《含期末15套》東北師范大學(xué)某中學(xué)2019-2020學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末模擬試卷含解析

東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

一、選擇題：（本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）

1,已知函數(shù)/（x）=x+xlnx,若kwZ,且然x—2）</（x）對(duì)任意的x>2恒成立，貝必的最大值為

A.3B.4C.5D.6

2.如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個(gè)水果，且從這周的第二天開(kāi)始，每天所吃水果的個(gè)

數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個(gè)”或“持平”或“少一個(gè)”，那么，小明在這一周中每天所吃水

果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有（）

A.50種B.51種C.140種D.141種

3.一個(gè)停車(chē)場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車(chē)位，現(xiàn)有2輛不同的車(chē)停進(jìn)這個(gè)停車(chē)場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的

停車(chē)位空著，則不同的停車(chē)方法共有

A.6種B.12種C.36種D.72種

n3

4.一于5>sinor=-5,貝！|cos（-a）的值為（）

4433

A.---B.-C.一D.--

5555

i7

5.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X-N(l(),cr”P(pán)(X>12)=m,P(8WX<1())=〃，則上+±的最小

mn

值為（）

A.3+40B.6+2&C.3+2后D.6+4夜

6.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)111名性別不同的中學(xué)生是否愛(ài)好運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男女總計(jì)

愛(ài)好412131

不愛(ài)好212151

總計(jì)3151111

n(ad-心得_"OxaOxJO-ZOxZOy?&

(a+b\c+d\a+c\b+d)60x50x60x50

>左）1.1511.Ill1.Ill

k2.8413.32511.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1.111的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)LH的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1.111的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

7.某班級(jí)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)以及參與獎(jiǎng)，且獎(jiǎng)品的單價(jià)分別

為：一等獎(jiǎng)20元、二等獎(jiǎng)10元、三等獎(jiǎng)5元、參與獎(jiǎng)2元，獲獎(jiǎng)人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說(shuō)法

正確的是（）

A.參與獎(jiǎng)總費(fèi)用最高B.三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用是二等獎(jiǎng)總費(fèi)用的2倍

C.購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的平均數(shù)為9.25元D,購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元

8.如果根據(jù)是否愛(ài)吃零食與性別的列聯(lián)表得到K?=5.852,所以判斷是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)，那么這

種判斷犯錯(cuò)的可能性不超過(guò)（）

注：

1

p(K>90.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

A.2.5%B.0.5%C.1%D.0.1%

9.甲、乙兩支女子曲棍球隊(duì)在去年的國(guó)際聯(lián)賽中，甲隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2,全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)

準(zhǔn)差為3；乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8,全年比賽進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①甲隊(duì)的進(jìn)球技術(shù)比乙隊(duì)好；②乙隊(duì)發(fā)揮比甲隊(duì)穩(wěn)定；

③乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球；④甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞.

A.1B.2C.3D.4

10.已知復(fù)數(shù)1z是共扼復(fù)數(shù)，若萬(wàn)。=1—3其中i為虛數(shù)單位，則同=（）

15

A.-B.\C.V2D.2

22

11.已知圓。：/+丁2-2%=0,在圓。中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于1的概率為（）

21|

A.—B.-C.—D.以上都不對(duì)

）42

12.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線(xiàn)°為正態(tài)分布YLLL的密度曲線(xiàn)）

的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）

附：若丫~貝DQ-a<X<n+a）=0.6826,P（ji-2a<X<n+2a）=0.9541

1

A.1193B.1359C.2718D.3413

二、填空題：（本題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）

13.已知隨機(jī)變量4?N（（）,，），若尸（一1＜《＜0）=0.3,則。值＜1）=.

Ixlx＜m

14.已知函數(shù)/1（無(wú)）={丁一其中帆＞0,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f（x）=b

x-2mx+4m,x＞m

有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

15.將一顆骰子拋擲兩次，用機(jī)表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則〃壯10的概率為.

x-l+2t

16.將參數(shù)方程三，（tcR，t為參數(shù)）化為普通方程____________.

y=2-「

三、解答題：（本題共6個(gè)小題，共74分）

17.（本題共12分）

如圖，在三棱錐P—ABC中，兩兩垂直，PA=A6=AC=3,且。為線(xiàn)段BC的中點(diǎn).

