2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算教學用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE6.2平面對量的運算6.2.1向量的加法運算素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學法指導1．理解并駕馭向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律.(直觀想象)2．會用向量的三角形法則和平行四邊形法則求兩個向量的和.(直觀想象)3．能夠利用向量的交換律和結(jié)合律進行向量運算.(數(shù)學運算)定義一個量，必定要去探討其運算特征，發(fā)揮運算的力氣.對于向量的運算可以類比數(shù)的運算，但又要把握向量與數(shù)量的不同，借助物理中的位移和力的分解理解向量的運算是學習的關(guān)鍵.必備學問·探新知學問點平面對量的加法運算1．向量加法的定義及運算法則定義求__兩個向量和__的運算，叫做向量的加法法則三角形法則前提已知非零向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝__a＋b__結(jié)論向量eq\o(OB,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))圖形平行四邊形法則前提已知不共線的兩個向量a，b作法作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.以OA，OB為鄰邊作□OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b結(jié)論對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和圖形規(guī)定零向量與任一向量a的和都有a＋0＝__0＋a__＝__a__2．三角不等式：|a＋b|≤__|a|＋|b|__，當且僅當a，b方向相同時等號成立.3．向量加法的運算律運算律結(jié)合律a＋b＝__b＋a__交換律(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一向量的加法及幾何意義典例1(1)如圖，已知a、b，求作a＋b.(2)如圖所示，已知向量a、b、c，試作出向量a＋b＋c.[分析]用三角形法則或平行四邊形法則畫圖.[解析](1)甲eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b乙eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b(2)作法1：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求.作法2：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以OA、OB為鄰邊作□OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以OD、OC為鄰邊作□ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即為所求.[歸納提升]三角形法則與平行四邊形法則的區(qū)分與聯(lián)系區(qū)分：(1)三角形法則中強調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”.(2)三角形法則適用于全部的非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.聯(lián)系：平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一樣的.這兩種求向量和的方法，通過向量平移能相互轉(zhuǎn)化，解決詳細問題時視狀況而定.【對點練習】?如下圖中(1)、(2)所示，試作出向量a與b的和.[解析]如下圖中(1)、(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.題型二向量加法運算律的應用典例2化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).[分析]首先依據(jù)向量加法的交換律變?yōu)楦飨蛄渴孜蚕噙B，然后利用向量加法的結(jié)合律求和.[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0．[歸納提升]向量運算中化簡的兩種方法：(1)代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個向量的起點指向最終一個向量終點的向量.有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量.(2)幾何法：通過作圖，依據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡.【對點練習】?如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝__eq\o(AC,\s\up6(→))__；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝__eq\o(AB,\s\up6(→))__；(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝__eq\o(AC,\s\up6(→))__.[解析]由已知可得四邊形DFCB是平行四邊形.(1)易知eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).由三角形法則得：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)易知eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).題型三向量加法的實際應用典例3在某地抗震救災中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和.[分析]解答本題首先正確畫出方位圖，再依據(jù)圖形借助于向量求解.[解析]如圖所示，設eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分別表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km.則飛機飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|；兩次飛行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝800＋800＝1600(km).又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km).其中∠BAC＝45°，所以方向為北偏東35°＋45°＝80°.從而飛機飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\[歸納提升]應用向量解決平面幾何問題的基本步驟【對點練習】?如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽視不計).[解析]如圖，設eq\o(CE,\s\up6(→))、eq\o(CF,\s\up6(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(→))表示，則eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，∴|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5．∴A處所受的力的大小為5eq\r(3)N，B處所受的力的大小為5N.易錯警示對不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等號成立條件理解不清致誤典例4若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，則(D)A．a(chǎn)，b同向共線B．a(chǎn)，b反向共線C．a(chǎn)，b同向共線且|b|>|a|D．a(chǎn)，b反向共線且|b|>|a|[錯解]B[辨析]錯解只考慮了向量的方向，但沒有留意到其模的大小關(guān)系.[正解]由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故