數(shù)學(xué)學(xué)案：二面角及其度量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2-1第三章3.2.4二面角及其度量1．理解斜線和平面所成角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性、合理性．2．會(huì)求直線與平面所成的角．3．掌握二面角的概念,二面角的平面角的定義，會(huì)找一些簡單圖形中的二面角的平面角．4．掌握求二面角大小的基本方法．1．直線與平面的夾角(1)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面的夾角為______；（2)如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面的夾角為______；（3)斜線和它在平面內(nèi)的______所成的角叫做斜線和平面________(或斜線和平面的夾角)；（4)直線與平面的夾角的范圍是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2)））。【做一做1】直線l的一個(gè)方向向量與平面α的法向量的夾角為135°,則直線l與平面α的夾角為（)A．135°B．45°C．75°D．以上均錯(cuò)2．最小角定理(1）線線角、線面角的關(guān)系式：cosθ＝________，如圖，θ是OA與OM所成的角，θ1是OA與OB所成的角,θ2是OB與OM所成的角．(2)最小角定理：斜線和它在平面內(nèi)的________所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)________________中最小的角．【做一做2】一條直線與平面的夾角為30°，則它和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角為(）A．30°B．60°C．90°D．150°3．二面角的定義及表示方法（1）平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做________．(2）從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做________；這條直線叫做二面角的________,每個(gè)半平面叫做二面角的________．棱為l,兩個(gè)面分別為α,β的二面角,記作________．若A∈α，B∈β，二面角也可以記作________．（3)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一點(diǎn)O,在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l,則∠AOB叫做________________．(4)二面角的范圍是[0,π]．（5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．（1）二面角是圖形，它是由兩個(gè)半平面和一條棱構(gòu)成的圖形．(2）符號(hào)α－l－β的含義是棱為l，兩個(gè)面分別為α，β的二面角．（3）兩個(gè)平面相交，構(gòu)成四個(gè)二面角．【做一做3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1C－A1的平面角的正切值為（)A．1B．eq\f(\r（2）,2）C．eq\r（2）D．eq\r（3）4．設(shè)m1⊥α，m2⊥β,則角〈m1，m2〉與二面角α－l－β____________________?！咀鲆蛔?】若二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為(4,2,0)和（3，－6,5），則這個(gè)二面角的余弦值是（）A．0B．eq\f（\r（3），2)C．eq\f(1，2)D．eq\f（\r（2），2）1．如何理解直線與平面所成的角？剖析：此概念應(yīng)分三種情況：(1）直線與平面斜交時(shí),直線與平面所成的角是指這條直線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角；(2)直線與一個(gè)平面垂直時(shí)，直線與平面的夾角為90°;（3)一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線與平面的夾角為0°。2．如何用向量求線面角？剖析：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n,直線與平面所成的角為θ，則sinθ＝｜c(diǎn)os〈a，n〉｜＝eq\f（|a·n|,｜a||n｜).3．如何理解二面角的平面角?二面角的平面角必須具備三個(gè)條件：（1)二面角的平面角的頂點(diǎn)在二面角的棱上；(2）二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)；(3)二面角的平面角的兩條邊都與棱垂直，且平面角的大小與平面角在棱上的位置無關(guān)．4．如何求二面角？(1)作出二面角的平面角；（2)利用法向量的夾角．題型一用定義求直線與平面所成的角【例1】已知∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a,BC＝eq\r(2）a,求OA與平面α所成角的大?。治觯航獯鸨绢}可找出點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影位置,作出線面角，然后解三角形求出線面角．反思：用定義法求直線與平面所成角時(shí)，關(guān)鍵是找到斜線的射影，找射影有以下兩種方法:①斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在斜線在平面內(nèi)的射影上;②利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影．題型二向量法求直線與平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC,A1B⊥B1C.求B1C與側(cè)面A1ABB1所成角的正弦值．分析:因?yàn)槭侵比庵?，所以本題可建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角求解．反思：利用向量法求斜線與平面的夾角優(yōu)勢在于不用找角，只需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用待定系數(shù)法求出平面的法向量，再用公式求解即可．但要注意法向量的正確性以及線面角與向量夾角的關(guān)系．題型三定義法求二面角的大小【例3】如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD,AD＝DC＝BC＝a，AB＝eq\r(3）a.(1)求證：平面ABC垂直于平面ADC;（2)求二面角C－AB－D的大?。治觯?1）可利用面面垂直的判定定理證明；（2)利用平面ABC垂直于平面ADC，作出所求二面角的平面角，然后解三角形求角．反思：所謂定義法，就是作出二面角的平面角，然后通過解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有:①找與二面角的棱垂直的平面與二面角兩半平面的交線;②在二面角的一個(gè)面上取一點(diǎn)，利用三垂線定理作平面角；③在二面角的棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作出和棱垂直的射線．