概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象

閱讀材料:1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究對象在自然界和現(xiàn)實生活中，一些事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中，根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，必定會導致某種確定的結(jié)果。舉例來說，在標準大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會沸騰。事物間的這種聯(lián)系是屬于必然性的。通常的自然科學各學科就是專門研究和認識這種必然性的，尋求這類必然現(xiàn)象的因果關系，把握它們之間的數(shù)量規(guī)律。另一類是不確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，它的結(jié)果是不確定的。舉例來說，同一個工人在同一臺機床上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有一點差異。又如，在同樣條件下，進行小麥品種的人工催芽試驗，各顆種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強弱和早晚的分別等等。為什么在相同的情況下，會出現(xiàn)這種不確定的結(jié)果呢？這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素又是人們無法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類現(xiàn)象中，就無法用必然性的因果關系，對個別現(xiàn)象的結(jié)果事先做出確定的答案。事物間的這種關系是屬于偶然性的，這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象，或者叫做隨機現(xiàn)象。

在自然界，在生產(chǎn)、生活中，隨機現(xiàn)象十分普遍，也就是說隨機現(xiàn)象是大量存在的。比如：每期體育彩票的中獎號碼、同一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等，都是隨機現(xiàn)象。因此，我們說：隨機現(xiàn)象就是：在同樣條件下，多次進行同一試驗或調(diào)查同一現(xiàn)象，所得結(jié)果不完全一樣，而且無法準確地預測下一次所得結(jié)果的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象這種結(jié)果的不確定性，是由于一些次要的、偶然的因素影響所造成的。隨機現(xiàn)象從表面上看，似乎是雜亂無章的、沒有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實踐證明，如果同類的隨機現(xiàn)象大量重復出現(xiàn)，它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性，隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯。比如擲硬幣，每一次投擲很難判斷是那一面朝上，但是如果多次重復的擲這枚硬幣，就會越來越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。概率論所研究的是隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，它以自然界中大量存在的隨機現(xiàn)象作為研究對象。其最重要的思想是如何認識隱藏在隨機現(xiàn)象背后的統(tǒng)計規(guī)律性，強調(diào)隨機現(xiàn)象的個別觀察的偶然性與大量觀察中的統(tǒng)計規(guī)律之間的聯(lián)系。隨機思想是概率論的核心思想，是從個別偶然的現(xiàn)象所表現(xiàn)出的一種內(nèi)在的必然規(guī)律。從中可以見到偶然性與必然性這一哲學范疇所起的作用。必然性只有通過偶然性表現(xiàn)出來，偶然性背后總是隱藏著必然性，大量的隨機現(xiàn)象正體現(xiàn)出事物發(fā)展過程中的必然性的一面。隨機思想，乃是通過對這種偶然性的研究去發(fā)現(xiàn)其背后的必然性——即統(tǒng)計規(guī)律性，并通過這種必然性去理解，認識和把握隨機思想。