綜合測(cè)試卷（B能力提升）

絕密★啟用前|滿分?jǐn)?shù)學(xué)命制中心綜合測(cè)試卷（B能力提升）高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：人教必修二2019。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子分母同時(shí)乘以.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A.2．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形．已知點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，即直觀圖中平行于軸的長(zhǎng)度不變，平行于軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)以及圖形，可知角形為直角三角形，，，，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈妊苯侨切吻?，所以，，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，，且三角形為直角三角形，，所以三角形ABC的面積為．故選：B.3．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不重合的直線m、n、l和平面，下列命題中真命題是（

）A．如果l不平行于，則內(nèi)的所有直線均與l異面B．如果，，m、n是異面直線，那么n與相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果l上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系并結(jié)合圖形即可判斷答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)l與相交時(shí)，在平面內(nèi)且過(guò)交點(diǎn)的直線與l都是共面的，故A錯(cuò)；對(duì)于B，如圖1，可能是，故B錯(cuò)；對(duì)于C，這是線面平行的性質(zhì)定理的等價(jià)說(shuō)法，故C正確；對(duì)于D，如圖2，由于直線l與相交時(shí)，也可以有兩點(diǎn)到的距離相等，故D錯(cuò)．故選：C.4．（2022·江蘇省姜堰第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】取，作為基底，把用基底表示出來(lái)，利用向量的減法即可表示出.【詳解】取，作為基底，則.因?yàn)?，所以，所?故選：D.5．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高一階段練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，，所以，所以.故選：A6．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EFAB，EF=，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積是（

）A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、、、、，根據(jù)，結(jié)合棱錐的體積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、、、、，因?yàn)椋?，所以為三棱柱，，，該多面體的體積是.故選：C7．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高一階段練習(xí)）在“世界杯”足球賽閉幕后，某中學(xué)學(xué)生會(huì)對(duì)本校高一年級(jí)1000名學(xué)生收看比賽的情況用隨機(jī)抽樣方式進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為50，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如表：觀看場(chǎng)數(shù)01234567觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%從表中可以得出正確的結(jié)論為（

）A．表中m的數(shù)值為8B．估計(jì)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人C．估計(jì)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為720人D．估計(jì)觀看比賽場(chǎng)數(shù)的眾數(shù)為2【答案】B【解析】【分析】由頻率分布表的性質(zhì)，求出m＝12,否定A;先由頻率分布表求出觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率為36%，由此估計(jì)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人；出現(xiàn)頻率最高的為3．即可作出選擇.【詳解】由頻率分布表的性質(zhì)，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A錯(cuò)誤；∵觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率為：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估計(jì)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為：1000×36%＝360人，故B正確，C錯(cuò)誤；出現(xiàn)頻率最高的為3．故D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表以及利用頻率分布表估計(jì)人數(shù)與眾數(shù)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.8．（2022·浙江·湖州中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，m，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（

）A．30m B．mC．m D．m【答案】D【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出BC長(zhǎng)，再在中即可作答.【詳解】在中，依題意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在中，，從而得，所以塔高m.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）9．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）以下命題正確的是（