（1）證明：8C_L平面PAO；

（2）若==求平面P4B與平面尸OE所成角的正弦值.

2

18.（本題共12分）

v2

已知點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)C:尤2一2_=1上的點(diǎn).

4

（1）記雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳F2,若居,求點(diǎn)P到x軸的距離；

（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,2）,。是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記;l=求2的取值范圍.

19.（本題共12分）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成48兩組，每組

100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾

濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到

如下直方圖：

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.7().

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

20.(本題共12分)

為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，

其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.

(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)

生的概率；

(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(本題共12分)

已知函數(shù),f(x)=g|x-a|(aeR).

(1)當(dāng)。=2時(shí)，解不等式x-g+/(x)21；

(2)設(shè)不等式卜一j+的解集為何，若求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

22.(本題共14分)

某市要對(duì)該市六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體育素質(zhì)調(diào)查測(cè)試，現(xiàn)讓學(xué)生從“跳繩、短跑400米、長(zhǎng)跑1000米、仰臥

起坐、游泳100米、立定跳遠(yuǎn)”6項(xiàng)中選擇3項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，其中“短跑、長(zhǎng)跑、仰臥起坐”3項(xiàng)中至少選

擇其中1項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試.現(xiàn)從該市六年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選擇的項(xiàng)目中包含“短

跑、長(zhǎng)跑、仰臥起坐”的項(xiàng)目個(gè)數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：(其中x<)‘)

選擇的項(xiàng)目中包含“短跑、長(zhǎng)跑、

123

仰臥起坐”的項(xiàng)目個(gè)數(shù)

人數(shù)5Xy

已知從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名'他們選擇“短跑、長(zhǎng)跑、仰臥起坐”的項(xiàng)目個(gè)數(shù)不相等概率為石'

記&為這2名學(xué)生選擇“短跑、長(zhǎng)跑、仰臥起坐”的項(xiàng)目個(gè)數(shù)之和.

(1)求x的值;

(2)求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：(本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分)

1.B

【解析】

由x〉2，則k(x-2)<f(x)=尤+xln_r可化簡(jiǎn)為k<空，構(gòu)造函數(shù)

,、x+x\nx-，/、(lnx+2)(x-2)-(x+xlnx)x-21nx-4

g(“卜丁f'Q2，g(*匹牙=FF'令a

2x—2

/z(x)=x-21nx-4,貝?。?/(%)=1——=---->0,即/i(x)在(2,+oo)單調(diào)遞增，設(shè))=0,因?yàn)?/p>

"8)=4-21118<0,耳9)=5-2也9>0,所以8<飛<9,且111%=當(dāng)±故8(力在(2,%)上單調(diào)遞

“0一4

x+xlnx_x°+x°,

減，(事,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以8⑺=g(x°)Qo02」。仁百又

---------——t

/一2工。-22

k<^(x)niin,/.k<4,即k的最小值為4,故選B.

點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的恒成立和有解問(wèn)題，屬于較難題目.首先根據(jù)自變量x的范圍，分離參數(shù)和變量,轉(zhuǎn)化為

新函數(shù)g(X)的最值，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，可知g(x)在(2,X。)上單調(diào)遞減，(小,+8)上單調(diào)遞增，

所以gUUn=g(毛)，且In%=百/，8<%<9,通過(guò)對(duì)最小值化簡(jiǎn)得出g(%)的范圍，進(jìn)而得出k的范

圍.

【解析】

試題分析：小明共有6次選擇，因?yàn)榈谝惶旌偷谄咛炀?個(gè)水果，所以在這6次選擇中“多一個(gè)”和“少

一個(gè)”的次數(shù)應(yīng)相同、“持平”次數(shù)為偶數(shù).當(dāng)6次選擇均為“持平”時(shí)，共有以=1種方案；當(dāng)6次選擇中

有4次“持平”時(shí)，選擇“多一個(gè)”和“少一個(gè)”各一次，共有個(gè)C：=30種方案；當(dāng)6次選擇中有2次“持平”

時(shí)，選擇“多一個(gè)”和“少一個(gè)”各2次，共有京戲仁=90種方案；當(dāng)6次選擇中有0次“持平”時(shí)，選擇“多

一個(gè),，和“少一個(gè),，各3次，共有盤(pán)=20種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇

方案共有1+30+90+20=141種方案，故D正確.