題型四向量法求二面角的大小【例4】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的大?。治觯罕绢}可建立空間直角坐標(biāo)系,分別求平面C1BD和平面A1BD的一個(gè)法向量，然后通過法向量的夾角獲得二面角的大?。此?向量法求二面角有如下方法：(1)可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的向量,轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量的夾角，但需注意兩個(gè)向量的起點(diǎn)應(yīng)始終在二面角的棱上．(2）建空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量m，n，根據(jù)cosθ＝eq\f（|m·n|,|m｜｜n|)求得銳角θ，若二面角為銳角，則為θ，若二面角為鈍角,則為π－θ。1正方體ABCD－A1B1C1D1中,O為側(cè)面BCC1B1的中心，則AO與平面ABCD所成角的正弦值為（）A．eq\f(\r（3),3)B．eq\f（1，2）C．eq\f(\r(6），6）D．eq\f(\r（3）,2）2正三棱錐的所有棱長都相等，則側(cè)棱與底面所成的角是(）A．a(chǎn)rctaneq\r（3）B．a(chǎn)rctaneq\r(2)C．a(chǎn)rctaneq\f（\r（3）,3)D．a(chǎn)rctaneq\f(\r(2)，2）3若BC在平面α內(nèi)，斜線AB與平面α所成的角γ,∠ABC＝θ，AA′⊥平面α,垂足為A′，∠A′BC＝β，那么(）A．cosθ＝cosγ·cosβB．sinθ＝sinγ·sinβC．cosγ＝cosθ·cosβD．cosβ＝cosγ·cosθ4已知正四面體ABCD，則二面角A－BC－D的余弦值為（)A．eq\f(1，2)B．eq\f(1，3）C．eq\f(\r（3）,3）D．eq\f（\r（3），2)5設(shè)a＝（0,1，1)，b＝(1,0，1)分別是平面α，β的兩個(gè)法向量，則銳二面角α－l－β的大小是（)A．45°B．90°C．60°D．120°答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．（1)90°(2）0°(3）射影所成的角【做一做1】B直線與平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2））)，所以直線l與平面α的夾角為180°－135°＝45°.2．(1)cosθ1cosθ2(2)射影所有直線所成角【做一做2】A3．(1)半平面(2)二面角棱面α－l－βA－l－B(3）二面角α－l－β的平面角【做一做3】B設(shè)A1D，B1C的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，可知∠AFE是所求二面角的平面角．在Rt△AEF中,tan∠AFE＝eq\f(AE,EF）＝eq\f（\f（\r(2),2）AB,AB）＝eq\f(\r(2）,2)。4．相等或互補(bǔ)【做一做4】A4×3＋2×(－6)＋0×5＝0,∴二面角的兩個(gè)半平面的法向量垂直．故這個(gè)二面角的余弦值是0.典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：∵OA＝OB＝OC＝a,∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a?！連C＝eq\r(2)a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC為等腰直角三角形．同理，△BOC也為等腰直角三角形．過點(diǎn)A作AH⊥α于點(diǎn)H，連OH，則OH為AO在平面α內(nèi)的射影，∠AOH為OA與平面α所成的角．∵AO＝AB＝AC，∴OH＝BH＝CH，H為△BOC的外心，∴點(diǎn)H在BC上，且為BC的中點(diǎn)．∵在Rt△AOH中，AH＝eq\f（\r（2),2)a，∴sin∠AOH＝eq\f(AH,AO）＝eq\f（\r（2),2),∴∠AOH＝45°，∴OA與平面α所成角的大小為45°.【例2】解：取C為原點(diǎn)，eq\o（CA，\s\up6(→)),eq\o（CB,\s\up6（→)），eq\o(CC1,\s\up6（→))為x，y,z軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系Cxyz，設(shè)|BC｜＝2，｜CC1|＝a，則A（4，0，0），A1（4，0，a），B（0，2,0）,B1(0，2，a)．∵A1B⊥B1C，∴eq\o（BA1，\s\up6(→））·eq\o（CB1，\s\up6(→）)＝0，∴a＝2。設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1ABB1的一個(gè)法向量，則n·eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝－4x＋2y＝0。n·eq\o（BB1，\s\up6(→））＝2z＝0,∴n取(1,2,0),eq\o(CB1,\s\up6(→）)＝（0,2,2)，sinθ＝｜c(diǎn)os<n，eq\o（CB1，\s\up6(→）)〉|＝eq\f（4,2\r（10））＝eq\f（\r(10），5)，∴B1C與側(cè)面A1ABB1所成角的正弦值為eq\f（\r(10)，5).【例3】解:（1)證明：因?yàn)锳D⊥平面BCD,所以AD⊥DB，AD⊥BC.又AD＝a，AB＝eq\r（3)a，所以DB＝eq\r（2）a。又DC＝BC＝a，因此BD2＝CD2＋BC2，即∠DCB＝90°,所以DC⊥BC,因此BC⊥平面ADC。又BC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC垂直于平面ADC.(2)作DF⊥AB于點(diǎn)F，DE⊥AC于點(diǎn)E,連EF,因?yàn)槠矫鍭BC垂直于平面ADC,因此DE⊥平面ABC,AB⊥平面DEF,所以EF⊥AB,則∠DFE為二面角C－AB－D的平面角，在直角三角形DEF中，∠DEF＝90°，DF＝eq\f(a·\r(2）a,\r（3)a）＝eq\f(\r（6)，3)a,DE＝eq\f(\r（2）,2）a，sin∠DFE＝eq\f(\r（3)，2）,所以∠DFE＝60°,故二面角C－AB－D的大小為60°。【例4】解：建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則＝(1,1，0），eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，1,1),設(shè)平面C1BD的法向量為n1＝(x，y,z），則n1·＝0，n1·eq\o（DC1,\s\up6（→))＝0,即x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1,則y＝－1，z＝1,所以n1＝(1，－1，1)是平面C1BD的一個(gè)法向量．同理，得n2＝（－1，1,1）是平面A1BD的一個(gè)法向量．因?yàn)閨n1|＝eq\r（3)，｜n2｜＝eq\r（3），所以cos〈n1，n2〉＝－eq\f（1，3)，由題知二面角的大小為arccoseq\f（1,3）.隨堂練習(xí)·鞏固1．C設(shè)BC中點(diǎn)為E，則∠OAE就是AO與平面ABCD所成角．2．B設(shè)底面正三角形BCD中心為O，則∠