第3講組合及組合數(shù)5種題型總結(jié)（原卷版）

第3講組合及組合數(shù)5種題型總結(jié)【考點分析】考點一：組合及組合數(shù)的概念①組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．②組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示．考點二：組合數(shù)公式及其性質(zhì)公式：性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：規(guī)定：【題型目錄】題型一：組合的概念題型二：組合數(shù)的計算題型三：解組合數(shù)方程和不等式題型四：組合數(shù)的性質(zhì)及恒等式題型五：組合的簡單應(yīng)用【典型例題】題型一：組合的概念【例1】（多選題）下面問題中，是組合問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合【例2】下列問題中，組合問題的個數(shù)是（

）①從全班50人中選出5人組成班委會；②從全班50人中選出5人分別擔(dān)任班長、副班長、團支部書記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；③從1，2，3，…，9中任取出兩個數(shù)求積；④從1，2，3，…，9中任取出兩個數(shù)求差或商.A．1 B．2 C．3 D．4【例3】（多選題）給出下列問題，屬于組合問題的有（

）A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法B．有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法C．某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種D．從2，3，5，7，11中任選兩個數(shù)相乘，可以得到多少個不同的積【題型專練】1．以下四個問題，屬于組合問題的是（

）A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地2．（多選題）下列問題中，屬于組合問題的是（

）A．10支戰(zhàn)隊以單循環(huán)進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少次比賽B．10支戰(zhàn)隊以單循環(huán)進行比賽，這次比賽的冠、亞軍獲得者有多少種可能C．從10名員工中選出3名參加同一種的娛樂活動，有多少種選派方法D．從10名員工中選出3名分別參加不同的娛樂活動，有多少種選派方法3．（多選題）下列問題中是組合問題的有（

）.A．某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票B．從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)C．3個人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法D．把3本相同的書分給5個學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法4．（多選題）給出下列問題，其中是組合問題的是（

）A．由1，2，3，4構(gòu)成的含3個元素的集合B．從7名班委中選2人擔(dān)任班長和團支書C．從數(shù)學(xué)組的10名教師中選3人去參加市里新課程研討會D．由1，2，3，4組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)題型二：組合數(shù)的計算【例1】（

）A． B． C． D．【例2】已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯誤的是（

）A．； B．； C．； D．【例3】________．【例4】設(shè)n為正整數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（

）A．該代數(shù)式的值唯一確定 B．該代數(shù)式的值有兩種情況C．該代數(shù)式的值有三種情況 D．該代數(shù)式的值有無數(shù)種情況【題型專練】1．求值：_______．2.___．（用數(shù)字作答）3．（

）A． B． C． D．題型三：解組合數(shù)方程和不等式【例1】已知，則_______．【例2】若，則x的值為_______【例3】若，則正整數(shù)___________.【例4】已知則x＝______.【題型專練】1．已知，，成等差數(shù)列，則＝________.2．已知，則的值是（

）A．9 B．7 C．9或 D．83．（1）若，則的取值集合是___________.（2）___________.題型四：組合數(shù)的性質(zhì)及恒等式【例1】已知，則方程的解是___________．【例2】已知，則________．【例3】下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．【例4】（多選題）對于，，，關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【例5】（多選）（

）A． B． C． D．【例6】計算：______．【題型專練】1.已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或52．已知，則__________________.3．（多選題）下列四個關(guān)系式中，一定成立的是（

）A． B．C．D．4．（多選題）下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)計算正確的有（

）A．B．從中任取兩個數(shù)相乘可得個積C．D．5．（多選題）對且，下列等式一定恒成立的是（

）.A． B．C． D．6．（多選題）下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)的計算，正確的是（

）A． B．C． D．是一個常數(shù)7．計算：________．題型五：組合的簡單應(yīng)用【例1】如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．20條 B．21條 C．22條 D．23條【例2】綠水青山就是金山銀山，浙江省對“五水共治”工作落實很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個省市宣傳，每個省市至少一個志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【例3】新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（

）A．14種 B．15種 C．16種 D．17種【例4】8名醫(yī)生去甲、乙、丙三個單位做核酸檢測，甲、乙兩個單位各需三名醫(yī)生，丙需兩名醫(yī)生，其中醫(yī)生a不能去甲醫(yī)院，則不同的選派方式共有（

）A．280種 B．350種 C．70種 D．80種【例5】平面上，四條平行直線與另外五條平行直線互相垂直，則它的矩形共有_____個（結(jié)果用數(shù)值表示）．【例6】將某商場某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個的長方體框架（如圖），小紅欲從A處行走至B處，則小紅行走路程最近的路線共有_________．（結(jié)果用數(shù)字作答）【例7】我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)【例8】2022年4月，新型冠狀病毒疫情牽動著全國人民的心，某市根據(jù)上級要求，在本市某人民醫(yī)院要選出護理外科、心理治療方面的專家4人與省專家組一起趕赴上海參加救助工作，該醫(yī)院現(xiàn)有3名護理專家，，，5名外科專家，，，，，2名心理治療專家，.(1)求4人中有1位外科專家，1位心理治療師的選法有多少種?(2)求至少含有2位外科專家，且外科專家和護理專家不能同時被選的選法有多少種?【題型專練】1．教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市4所高校的校長計劃拜訪當(dāng)?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．8種 B．10種 C．14種 D．20種2．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．143．北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．144．（多選題）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為205．從1，2，…，10這十個數(shù)中取出四個數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有______種取法（用數(shù)字作答）．6．8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有_________場比賽．7．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______8．從4男2女共6名學(xué)生中選出1人吃原味薯片，2人吃黃瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________種選法；如果男生不吃原味薯片，共有________