考點(diǎn)：排列組合，考查分類(lèi)討論思想.

3.B

【解析】

【分析】

分類(lèi)討論,利用捆綁法、插空法，即可得出結(jié)論.

【詳解】

把空著的2個(gè)相鄰的停車(chē)位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車(chē)可以停進(jìn)4個(gè)停車(chē)場(chǎng),

由題意,若2輛不同的車(chē)相鄰,則有用號(hào)=4種方法

若2輛不同的車(chē)不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車(chē)位空著,利用捆綁法，

所以有(8+用)用=8種方法，不同的停車(chē)方法共有：￡=4x3=12種，

綜上,共有12種方法，

所以B選項(xiàng)是正確的.

本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出cosa的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出cos(-?)的值.

【詳解】

34

QcrG，cosa>0,且cosa=Jl-sin'a=

55

由誘導(dǎo)公式得cos(—a)=

【點(diǎn)睛】

本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，同時(shí)也考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí),

先要確定角的象限，確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，再結(jié)合相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

【解析】

【分析】

利用正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得出加+〃=』，再將代數(shù)式2m+2〃與工+2相乘，展開(kāi)后可利用基本不等

2mn

式求出工+2的最小值.

mn

【詳解】

由于X:N（10,〃），由正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，P（X>12）=P（X<8）=m,

所以，P（X<8）+P（8<X<10）=1,即加+〃=g,:乜根+2〃=1,

由基本不等式可得_L+2=j_L+2]⑵篦+2〃）=攸+&+6N2、叵互+6

mnn）nmynm

—4\/-24-G

41%2A7

當(dāng)且僅當(dāng)一=一（m>0,〃>0）,即當(dāng)〃=可時(shí)，等號(hào)成立，

nm

12r-

因此，—?—的最小值為6+4廠2）故選D.

mn

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得出定值，

以及對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

6.B

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到7.8,發(fā)現(xiàn)它大于3.325,得到有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性

別有關(guān)”，從而可得結(jié)論.

解：V7.8>3.325,

.?.有1.11=1%的機(jī)會(huì)錯(cuò)誤，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查利用臨界值，進(jìn)行判斷，是一個(gè)基礎(chǔ)題

7.D

【解析】

【分析】

先計(jì)算參與獎(jiǎng)的百分比，分別計(jì)算各個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望，中位數(shù)，逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

參與獎(jiǎng)的百分比為：1—30%—10%—5%=55%

設(shè)人數(shù)為單位1

一等獎(jiǎng)費(fèi)用：20x5%=l

二等獎(jiǎng)費(fèi)用：10xl0%=l

三等獎(jiǎng)費(fèi)用：5x30%=1.5

參與獎(jiǎng)費(fèi)用：2x55%=l.l

購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的平均數(shù)為：4.6

參與獎(jiǎng)的百分比為55%,故購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元

故答案選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了平均值，中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)片”5.852得到網(wǎng)片上5.024卜0.025,得到答案.

【詳解】

心儀5.852,故。(片35.024卜().025,

故判斷”是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)”出錯(cuò)的可能性不超過(guò)2.5%.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

9.D

【解析】

分析：根據(jù)甲隊(duì)比乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球個(gè)數(shù)多，得到甲對(duì)的技術(shù)比乙隊(duì)好判斷①；根據(jù)兩個(gè)隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較,

可判斷甲隊(duì)不如乙隊(duì)穩(wěn)定；由平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)一步可知乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球，甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞.

詳解：因?yàn)榧钻?duì)每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2,乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8,甲隊(duì)平均數(shù)大于乙隊(duì)較多，所以甲

隊(duì)技術(shù)比乙隊(duì)好，所以①正確；

因?yàn)榧钻?duì)全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3,乙隊(duì)全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3，乙隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲隊(duì),

所以乙隊(duì)比甲隊(duì)穩(wěn)定，所以②正確；

因?yàn)橐谊?duì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,說(shuō)明每次進(jìn)球數(shù)接近平均值，乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球，甲隊(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為3,說(shuō)

明甲隊(duì)表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞，所以③④正確，

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，其中數(shù)據(jù)的平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，方差

與標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，一般從這兩個(gè)方面對(duì)數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題.

