2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題10 空間向量與立體幾何（真題12個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）原卷版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題10空間向量與立體幾何（真題12個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考17題2024年春考10、14、18題棱錐的體積、直線與平面所成的角異面直線及其所成的角，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面之間的位置關(guān)系、空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角的平面角及求法、直線與平面垂直2023秋考12、17題2023春考15、17題棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角的平面角及求法、直線與平面平行異面直線的判定，直線與平面所成的角、點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算2022秋考5、15、17題2022春考15、17題圓柱的側(cè)面積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積、直線與平面所成的角空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角2021年秋考9、17題2021年春考3、17題空間中的最值問題，直線與平面所成的角、三棱錐的體積圓錐的側(cè)面積，直線與平面所成的角、棱錐的體積2020年秋考15、17題2020年春考6、21題空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角、圓柱的表面積幾何體的體積，空間點(diǎn)線面的距離的求法一．棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）1．（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)、、，且，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)，（不考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與、、恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有種．二．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共3小題）2．（2024?上海）如圖為正四棱錐，為底面的中心．（1）若，，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若，為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?．（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊，為邊中點(diǎn)，且底面，．（1）求三棱錐體積；（2）若為中點(diǎn)，求與面所成角大?。?．（2020?上海）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．三．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積（共3小題）5．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．6．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為．7．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積的取值范圍為．四．異面直線及其所成的角（共1小題）8．（2024?上海）已知四棱柱底面為平行四邊形，，且，求異面直線與的夾角．五．異面直線的判定（共1小題）9．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是A． B． C． D．六．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共3小題）10．（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為A．0 B．2 C．4 D．1211．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點(diǎn)，連接，．空間任意兩點(diǎn)、，若線段上不存在點(diǎn)在線段、上，則稱兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)12．（2020?上海）在棱長為10的正方體中，為左側(cè)面上一點(diǎn)，已知點(diǎn)到的距離為3，到的距離為2，則過點(diǎn)且與平行的直線交正方體于、兩點(diǎn)，則點(diǎn)所在的平面是A． B． C． D．七．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）13．（2024?上海）空間中有兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說法中正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則八．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示（共1小題）14．（2024?上海）定義一個(gè)集合，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，，，存在不全為0的實(shí)數(shù)，，，使得．已知，0，，則，0，的充分條件是A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，九．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共1小題）15．（2023?上海）已知、、為空間中三組單位向量，且、，與夾角為，點(diǎn)為空間任意一點(diǎn)，且，滿足，則最大值為．一十．直線與平面所成的角（共4小題）16．（2022?上海）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．（1）若，為的中點(diǎn)，求直線與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．17．（2021?上海）四棱錐，底面為正方形，邊長為4，為中點(diǎn)，平面．（1）若為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為，求與所成角的大?。?8．（2021?上海）如圖，在長方體中，已知，．（1）若是棱上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2）求直線與平面的夾角大小．19．（2020?上海）已知是邊長為1的正方形，正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱．（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面所成的角．一十一．二面角的平面角及求法（共2小題）20．（2024?上海）如圖，、、為圓錐三條母線，．（1）證明：；（2）若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大?。?1．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）證明：直線平面；（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大?。皇c(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算（共1小題）22．（2023?上海）已知三棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作平行于平面的直線交、于點(diǎn)，．（1）求直線與平面所成角的大小；（2）證明：平面平面，并求直線到平面的距離．一．選擇題（共16小題）1．（2024?普陀區(qū)模擬）若一個(gè)圓錐的體積為，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的頂角為，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．2．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）在空間中，“、為異面直線”是“、不相交”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．（2024?寶山區(qū)二模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是A．若，，，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，則4．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四面體中，，，．點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．5．（2024?長寧區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則A．，且直線、是異面直線 B．，且直線、是異面直線 C．，且直線、是相交直線 D．，且直線、是相交直線6．（2024?靜安區(qū)二模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是A．若，，則 B．若，，，則 C．若，，則 D．若，，，，則7．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）空間向量在上的投影向量為A． B． C． D．8．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在線段上，若，則長度的最小值為A． B． C． D．9．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是A． B． C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為10．