我們用例子來說明這個問題，在兩個賭徒A和B之間進行賭博，規(guī)則規(guī)定，兩人之間進行若干局比賽，如果A先取得2局勝利，則A獲勝；如果B先取得3局勝利，則B獲勝，問應該如何來分配賭注。很顯然，在這個例子中只需進行4局賭博就能決出勝負。某人用a表示A取勝的比賽，用b表示B取勝的比賽；然后考慮a，b兩種字母每次取四個的16種可能的排列：aaaabaaaabaaaabaaaabbbaabababaababbaababaabbbbbabbabbabbabbbbbbb其中，a出現(xiàn)2次或多于2次的情況是有利于A的，這種情況共11種；而b出現(xiàn)3次或多于3次的情況是有利于B的，這種情況共5種。因此，賭注應按11：5來分配。推廣至一般情形，如果A要在m局取勝，B要在n局取勝，則兩種字母a和b每次取m+n-1個的可能的排列為2m+n-1種。這樣就可求出a出現(xiàn)m次或多于m次的情況為a種和b出現(xiàn)n次或多于n次的情況為b種，而賭注也就應按a：b來分配。2、中學數(shù)學概率與統(tǒng)計的主要內(nèi)容概率論的最基本概念是“概率”，它也叫“幾率”“或然率”等，是隨機事件的或然性或者可能性的數(shù)值估計．它有多種定義，如由大量試驗所計算出來的“頻率”(統(tǒng)計定義)，由“等可能性”出發(fā)，按照組合方法的古典定義，以及做為認識主體“信念程度”的定義．但是只有到1900年測度論發(fā)展起來以后，才有正確的理解．這時，我們把“事件”歸結(jié)成“集合”，比如擲一顆骰子得1，2，3，4，5，6點，我們把它對應于{1，2，3，4，5，6}這樣一個集合，而事件的“概率”，則表示集合中各子集合的“測度”，只要它滿足整個集合的測度(概率)，等于1．因此，如果骰子沒有不均勻處，發(fā)生{1}，{2}，…，{6}事件的如此等等．這樣的概率表述方法的優(yōu)點在于它可能推廣到可列無窮集合上乃至一般的無窮集合如連續(xù)統(tǒng)(區(qū)間)上．古典概率論兩大極限定理是由伯努利和德·莫伏瓦在18世紀上半葉所奠基的大數(shù)定律和中心極限定理．前者是說當試驗次數(shù)n增加時，取得成功的頻率與概率p的偏差幾乎可以任意小，比如擲硬幣，擲的次數(shù)頻率與概率的誤差分布越來越接近正態(tài)分布．1907年保爾·埃倫菲斯特(PaulEhrenfest，1880—1933)夫婦提出一個簡單而漂亮的馬爾科夫鏈的模型．考慮兩個容器A和B，A中盛有標記1到N號碼的球，然后在一個簽盒中(號碼1到N)抽一個簽得x，就把號碼為x的球由它所在的容器搬到另一容器中．當然B最初是空的，第一步顯然由A搬到B，其后A中球數(shù)就指數(shù)地減少到N/2，其后就在N/2附近擺動．這有點像氣體由一瓶中擴散到真空瓶中的過程，所不同的是，這樣一個過程總是以概率1回到初始狀態(tài)，也就是全部N個球回到容器A，當然回到初始狀態(tài)所經(jīng)歷的時間可以是很長很長的，而且永遠也不返回初始狀態(tài)的過程在所有過程當中是極少極少的．馬爾科夫過程最典型的例子是布朗運動．1827年，美國植物學家布朗(R．Brown，1773—1858)在顯微鏡下觀察到液體中的顏料粒子做奇特的無規(guī)則運動．他在1828年發(fā)表這個結(jié)果后，曾引起許多不同意見的爭論，長時間沒有滿意的定量解釋．一直到1900年愛因斯坦(A．Einstein，1879—1955)和波蘭物理學家斯莫盧霍夫斯基(1872—1917)獨立給出物理上的解釋，這就是布朗運動是分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果．3、概率的哲學思考瑞典數(shù)學家L.戈丁在《數(shù)學概觀》一書中有一段關于概率和概率研究極為精辟的論述：“概率論這個詞，是和探求真實性聯(lián)系在一起的。在我們生活的世界上，充滿了不確定性。因此我們就試圖通過猜測事件的真相和未來來掌握這種不確定性。在對我們周圍世界進行分析時，這種方法是重要的組成部分。當我們希望得到確定的結(jié)果，在正常的情況下，我們可以把形勢分成絕對危險或絕對安全的，并且避開危險，我們在崎嶇不平的道路上小心的前進，正如行人和司機一樣總使自己離開不安全地帶很大一段距離。但是這種分類方法也包括風險在內(nèi)。對于同一現(xiàn)象有了兩三次相似的經(jīng)驗之后，我們就傾向于認為它總會以同樣的方式產(chǎn)生?！薄安话踩屑仁谷司o張，又是對人挑戰(zhàn)，它強迫人們在后果還不完全清楚的情況下，對各種方案進行選擇。如果這種選擇的的確有某種意義的話，我們可能是以一種歡快昂奮的心情進行選擇的。可是，壞的選擇的后果不能太嚴重，假如我們處在危險的關頭，我們就得動員我們整個腦力資源，不