求空田對(duì)比乙隊(duì)平均每場(chǎng)逛球的個(gè)數(shù)多.遇到甲隊(duì)的技術(shù)比乙隊(duì)好判斷①；限38兩個(gè)隊(duì)的標(biāo);隹差比較.

10.B

【解析】

【分析】

1111

原等式兩邊同乘以T,可求得z=-7-從而可得z=-7+：7i，利用復(fù)數(shù)模的公式可得結(jié)果.

2222

【詳解】

因?yàn)?3z=1—i，

即22=(T>(1T)=-1-i,

-11.?11.

z=--------1,可得z=——+—1,

2222

所以，歸=、工1=走，故選B.

【點(diǎn)睛】

復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、

共粗復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，

運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

11.C

【解析】

分析：畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖像，計(jì)算圖形中圓內(nèi)橫坐標(biāo)小于1的面積，除以圓的面積。

詳解：

由圖可知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于1的概率為《，故選C

2

點(diǎn)睛：幾何概型計(jì)算面積比值。

12.B

【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積

S=°—=0.1359

則落入陰影部分(曲線(xiàn)「為正態(tài)分布「的密度曲線(xiàn))的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為

N=10000x^7^=1359

本題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線(xiàn)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法

①熟記P（M-G<X<|I+G）,P（II-2G<X<JI+2G）,P（JI—3C<XWH+3G）的值.

②充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間面積為1.

二、填空題：（本題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）

13.0.8

【解析】

【分析】

直接根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得到答案.

【詳解】

隨機(jī)變量《?N（O.er）,

故P（J<1）=P（O<J<1）+P（JWO）=P（T<J<O）+P（JWO）=O.8.

故答案為：0.8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對(duì)于正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性的靈活運(yùn)用.

14.（3,+oo）

【解析】

試題分析：由題意畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示，要滿(mǎn)足存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于X的方程f（x）=1）有三個(gè)不

同的根，則4加一加2<加，解得相>3,故m的取值范圍是（3,+co）.

【考點(diǎn)】分段函數(shù)，函數(shù)圖象

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念.解答本題，關(guān)鍵在于

能利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式.本題能較好地考查考生數(shù)形結(jié)合思

想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、基本運(yùn)算求解能力等.

1

15.-

6

【解析】

分析：利用列舉法求出事件“根210”包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能出事件“〃讓10”的概率.

詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）先后拋擲兩次，用機(jī)表

示向上點(diǎn)數(shù)之和，貝!)基本數(shù)值總數(shù)〃=6x6=36,

事件“加210”包含的基本事件有：

(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6個(gè)，

事件“加210”的概率。=二=’.

366

即答案為5.

0

點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用.

16.x+2_y—5=0

【解析】

【分析】

可將y=2-/左右同乘2,再消參即可求解普通方程

【詳解】

y=2T=2y=4-2f,結(jié)合x(chóng)=1+2/可得工+2)，一5=0

故答案為：x+2y-5=0

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：(本題共6個(gè)小題，共74分)

17.(1)見(jiàn)解析；(2)叵.

11

【解析】

分析：(1)由題意得又從而即可證明；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系型，即可運(yùn)用空間向量的方法求得答案.

詳解：(1)證明：因?yàn)锳B=AC,。為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

所以A￡>_LBC.

又PA,PB,PC兩兩垂直，且ABcAC=A

所以PAL平面ABC,則PA_LBC.

因?yàn)锳￡)cPA=A,

所以BC,平面PAD.

(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，

則A(0,0,0),8(3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),OB，|,0).

,:AE=AAC>

（33

可設(shè)E（O,t,0）,則PE=（0,/,—3）,AD=匕,5,0

33

PEAD=-t=-：.t=\,

22

則ED=（m，；,0）,PE=（0,l,-3）,

設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,y,z),

31

n-ED=0—x+—y=n0

則,即｛22

n-PE=0

y-3z=0

令z=l,得〃=(-1,3,1).