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長度為A． B． C． D．11．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，，，是空間中給定的個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B． C．無窮多個(gè) D．前面的說法都有可能12．（2024?浦東新區(qū)三模）邊長都是為1的正方形和正方形所在的兩個(gè)半平面所成的二面角為，、分別是對角線、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是A． B． C． D．13．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）空間和兩條異面直線同時(shí)都垂直且相交的直線A．不一定存在 B．有且只有1條 C．有1條或不存在 D．有無數(shù)條14．（2024?金山區(qū)二模）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則以下命題中正確的是A． B． C．、、三點(diǎn)共線 D．直線與相交15．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知正方體和點(diǎn)，有兩個(gè)命題：命題甲：存在條過點(diǎn)的直線，滿足與正方體的每條棱所成角都相等；命題乙：存在個(gè)過點(diǎn)的平面，滿足與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等；則下列判斷正確的是A． B． C． D．、的大小關(guān)系與點(diǎn)的位置有關(guān)16．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大二．填空題（共20小題）17．（2024?黃浦區(qū)二模）若一個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長為3，則此圓柱的側(cè)面積為．18．（2024?嘉定區(qū)二模）已知圓錐的母線長為2，高為1，則其體積為．19．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）半徑為2的球的體積為．20．（2024?楊浦區(qū)二模）正方體中，異面直線與所成角的大小為．21．（2024?虹口區(qū)二模）已知某球體的表面積為，則該球體的體積是．22．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知空間向量，，共面，則實(shí)數(shù)．23．（2024?崇明區(qū)二模）已知向量，，，，1，，若，則．24．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖是三角形用斜二測畫法得到的水平直觀圖三角形，其中軸，軸，若三角形的面積是6，則三角形的面積是．25．（2024?崇明區(qū)二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線．若直線與所成角的大小為，則．26．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體的棱長為4，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，則過、、確定的平面被正方體所截的截面面積為．27．（2024?浦東新區(qū)二模）如圖，有一底面半徑為1，高為3的圓柱．光源點(diǎn)沿著上底面圓周做勻速運(yùn)動(dòng)，射出的光線始終經(jīng)過圓柱軸截面的中心．當(dāng)光源點(diǎn)沿著上底面圓周運(yùn)動(dòng)半周時(shí)，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積為．28．（2024?青浦區(qū)二模）如圖，在棱長為1的正方體中，、、在棱、、上，且，以為底面作一個(gè)三棱柱，使點(diǎn)，，分別在平面、、上，則這個(gè)三棱柱的側(cè)棱長為．29．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）半徑為的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高，球缺的體積公式為．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個(gè)小球，使其與圓錐側(cè)面和底面都相切，過小球與圓錐側(cè)面的切點(diǎn)所在的平面將小球分成兩部分，則較小部分的球缺的體積與球的體積之比為．30．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）正四面體的棱長為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．31．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知正四面體的邊長為1，是空間一點(diǎn)，若，則的最小值為．32．（2024?虹口區(qū)二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且．若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則線段，的長度和的最小值為．33．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為，，，是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點(diǎn)，則．34．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．35．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）正方體的棱長為2，為該正方體側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若，分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為．36．（2024?奉賢區(qū)三模）已知正方體的棱長為3，，，，為正方形邊上的個(gè)兩兩不同的點(diǎn)．若對任意的點(diǎn)，存在點(diǎn)，，2，，，．使得直線與平面以及平面所成角大小均為，則正整數(shù)的最大值為．三．解答題（共24小題）37．（2024?松江區(qū)二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn)．（1）設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；（2）若，，，求直線與平面所成角的大?。?8．（2024?虹口區(qū)二模）如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）若平面，點(diǎn)在棱上，且平面，求直線與平面所成角的正弦值．39．（2024?長寧區(qū)二模）如圖，在長方體中，，．（1）求二面角的大??；（2）若點(diǎn)在直線上，求證：直線平面．40．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，平面．（1）求證：點(diǎn)是棱的中點(diǎn)；（2）若平面，，，與平面所成角的正切值為，求二面角的大?。?1．（2024?金山區(qū)二模）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，異面直線與所成的角是．（1）求證：；（2）若，，求二面角的大?。?2．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．43．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線，點(diǎn)在底面的圓周上，且，是垂足．（1）求證：；（2）若圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成角的大小．44．（2024?普陀區(qū)模擬）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大?。?5．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在圓錐中，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，是圓錐母線的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）設(shè)線段與交于點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．46．（2024?奉賢區(qū)三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，平面，．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求與平面所成的角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）47．（2024?徐匯區(qū)模擬）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，為圓的直徑，且，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．48．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是棱的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值．49．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）四棱錐中，平面，底面是正方形，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正弦值．50．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面的夾角的余弦值．51．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）如圖，在多面體中，已知四邊形是菱形，，平面，平面，．（1）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，確定點(diǎn)