數(shù)學學案：函數(shù)的單調(diào)性

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1.3函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的概念一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x）的定義域為A，區(qū)間M?A。如果取區(qū)間M中的任意兩個值x1,x2,改變量Δx＝x2－x1＞0,則當Δy＝f(x2)－f(x1）＞0時,就稱函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間M上是增函數(shù),如下圖所示．當Δy＝f(x2)－f（x1)＜0時,就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如下圖所示．如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性（區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間）．談重點對函數(shù)單調(diào)性的理解1．函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，即單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．如函數(shù)y＝x2的定義域為R，當x∈［0，＋∞）時是增函數(shù)，當x∈（－∞，0）時是減函數(shù)．2．函數(shù)單調(diào)性定義中的x1，x2有三個特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字決不能丟掉；二是有大小,即x1＜x2（x1＞x2）；三是同屬一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可．3．單調(diào)性是一個“區(qū)間"概念，如果一個函數(shù)在定義域的幾個區(qū)間上都是增（減）函數(shù),但不能說這個函數(shù)在其定義域上是增(減）函數(shù)．如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在（－∞，0)上是減函數(shù)，在（0，＋∞）上也是減函數(shù)，但不能說f(x）＝eq\f(1,x)在(－∞，0）∪（0,＋∞)上是減函數(shù)．因為當x1＝－1，x2＝1時有f（x1)＝－1＜f（x2）＝1，不滿足減函數(shù)的定義．4．單調(diào)區(qū)間端點的寫法：對于單獨的一個點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減性變化，所以不存在單調(diào)問題，因此在寫此單調(diào)區(qū)間時,包括端點可以，不包括端點也可以,但對于某些無意義的點,單調(diào)區(qū)間就一定不包括這些點．【例1－1】下列說法不正確的有（）①函數(shù)y＝x2在(－∞，＋∞）上具有單調(diào)性,且在(－∞，0）上是減函數(shù)；②函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0,＋∞)，且在其上是減函數(shù);③函數(shù)y＝kx＋b（k∈R)在（－∞，＋∞)上一定具有單調(diào)性;④若x1，x2是f(x）的定義域A上的兩個值，當x1＞x2時，有f(x1）＜f(x2）,則y＝f(x)在A上是增函數(shù)．A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①函數(shù)y＝x2在(－∞，0］上是減函數(shù),在[0，＋∞）上是增函數(shù)，故其在（－∞，＋∞）上不具有單調(diào)性；②(－∞，0）和（0，＋∞)都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在這兩個區(qū)間上都是減函數(shù)，但在整個定義域上不是減函數(shù);③當k＝0時，y＝b，此時函數(shù)是一個常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性;④因為x1，x2是定義域上的兩個定值，不具有任意性,所以不能由此判定函數(shù)的單調(diào)性．答案：D【例1－2】若對于任意實數(shù)x總有f（－x）＝f(x），且f（x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù),則()A．＜f(－1)＜f(2）B．f(－1)＜＜f(2）C．f(2）＜f（－1)＜D．f(2）＜＜f(－1)解析：∵函數(shù)f（x)對于任意實數(shù)x總有f(－x)＝f（x),∴f(－2）＝f（2）．∵f(x）在區(qū)間（－∞，－1］上是增函數(shù)，且－2＜＜－1，∴f（－2)＜＜f(－1)，即f（2）＜＜f（－1）．答案：D【例1－3】定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù),A(0，－1），B（3,1)是其圖象上的兩點,那么不等式｜f（x＋1）|＜1的解集為(）A．（－1，2）B．[3，＋∞)C．［2，＋∞)D．（－∞,－1］∪（2，＋∞）解析：∵A(0，－1),B(3，1)是函數(shù)f(x）圖象上的兩點，∴f(0)＝－1,f（3)＝1.由｜f（x＋1）|＜1，得－1＜f(x＋1）＜1,即f（0）＜f（x＋1）＜f(3)．∵f(x）是定義在R上的增函數(shù)，∴由單調(diào)函數(shù)的定義，可知0＜x＋1＜3?！啵?＜x＜2。答案：A2．