平面PAB的一個(gè)法向量為m=(0,1,0),

n?33日

則cos"2,n=—,==-----

Vn11

故平面PAB與平面PDE所成二面角的正弦值為叵.

11

點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

18.(1)勺5

5

(2)(-co,3]

【解析】

【分析】

(1)利用PR±P乃，結(jié)合向量知識(shí)，可得P的軌跡方程，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程，即可得到點(diǎn)P到X軸的距離.(2)

用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)雙曲線(xiàn)的范圍，可求得4的取值范圍.

【詳解】

⑴設(shè)P點(diǎn)為(%,為)，而斗->5,0),僅6,0),

則P4=(一石一天,-y0),尸6=(石一毛，一%).

PFi±PF2,：.PFtPF2=O,

即(―-%)(75-%)+(—%)(—%)=()，

整理，得看+$=5①

又P(x°,%)在雙曲線(xiàn)上，

???片_慈=1②

聯(lián)立①得y；=t，即1%1=?

因此點(diǎn)P到x軸的距離為拽.

5

(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(%,%),則。的坐標(biāo)為(-A-o,-%),

彳=(入),>,()-2)-2)=-片-y：+4=-；y：+3.

.?.九的取值范圍是(-8,3].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的運(yùn)算，考查雙曲線(xiàn)中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法和范圍問(wèn)題的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平.

19.(1)。=0.35,/?=0.10；(2)4.05,6.

【解析】

【分析】

⑴由P(C)=0.70及頻率和為1可解得。和b的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).

【詳解】

⑴由題得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由0.05+、+0.15=1-P(C)=1-0.70,解得b=0。0.

(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

65

20.(1)一；(2)-

352

【解析】

(I)由已知，有

C泣+C泣_6

P(A)

35

所以事件A發(fā)生的概率為三.

35

(n)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4

「k「4-A

p(X=k)=T^(Z=I,2,3,4)

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

131

P2

147714

1331S

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lx立+2x,+3x,+4xq=；

考點(diǎn)：古典概型、互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

J_4

21.(1){x|xW0或x，l}；(2)

253

【解析】

【分析】

(1)使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.

(2)利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a|W3x在H恒成立，然后解出解集，根據(jù)集

[32J

合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)a=2時(shí)，

原不等式可化為|3x-l|+|x-2|N3.

①當(dāng)時(shí)，

則一3x+1+2—xN3xK0,所以尤〈0；

②當(dāng)；<龍<2時(shí)，

則3x-l-2+x23=xi1,所以14x<2；

⑧當(dāng)時(shí)，

3

貝！13x—1—2+x>3=>x—,所以x22.

2

綜上所述：

當(dāng)。=2時(shí)，不等式的解集為{x|x40或x，l}.

(2)由|元一§|+/(x)Wx,

則13%—11+|%—?|<3x,

由題可知：

13x—11+1x-a區(qū)3x在—恒成立,

32

所以3x-l+|x-a區(qū)3x,Bp|x-tz|<l,

即a-lWxVa+l,

,1

a-\<—

34

所以《=>——<a<—

23

a+1>—

2

14

故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是-.

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對(duì)值不等式，熟練使用分類(lèi)討論的方法，以及知識(shí)的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)

轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.

22.(1)元=20(2)見(jiàn)解析

【解析】

分析：(1)由題意結(jié)合概率公式得到關(guān)于x的方程，解方程可得尤=20.

(2)由題意可知J的可能取值分別為2,3,4,5,6,該分布列為超幾何分布，據(jù)此可得到分布列，

24

利用分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望為E(J)=y.

詳解：(1)記“選擇短跑、長(zhǎng)跑、仰臥起坐的項(xiàng)目個(gè)數(shù)相等“為事件A,貝！1：

P(A)=1_29=20=C-+C?+C1

')4949個(gè)

所以Y-45x+500=0，解得x=20或x=25,

因?yàn)閤<>,所以x=20.