）A．B．C．若復(fù)數(shù)z滿足，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn)．是復(fù)數(shù)（、）為純虛數(shù)的必要不充分條件【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由于兩個(gè)虛數(shù)不能比較大，從而可判斷，對(duì)于B，直接計(jì)算判斷，對(duì)于C，先求出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后再判斷其所在的象限，對(duì)于D，利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的概念判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)虛數(shù)不能比較大，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不一定是純虛數(shù)，而當(dāng)是純虛數(shù)時(shí)，一定成立，所以是復(fù)數(shù)（、）為純虛數(shù)的必要不充分條件，所以D正確，故選：BD10．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論為A．直線與是相交直線； B．直線與是平行直線；C．直線與是異面直線： D．直線與所成的角為.【答案】CD【解析】根據(jù)圖形及異面直線的定義，異面直線所成的角判斷即可.【詳解】結(jié)合圖形，顯然直線與是異面直線，直線與是異面直線，直線與是異面直線，直線與所成的角即直線與所成的角,在等邊中，所以直線與所成的角為,綜上正確的結(jié)論為CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線，異面直線所成的角，屬于中檔題.11．（2022·江蘇省姜堰第二中學(xué)高一階段練習(xí)）某中學(xué)高一年級(jí)有20個(gè)班，每班50人；高二年級(jí)有30個(gè)班，每班45人；高三年級(jí)有13個(gè)班，每班50人.甲同學(xué)就讀于高一，乙同學(xué)就讀于高二．學(xué)校計(jì)劃從這三個(gè)年級(jí)中共抽取300人進(jìn)行視力調(diào)查，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．應(yīng)該采用分層隨機(jī)抽樣法B．高一、高二、高三年級(jí)應(yīng)分別抽取100人、135人和65人C．乙同學(xué)被抽到的可能性比甲同學(xué)大D．該問(wèn)題中的總體是高一、高二、高三年級(jí)的全體學(xué)生的視力【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)年齡段應(yīng)采用分層抽樣可判斷A，由分層抽樣可判斷B，由抽樣的等可能性判斷C,根據(jù)總體的概念判斷D.【詳解】由于各年級(jí)的年齡段不一樣，因此應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣法．由于比例為，因此高一年級(jí)1000人中應(yīng)抽取100人，高二年級(jí)1350人中應(yīng)抽取135人，高三65人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正確．故選：ABD12．（2021·湖南師大附中高一期末）中興?華為事件暴露了我國(guó)計(jì)算機(jī)行業(yè)中芯片?軟件兩大短板，為防止“卡脖子”事件的再發(fā)生，科技專業(yè)人才就成了決勝的關(guān)鍵．為了解我國(guó)在芯片?軟件方面的潛力，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)我國(guó)若干大型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到了這兩個(gè)行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個(gè)行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，"90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過(guò)60%B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的"90后”人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的25%C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場(chǎng)崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的雷達(dá)圖和餅形圖，整合數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)判斷計(jì)算作答.【詳解】對(duì)于A，由餅形圖知，芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，"90后”占總?cè)藬?shù)的比例為55%，沒(méi)超過(guò)60%，A不正確；對(duì)于B，由雷達(dá)圖和餅形圖知，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的"90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，B正確；對(duì)于C，芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”占總?cè)藬?shù)的，而“80后”占總?cè)藬?shù)的40%，從事技術(shù)崗位的人數(shù)比例不知，無(wú)法確定兩者間的大小關(guān)系，C不正確；對(duì)于D，芯片、軟件行業(yè)中，從事市場(chǎng)崗位的“90后”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，而“80前”總數(shù)占總?cè)藬?shù)的5%，D正確.故選：BD第Ⅱ卷填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)椋杂煽傻?，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．14．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），若平面AEF，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是_________.【答案】【解析】分別取棱的中點(diǎn)，通過(guò)證明平面可得必在線段上，進(jìn)而可求得長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)，連接，連接，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因?yàn)槭莻?cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則必在線段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以為等腰三角形，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最短，位于處時(shí)最長(zhǎng)，，，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的存在性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是取棱的中點(diǎn)，得出點(diǎn)必在線段上，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在中.15．（2021·湖南師大附中高一期末）湖南某校高二年級(jí)為考查一次數(shù)學(xué)大練習(xí)成績(jī)，按首選科目（物理或歷史）進(jìn)行分層抽樣得到一個(gè)樣本，樣本中選物理類學(xué)生占，該次大練習(xí)數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?24分，選歷史類學(xué)生該次大練習(xí)數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?00分，則可估計(jì)出該校全體高二學(xué)生本次數(shù)學(xué)大練習(xí)的平均分是__________．【答案】118【解析】【分析】利用平均分的定義分別求出選物理類學(xué)生、選歷史類學(xué)生的數(shù)學(xué)總分，再計(jì)算全年級(jí)平均分作答.【詳解】令該校全體高二學(xué)生人數(shù)為，依題意，選物理類學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)考試總分為：，選歷史類學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)考試總分為：，所以估計(jì)該校全體高二學(xué)生本次數(shù)學(xué)大練習(xí)的平均分是.故答案為：11816．（2021·湖南師大附中高一期末）已知是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，對(duì)下列命題：①若，則．②若，則且．③若，則．④若，則．其中正確的命題是__________．（填序號(hào)）．【答案】④【解析】【分析】由給定條件，舉例說(shuō)明判斷命題①②③，利用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定、面面垂直的判定推理判斷④作答.【詳解】如圖，長(zhǎng)方體中，平面為平面，對(duì)于①，直線，直線分別為直線，滿足，而與相交，①不正確；對(duì)于②，令平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，而，②不正確；對(duì)于③，令平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，而與是異面直線，③不正確；對(duì)于④，因，則過(guò)直線作平面，令，如圖，于是得，而，則有，所以，④正確.故答案為：④四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，若；（1）求；（2）求實(shí)數(shù)的值；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則可得.（2）化簡(jiǎn)原來(lái)的復(fù)數(shù)方程可得，利用復(fù)數(shù)相等的條件可得.【詳解】(1)，故.(2)把代入，即，整理得到，因?yàn)椋裕獾?，故?shí)數(shù)的值分別為.18．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，，，，.(1)求證：PD⊥平面PBC；(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面．（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連結(jié)，則與平面所成的角等于與平面所成的角，由平面，得到為直線和平面所成的角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．(1)證明：（1）因?yàn)槠矫?，直線平面，所以．又因?yàn)?，所以，又，而平面PBC,所以平面．(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連結(jié)，則與平面所成的角等于與平面所成的角．因?yàn)槠矫妫蕿樵谄矫嫔系纳溆?，所以為直線和平面所成的角．由于，，故四邊形ADFB是平行四邊形，故，故得,又AD⊥平面PDC，故，故，故,在中，,可得,所以直線與平面所成角的正弦值為．19．（2021·湖南師大附中高一期末）某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語(yǔ)文成績(jī)，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語(yǔ)文成績(jī)作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中的值；(2)請(qǐng)估計(jì)本次聯(lián)考該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；(3)樣本內(nèi)語(yǔ)文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕剩敬鸢浮?1)0.01；(2)中位數(shù)是，平均數(shù)是；(3).【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖直接列式計(jì)算作答.（2）利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)的方法列式計(jì)算作答.（3）求出分?jǐn)?shù)在的人數(shù)，再用列舉法結(jié)合古典概率公式計(jì)算作答.(1)由頻率分布直方圖得：.(2)由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間、的頻率分別為0.34，0.62，因此，該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)，則，解得，語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)為，所以該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)是，語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)是.(3)由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)分別有8人和2人，因此抽取的5人中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)有人，在內(nèi)有1人，記內(nèi)的4人為a，b，c，d，在內(nèi)的1人為F，從5人中任取2人的結(jié)果有：，共10個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，選出的2人中恰有一人成績(jī)?cè)谥械慕Y(jié)果是：，所以選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕适?20．（2021·湖南師大附中高一期末）已知正三棱柱中，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）利用線面角的定義可求得的長(zhǎng)，分析可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，可得出，結(jié)合錐體的體積公式可求得結(jié)果.(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，故平面.(2)解：因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，平面，平面，，則，所以，，平面，，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則.21．（2021·湖南師大附中高一期末）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試．在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)（這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需要重新報(bào)名），其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過(guò)幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，