知向量不共線，且，其中，若三點(diǎn)共線，則角的值可以是（

）A． B． C． D．55．（2024高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量是線段的三等分點(diǎn)，則的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．56．（2024高三上·山東青島·期末）已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則（

）A． B．C．的坐標(biāo)為 D．的坐標(biāo)為57．（2024·江蘇·一模）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題58．（2024高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知平面向量滿足：，，，設(shè)向量（為實(shí)數(shù)），則的取值范圍為．59．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．60．（2024高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，向量與的夾角為，向量與的夾角為，，，若，（，），則．

61．（2024高三上·湖南永州·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則．62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則.

63．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，且，則的最大值為．64．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若向量與平行，則．65．（2024·廣西南寧·一模）已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為．66．（2024·全國）已知向量，，．若，則．67．（2024高二上·上海長寧·期末）如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則．68．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)．69．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標(biāo)為.70．（2024·湖北武漢·三模）已知向量，，向量，，若，則實(shí)數(shù).71．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知向量，若，則實(shí)數(shù).72．（2024·上海普陀·模擬預(yù)測）已知，，若與互相平行，則實(shí)數(shù)的值是．四、解答題73．（2024高三上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）如圖，在中，分別是邊上的動點(diǎn).

(1)證明：；(2)當(dāng)分別是邊的中點(diǎn)時，用表示.74．（2024高一·湖南·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．75．（2002·北京）已知是的三個頂點(diǎn)．(1)寫出的重心G,外心F,垂心H的坐標(biāo),并證明G,F,H三點(diǎn)共線;(2)當(dāng)直線與平行時,求頂點(diǎn)C的軌跡．76．（2024高三上·西藏拉薩·期中）設(shè)兩個非零向量與不共線．(1)若，，，判斷A，B，D三點(diǎn)是否共線？(2)試確定實(shí)數(shù)，使和同向．77．（廣西河池市八校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考（4月）數(shù)學(xué)試題）已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．78．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，，.（1）求橢圓的方程.（2）過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均不與，重合），直線與直線交于點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題23平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4題型分類1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.5.已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).（一）平面向量基本定理的應(yīng)用(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．題型1：平面向量基本定理的應(yīng)用1-1．（2024高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)基底的知識確定正確答案.【詳解】依題意，不共線，A選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.B選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.C選項(xiàng)，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)向量是平面內(nèi)一個基底，且，則向量可以用另一個基底表示，即.【答案】【分析】設(shè)，將代入，利用向量基本定理，得出的關(guān)系式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椴还簿€，所以，解得，，故答案為：.1-3．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，則.【答案】/【分析】根據(jù)已知條件先確定，，再根據(jù)平面向量基本定理，把向量與向量作為一組基底表示出向量即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，則，因?yàn)椋?，則.故答案為：1-4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可得出答案.【詳解】由題意可得：.所以.故答案為：.1-5．（2024高三下·河南·開學(xué)考試）已知分別為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運(yùn)算，由條件可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，又，則，，所以.故答案為：1-6．（2024·天津紅橋·一模）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結(jié)合已知用表示，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點(diǎn)共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，取等號；即的最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，則三點(diǎn)共線.1-7．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且在上，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和平面向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋?，則．因?yàn)椋?，則．故選：C（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．題型2：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2-1．（2024高三·全國·對口高考）為平行四邊形的對角線，，則．【答案】【分析】畫圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及向量加法法則運(yùn)算即可.【詳解】