(2)由題意可知J的可能取值分別為2,3,4,5,6,

en/匕小C；10…小CC'100…八C\C'+Cl.315

則P(J=2)=T=——，/&=3)=-^=——，P(&=4)=^^-=——

、)C；o1225,)01225')C；。1225

2

5)-??_500*=6)=署C300

華)以01225

C501225

從而J的分布列為:

23456

10100315500300

12251225122512251225

數(shù)學(xué)期望為

10100315500300588024

砧)=2x+3x+4x+5x+6x

122512251225122512251225T

點(diǎn)睛：本題的核心在考查超幾何分布.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體

的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考

查某類(lèi)個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是

古典概型.

2019-2020高二下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

一、選擇題：（本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）

1.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，在已知兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點(diǎn)數(shù)之和不大于8

的概率為（）

1452

A.—B.-C.-D.一

3993

2.設(shè)集合4={耳/一］-12>0},3=卜62卜6^^46},則48的元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

3.在三棱錐S—A6C中，SA=BC=y/4l>SB=AC=5,SC=AB=?則三棱錐S—ABC外接

球的表面積為（）

A.25萬(wàn)B.100C.50%D.5007r

4.（2x—l）6展開(kāi)式中X2的系數(shù)為（）

A.15B.60C.120D.240

5.函數(shù)/（x）=ei—eTT+asinn（xeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，。>0）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為（）

B.（°，2）C.（0,2］D.（0,2）

6.二面角。―/一力為60。，A、8是棱上的兩點(diǎn)，AC.分別在半平面a、夕內(nèi)，AC11,BDVI

且AB=AC=1,BD=2,則CZ）的長(zhǎng)為

A.1B.8C.2D.75

7.如圖，已知函數(shù)/（X）=受，則它在區(qū)間［一萬(wàn)，句上的圖象大致為（）

D.

8.已知復(fù)數(shù)2=則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.如圖，在正方體ABCD-A4G。的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線(xiàn)，與直線(xiàn)A8異面且?jiàn)A角成60。的

直線(xiàn)的條數(shù)為（）.

A.3B.4C.5D.6

10.在正方體ABC?！?4G。中，點(diǎn)E,尸分別是AB,CG的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.A.E^BFB.A尸與8。所成角為60°

C.4后，平面4。尸D.4尸與平面A5CO所成角的余弦值為

11.過(guò)拋物線(xiàn)E：V=2必:⑺>0）的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)（，“，直線(xiàn)4交E于A,C兩點(diǎn)，直

線(xiàn)12交E于B,D兩點(diǎn),若四邊形ABCO面積的最小值為64,則。的值為（）

A.20B.4C.472D.8

12.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法

B.在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好

C.線(xiàn)性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)y=bx+a至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)

D.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R?越大，模擬的效果越好

二、填空題：（本題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）

13.已知/（x）=L'一（其中a<0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若g（x）=/[/（x）]在R上有三個(gè)

不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

14.若函數(shù)二（二）=T二'+（二；+2二二在￡+工）上存在單調(diào)增區(qū)間，則實(shí)數(shù)二的取值范圍是.

15.某市在“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進(jìn)行“我和'一帶一路'”的學(xué)習(xí)征

文，收到的稿件經(jīng)分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖，又已知全市高一年級(jí)共交稿2000份，則高三

年級(jí)的交稿數(shù)為.

16.設(shè)/(幻=[廬丁”。”則「/(x)公等于_________.

[l+x,xe[-l,O)JT

三、解答題：(本題共6個(gè)小題，共74分)

17.(本題共12分)

已知函數(shù)f(x)=xex

(1)求函數(shù)f(x)的極值.

(2)若f(x)-Inx-mx》l恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.(本題共12分)

盒子中有大小和形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地依次抽取2個(gè)球.

(1)求在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率；

(2)若抽到1個(gè)紅球記0分，抽到1個(gè)白球記1分，抽到1個(gè)黑球記2分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)

變量X的分布列.

19.(本題共12分)

C1

x——24—t

2

在直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為rQ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，圓。的極坐標(biāo)方程為0=J市.

⑴若/與。相交于A,8兩點(diǎn)，P(—2,0),求冏；

(2)圓M的圓心在極軸上，且圓M經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，若/被圓M截得的弦長(zhǎng)為1,求圓M的半徑.