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）圖象法對于簡單函數(shù)或可化為簡單函數(shù)的函數(shù),由于其圖象較容易畫出，因此,可利用圖象的直觀性來判斷函數(shù)的單調(diào)性，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．常見函數(shù)的圖象及其單調(diào)性如下表：函數(shù)類型正比例函數(shù)y＝kx（k≠0)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0）k＞0k＜0k＞0k＜0圖象單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)圖象單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b，2a)))上是減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a），＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b，2a)）)上是增函數(shù)，在eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a）,＋∞））上是減函數(shù)在（－∞,0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)在（－∞，0）和(0,＋∞)上都是增函數(shù)以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住,可以提高解題速度．【例2－1】寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y＝｜2x－1|；（2)y＝｜x2－3x＋2|；(3).分析：本題畫出各個函數(shù)的圖象后，就可以得出相應的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減區(qū)間了．圖1解：(1）y＝｜2x－1｜＝如圖1所示,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)y＝｜x2－3x＋2|＝如圖2所示,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和[2，＋∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,1]和。圖2圖3(3).如圖3所示,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,－3)和(－3，＋∞）．談重點由圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對于函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，可以根據(jù)圖象及結(jié)合基本函數(shù)的單調(diào)性來尋找的．對于有些函數(shù),如果能夠畫出函數(shù)的圖象，那么尋找單調(diào)區(qū)間就比較容易了，此類題目通常是與基本函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及后面學的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等)有關(guān)的函數(shù)．【例2－2】已知四個函數(shù)的圖象如下圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是(）解析：已知函數(shù)的圖象判斷其在定義域內(nèi)的單調(diào)性，應從它的圖象是上升的還是下降的來考慮．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知選項B中的函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)．答案:B談重點單調(diào)函數(shù)的圖象特征函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上是在指定的區(qū)間(也可以是定義域）從左到右圖象越來越高或越來越低（注意一個點也不能例外，如本例C中的函數(shù)只有一個點例外,受此點影響，該函數(shù)在整個定義域上不具有單調(diào)性)，這是函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)圖象上的直觀表現(xiàn)．【例2－3】畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋3的圖象,說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性．分析：含有絕對值符號的函數(shù)解析式，可根據(jù)絕對值的意義，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象后,觀察曲線在哪些區(qū)間上是上升的，在哪些區(qū)間上是下降的，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性．解：當x≥0時,f(x)＝－(x－1)2＋4，其開口向下,對稱軸為x＝1，頂點坐標為(1,4)，且f(3)＝0,f(0)＝3；當x＜0時，f（x）＝－(x＋1)2＋4，其開口向下，對稱軸為x＝－1，頂點坐標為(－1,4)，且f（－3）＝0。作出函數(shù)的圖象(如圖）,由圖看出，函數(shù)在（－∞，－1］，[0,1］上是增函數(shù)，在［－1，0],［1,＋∞）上是減函數(shù)．辨誤區(qū)寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間易忽略的問題1．