如圖在平行四邊形中，，在中，，所以，故答案為：.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，，，且，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算即可求解.【詳解】，由可知解得故．故答案為：2-3．（2024高三·全國·對口高考）已知點(diǎn)，若與的夾角是，，則點(diǎn)B坐標(biāo)為．【答案】【分析】由向量與的夾角是，知向量與方向相反，設(shè)，則，，則，，解得，得到答案.【詳解】由向量與的夾角是，所以向量與方向相反，設(shè)，則，，則，故，所以，故，由，所以，故.故答案為：.2-4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將各個點(diǎn)坐標(biāo)代入中，計(jì)算結(jié)果.【詳解】解：由題意得，所以.設(shè)，則，所以，解得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.故答案為：（三）向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．題型3：利用向量共線求參數(shù)3-1．（2024·江西上饒·一模）已知向量，，若三點(diǎn)共線，則.【答案】【分析】由三點(diǎn)共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】三點(diǎn)共線，與共線，，解得．故答案為：．3-2．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則.【答案】【分析】三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，利用向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】當(dāng)三點(diǎn)共線，即時，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.由已知得，，由得，，解得.故答案為：.3-3．（2024·湖南長沙·二模）已知向量，若B，C，D三點(diǎn)共線，則.【答案】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線得出向量共線，從而得到，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求的值.【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以，即，所以.故答案為：.3-4．（2024高三下·全國·開學(xué)考試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)a＝.【答案】【詳解】，由，得，解得.3-5．（2024高一下·山西運(yùn)城·期中）已知向量，若，則．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.3-6．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若與共線，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】求得的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列式即可求得答案.【詳解】由題意知向量，故，由于與共線，故，故答案為：3-7．（2024高三上·天津河北·期中）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.【答案】2【分析】由題意求得，根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，利用向量共線的條件可得的值，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由，，可得，由于，，三點(diǎn)共線，故共線，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，故答案為：2；題型4：利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)4-1．（2024高三上·福建廈門·開學(xué)考試）寫出一個與向量共線的向量.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)共線向量定理求解即可【詳解】與向量共線的向量為.取，可得出一個與向量共線的向量為（答案不唯一，滿足即可）.故答案為：（答案不唯一）4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，已知點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】將相交條件轉(zhuǎn)化為向量共線建立點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程組，求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，.設(shè)，則，而，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，所以，即.而，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，所以，即.由，得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.故答案為：.4-3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】解設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知得出，利用直線方程，解設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，得出答案即可.【詳解】由題知，，設(shè)，，，，，，，，，則直線方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，求解可得，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：4-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】(3,3)【分析】法一：利用向量的共線可設(shè)，表示出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線列出方程，即可求得答案；法二：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，進(jìn)而表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線，列出方程，求得答案.【詳解】法一:由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè),則,又，由共線，得，解得，所以,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),故答案為：法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則，因?yàn)椋遗c共線，所以，即x=y.又，，且共線，所以，解得x=y=3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)，故答案為：一、單選題1．（2024·北京）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B2．（2024高三上·天津武清·階段練習(xí)）在中，，E是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是（

）A．10 B．4 C．7 D．13【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故選：D.3．（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，設(shè)，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.【詳解】

設(shè)，則，，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，解得，所以，?故選：C.4．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，又，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所?故選：C5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；方法二：設(shè)是等腰直角三角形，且，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，從而得到方程組，求出答案.【詳解】方法一：如圖，由題意得，，故；方法二：不妨設(shè)是等腰直角三角形，且，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)，故，所以，解得，故．故選：C．6．（2024高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】計(jì)算，再計(jì)算模長即可.【詳解】由題意知，所以，故選：D．7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用坐標(biāo)法，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)利用坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理即得.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，，故，，.設(shè)，則，解得，所以.故選：B.8．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】若，則，即，故，充分性成立，不妨設(shè)，此時，但不滿足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A9．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標(biāo)，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．10．（2024高三上·四川·開學(xué)考試）設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面平行向量的坐標(biāo)表示求出的值，驗(yàn)證同向與反向即可.【詳解】，當(dāng)時，，同向；當(dāng)時，，反向.故選：A．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形中，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系后計(jì)算即可得.【詳解】作出圖形如圖所示.記線段交于點(diǎn)，分別以所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，故，，設(shè)，則，解得.故選：C.