20.(本題共12分)

X_X1

已知函數(shù)/(x)-e2+—cos2x.

(1)求f\x)；

(2)證明：/1)在區(qū)間(-8,+8)上是增函數(shù).

21.(本題共12分)

已知向量A=(Gsin2x+2,cosx),7=(1,2cosx),設(shè)函數(shù)=

(1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)在AABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若/(A)=4,b=l,ZiABC的面積為走,

2

求a的值.

22.(本題共14分)

設(shè)函數(shù)/(x)=|x+2|+k+a|,a&R.

(1)若。=-3,求不等式7的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/(￡)</+2m+3對(duì)任意的〃”/?恒有解，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：(本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分)

1.D

【解析】

【分析】

求出兩次點(diǎn)均為偶數(shù)的所有基本事件的個(gè)數(shù)，再求出在兩次均為偶數(shù)而且和不大于8的基本事件的個(gè)數(shù)后

可得概率.

【詳解】

記A={兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)},B={兩次的點(diǎn)數(shù)之和不大于8},

因?yàn)椤?A)=3x3=9,力(A8)=6,

所以明力=嚅與|.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查條件概率，本題解題關(guān)鍵是求出兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點(diǎn)數(shù)之和不大于8所含有

的基本事件的個(gè)數(shù).

2.C

【解析】

分析：分別求出A和B,再利用交集計(jì)算即可.

詳解：A={x|x>4垢<-3},B={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},

則Ac3={-6,—5,T,5,6},交集中元素的個(gè)數(shù)是5.

故選：C.

點(diǎn)睛：本題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.C

【解析】

分析：首先通過(guò)題中的條件，得到棱錐的三組對(duì)棱相等，從而利用補(bǔ)體，得到相應(yīng)的長(zhǎng)方體，列式求得長(zhǎng)

方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，從而求得外接球的半徑，利用球體的表面積公式求得結(jié)果.

詳解：對(duì)棱相等的三棱錐可以補(bǔ)為長(zhǎng)方體(各個(gè)對(duì)面的面對(duì)角線(xiàn))，

a2+b2=41

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a/,c,則有<〃+。2=25,

a2+c2=34

三個(gè)式子相加整理可得/+〃+°2=50,

所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為50，

所以其外接球的半徑R=辿，

2

所以其外接球的表面積S=4〃R2=50〃，故選C.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的外接球的體積問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意根據(jù)題中所給的三棱錐的特

征，三組對(duì)棱相等，從而將其補(bǔ)體為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是該長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)，利用相

應(yīng)的公式求得結(jié)果.

4.B

【解析】

【分析】

【詳解】

V(2x—1)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為=(—1)「26-rGxj,令6-r=2得r=4,二(2x—展開(kāi)式中x2項(xiàng)為

(—1)426Y屐X2=6Gx2,所以其系數(shù)為60,故選B

5.A

【解析】

【分析】

函數(shù)f(x)=e'T-eTM+asin乃x(xeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，?！?)存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)

<p(x)^asin;rx與函數(shù)g(x)=ei-e'T只有唯---個(gè)交點(diǎn)，由0(1)=0,g(l)=0,可得函數(shù)

G(x)=asinG與函數(shù)g(x)=eJ-ei唯一交點(diǎn)為(1,0),g(x)的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到。(幻與g(x)

的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)。(x)=asin乃x與函數(shù)g(x)=ei-ei只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則

“⑴..g'(l),即可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

解：函數(shù)F(x)=ei-e-e+asinG(xeA,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a>0)存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于:

函數(shù)夕(x)=asin乃》與函數(shù)g(尤)=/一"一ex~'只有唯---個(gè)交點(diǎn)，

。⑴=。，g(l)=。，

函數(shù)。(犬)=asin萬(wàn)x與函數(shù)g(x)=一/T唯一交點(diǎn)為(1,0),

又g，(x)="r-e'T,且e"*>0，ex~'>0>

g'(x)=-e--e'T在R上恒小于零，即g(x)=—/T在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，

又火x)=asin7x(a>0)是最小正周期為2,