12．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）如圖，在正八邊形中，，則（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解.【詳解】分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)正八邊形的邊長為1，可得，，，，所以，，.因?yàn)?，所以，所以，解得，則.故選：D.13．（2024·陜西西安·一模）已知向量，，若不超過3，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和幾何意義可得，解之即可求解.【詳解】由題意知，，所以，得，即，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B14．（2024高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，從而得解..【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所?故選：A.15．（湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榕c共線，則存在，使得，即，因?yàn)橄蛄俊⒉还簿€，則，整理可得，即，解得或.故選：C.16．（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量，，若向量與共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值，再由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求.【詳解】向量，，則，若向量與共線，有，解得，則，所以.故選：A.17．（2024·山東青島·一模）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，則“m＝－6”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由平面向量線性運(yùn)算及共線的的坐標(biāo)表示運(yùn)算可得解.【詳解】由題意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.當(dāng)m＝－6時，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，則“m＝－6”是“”的充要條件.故選：A.18．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可直接求得答案.【詳解】，由可得，，整理得．故選：D.19．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.【詳解】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．20．（2024高三上·北京朝陽·期末）在中，，當(dāng)時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】如下圖所示：在直線上取一點(diǎn)，使得，所以，當(dāng)時，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得為的中點(diǎn)，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.21．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.22．（湖南省益陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】將作為基底，根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件把用表示，從而可求出的值.【詳解】連接，由題可知，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故選：A.23．（2024·河南·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用表示即可得答案.【詳解】解：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以，，，所以，即，解得所以，的值為.故選：B24．（2024·全國）已知向量，則A． B．2C．5 D．50【答案】A【分析】本題先計(jì)算，再根據(jù)模的概念求出．【詳解】由已知，，所以，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模長的計(jì)算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．由于對平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計(jì)算有誤；也有可能在計(jì)算模的過程中出錯．25．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．11【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B26．（2024高二上·安徽·期中）如圖，在長方形中，，點(diǎn)P滿足，其中，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，從而求出，求出最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，故，，則，則，因?yàn)?，所以，，?故選：B27．（2024高三上·河南南陽·期末）下列向量中，與向量共線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共線向量定理的坐標(biāo)運(yùn)算得到，驗(yàn)證即可.【詳解】與向量共線的向量需滿足.故選：C28．（2024高三上·河北保定·期末）已知命題，，與共線，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合必要條件與充分條件的定義，可得答案.【詳解】充分性：由與共線，則，解得或0，p是q的不充分條件；必要性：當(dāng)，時，由，則與共線，p是q的必要條件.故選：B.29．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的向量關(guān)系式即可求解.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則，，即，則，解得.故選：C30．（2024·四川巴中·一模）已知向量，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】先求，然后向量共線的坐標(biāo)表示可得.【詳解】因?yàn)?，所以?又三點(diǎn)共線，所以向量與向量共線，所以，解得.故選：A31．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知和是兩個正交單位向量，，且，則（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，，求得，集合向量模的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)楹褪钦粏挝幌蛄浚?，，可得，所以，解得?故選：B．32．（2024高二上·江蘇南京·期末）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線定義求出，，再根據(jù)坐標(biāo)化即可求解.【詳解】解析：由題意知，，設(shè)，由拋物線定義可得，，，所以，因?yàn)椋?，則，所以．故選：C．33．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）已知，，是直線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)在外，若，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用平面向量基本定理解題即可.【詳解】由已知得，故，易知，，是直線上不同的三點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線，必有，解得，故選：A34．（2024高一下·江西九江·期末）已知向量．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到與不共線，從而列出不等式，求出答案.【詳解】若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線，∵，，，∴，，∴，解得.故選：B．35．（2024高三上·北京大興·期末）設(shè)向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘公式和模的公式代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D36．（2024高三上·山東威?！て谀┮阎蛄?，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示求出，再應(yīng)用模長公式求解即可.【詳解】向量，，，.故選：B.37．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合二倍角的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，所以，得，所以.故選：A.38．（2024高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得參數(shù)，再結(jié)合向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算求模長即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，解得或；當(dāng)時，與共線同向，故舍去；當(dāng)時，，，.故選：C.39．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知向量，若與共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．2 B．4 C． D．或4【答案】C【分析】通過向量共線且同向，即可求出實(shí)數(shù)的值并檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)?，，且與共線且同向，所以，解得或，當(dāng)時，，則，滿足題意；當(dāng)時，，則，不滿足題意；綜上，.故選：C．40．（2024高一上·遼寧沈陽·期末）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷兩個向量是否共線即可確定兩個向量是否能作為一組基底.【詳解】對于A，假設(shè)共線，則存在，使得，因?yàn)椴还簿€，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對于B，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對于C，因?yàn)椋詢上蛄抗簿€，不能作為一組基底，C錯誤；對于D，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，故選:C.41．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理得到，，從而列出方程組，求出，得到，求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，三點(diǎn)共線，故可設(shè)，即，整理得，因?yàn)椋?，即，三點(diǎn)共線，可得，所以，解得，可得，則，.故選：B42．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點(diǎn)Q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)條件運(yùn)用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理，將由，線性表示，再由Q，M，A三點(diǎn)共線得到關(guān)于，的關(guān)系式，從而確定正確選項(xiàng)．【詳解】由題意得，因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，所以，化簡整理得．故選：C．43．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，利用基底向量表示即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，所以.即.故選：C.44．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象及其性質(zhì)，即可得出，，進(jìn)而根據(jù)，即可求出的值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，又，所以，，所以．故選：A．45．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取為平面的基底，根據(jù)給定條件，結(jié)合平面向量基本定理求出作答.【詳解】在中，取為平面的基底，由，得，由，得，由，知，由，得，因此，則，解得，所以.故選：C46．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，,，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，利用表示，根據(jù)即可求解.【詳解】在梯形中，，且，則，因?yàn)樵诰€段上，且，則，，所以.故選:D.47．（2024·安徽·二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定，，相加整理得到答案.【詳解】，則①；，則②；①②兩式相加，，即，故選：C.48．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到為的中點(diǎn)，化簡得到，得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃校c相交于點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，由，可得為的中點(diǎn)，所以，可得，又由，所以，所以.故選：B．49．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若實(shí)數(shù)k與向量滿足，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，先求出的坐標(biāo)，利用建立方程組，找出的關(guān)系來判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)橄蛄?，所以，又，所以，時不成立，所以，所以，選項(xiàng)A，不滿足，選項(xiàng)B，不滿足，選項(xiàng)C，不滿足，選項(xiàng)D，滿足，故選：D.50．（2024·河北·模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點(diǎn)M滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法列關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨令，則，,由，可得，解之得故選：B51．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過點(diǎn)A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則,故,則由可得，即，故，故選：A52．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知，且三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得,因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得.所以.故選：A.二、多選題53．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）已知向量，則（

）A． B．C．可以作為平面向量的一個基底 D．【答案】BC【分析】根據(jù)向量的模公式計(jì)算可判斷A；由向量坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C；先求坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，，即，A錯誤；選項(xiàng)B，，B正確；選項(xiàng)C，，即不共線，即可以作為平面向量的一個基底，C正確；選項(xiàng)D，，由，即與不共線，D錯誤．故選：BC54．（2024高一下·福建福州·期中）已知向量不共線，且，其中，若三點(diǎn)共線，則角的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】三點(diǎn)共線即向量共線，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得值再判斷．【詳解】三點(diǎn)共線，即共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，又不共線，所以，，又，所以或．故選：CD．55．（2024高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量是線段的三等分點(diǎn)，則的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，注意三等分點(diǎn)有兩種可能.【詳解】因?yàn)?，，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，所以或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.56．（2024高三上·山東青島·期末）已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則（

）A． B．C．的坐標(biāo)為 D．的坐標(biāo)為【答案】ACD【分析】由題意表示出，結(jié)合題設(shè)可求得，即得，，判斷；根據(jù)題中定義求得坐標(biāo)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，判斷D；再求得，求得其模，判斷A.【詳解】由題意可知點(diǎn)，點(diǎn)，故，因?yàn)?，故，又，即，故，所以，，故B錯誤，C正確；因?yàn)辄c(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，所以，則由,可得點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；故，則，A正確，故選：ACD57．（2024·江蘇·一模）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以表示出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進(jìn)而可以判斷.【詳解】設(shè)，，，，，，對于A，，故選項(xiàng)A正確；對于B，，，故選項(xiàng)B正確；對于C，，當(dāng)時，，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯誤.故選:AB.三、填空題58．（2024高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知平面向量滿足：，，，設(shè)向量（為實(shí)數(shù)），則的取值范圍為．【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，為線段上一點(diǎn)，則，得到點(diǎn)在以為圓心的圓上，所以，得到，根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長為2的正方形的，所在直線為軸和軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，為線段上一點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以以為圓心，為半徑畫圓，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，設(shè)，，，所以，所以，，所以，所以，可得直線表示斜率為，縱截距為的直線，當(dāng)圓心為點(diǎn)時，與相切且點(diǎn)在軸的下方時，可得圓的方程為，可得切線坐標(biāo)為，此時，取得最小值；當(dāng)圓心為點(diǎn)時，經(jīng)過圓心時，圓的方程為，當(dāng)點(diǎn)時，此時，取得最大值，所以的取值范圍為．故答案為：．

59．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，,又，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，即，解得，,因?yàn)椋瑒t，所以當(dāng)時，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.60．（2024高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，向量與的夾角為，向量與的夾角為，，，若，（，），則．

【答案】/【分析】建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)定義，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，垂直于OB且向上的方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，，于是，，且，．由，得，∴解得∴．故答案為：.

61．（2024高三上·湖南永州·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則．【答案】1【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合模長的坐標(biāo)公式求解.【詳解】由題意可得：，因?yàn)?，則，解得.故答案為：1.62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則.

【答案】4【分析】首先以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個小正方形的邊長為1，再利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形的邊長為1)，

則，所以.因?yàn)椋?所以.所以.故答案為：463．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，且，則的最大值為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理，得，又，代入，有，所以，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，得，所以.即的最大值為.故答案為：64．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若向量與平行，則．【答案】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行求解即可.【詳解】由題意可知，，又與平行，所以，解得.故答案為：.65．（2024·廣西南寧·一模）已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)形式得到方程，解出即可.【詳解】因?yàn)?，所?又，所以，解得.故答案為：.66．（2024·全國）已知向量，，．若，則．【答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得,即故答案為【點(diǎn)睛】本