如果一個函數(shù)有多個單調(diào)增(減)區(qū)間,這些增(減）區(qū)間應該用逗號隔開（即“局部”）或用“和”來表示，而不能用并集的符號“∪"連接;2．確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要有整體觀念，本著寧大勿小的原則，即求單調(diào)區(qū)間則應求“極大”區(qū)間．如雖然函數(shù)y＝x2在區(qū)間[2，3］，[5,9]，[1，＋∞）上都是遞增的，但在寫這個函數(shù)的遞增區(qū)間時應寫成［0，＋∞），而不能寫區(qū)間[0,＋∞）的任一子區(qū)間;3．書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點的開或閉沒有嚴格規(guī)定，若函數(shù)在區(qū)間端點處有定義且圖象在該點處連續(xù)，則書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,既可以寫成閉區(qū)間,也可以寫成開區(qū)間；若函數(shù)在區(qū)間端點處沒有定義,則書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須寫成開區(qū)間．(2)定義法如果要證明一個函數(shù)的單調(diào)性，目前只能嚴格按照定義進行,步驟如下：①取值:設(shè)x1，x2為給定區(qū)間內(nèi)任意的兩個值,且x1＜x2（在證明函數(shù)的單調(diào)性時，由于x1，x2的取值具有任意性,它代表區(qū)間內(nèi)的每一個數(shù)，所以,在證題時不能用特殊值來代替它們）；②作差變形：作差Δy＝f（x2）－f(x1)，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值的符號的方向變形(作差后，盡量把差化成幾個簡單因式的乘積或幾個完全平方式的和的形式，這是值得學習的解題技巧，在判斷因式的正負號時，經(jīng)常采用這種變形方法)；③定號:確定差值Δy的符號，當符號不確定時,可考慮分類討論(判斷符號的依據(jù)是自變量的范圍、假定的大小關(guān)系及符號的運算法則）；④判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論（若Δx＝x2－x1與Δy＝f（x2)－f（x1)同號，則給定函數(shù)是增函數(shù);異號，就是減函數(shù)）．【例2－4】（1)證明函數(shù)在定義域上是減函數(shù)；(2）證明函數(shù)f（x）＝x3＋x在R上是增函數(shù)；(3)證明函數(shù)f（x)＝x＋在（0，1)上為減函數(shù)．分析:證明函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是對函數(shù)在某一區(qū)間上任意兩個函數(shù)值f(x1），f（x2)的差Δy＝f（x2)－f（x1)進行合理的變形，盡量變?yōu)閹讉€最簡單的因式的乘積或幾個完全平方式的和的形式．證明：(1）的定義域為[0，＋∞)，任取x1,x2∈[0，＋∞),且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2)－f(x1)＝＝，由單調(diào)函數(shù)的定義可知，函數(shù)在定義域［0，＋∞)上是減函數(shù)．(2)設(shè)x1,x2∈R，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2）－f(x1）＝(x23＋x2)－（x13＋x1）＝(x23－x13）＋（x2－x1）＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x12）＋（x2－x1)＝(x2－x1）(x22＋x1x2＋x12＋1)＝，由單調(diào)函數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)＝x3＋x在R上是增函數(shù)．（3）設(shè)x1,x2∈(0,1)，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0,Δy＝f(x2）－f（x1）＝＝(x2－x1）＋＝(x2－x1）＝?！?＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1x2＞0?！唳＝f(x2）－f(x1）＜0?！嘤蓡握{(diào)函數(shù)的定義可知，函數(shù)在(0，1)上為減函數(shù)．辨誤區(qū)利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性需謹慎在第（1）題中，有的同學認為由0≤x1＜x2，可得0≤eq\r(x1）＜eq\r（x2)，這種證明實際上利用了函數(shù)y＝eq\r（x)的單調(diào)性，而y＝eq\r(x)的單調(diào)性我們沒作證明,因此不能使用；在第（1）題中還使用了“分子有理化”的變形技巧，要注意觀察這類題目的結(jié)構(gòu)特點．3．利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩個函數(shù)值的大小若函數(shù)y＝f（x）在給定的區(qū)間A上是增函數(shù)，設(shè)x1,x2∈A，且x1＜x2，則有f（x1)＜f（x2）；若函數(shù)y＝f(x）在給定的區(qū)間A上是減函數(shù),設(shè)x1，x2∈A,且x1＜x2，則有f（x1)＞f（x2)．所以，當給定的兩個自變量在同一單調(diào)區(qū)間上時，可直接比較相應的兩個函數(shù)值的大?。駝t，可以先把它們轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用單調(diào)性比較大?。纠?】設(shè)函數(shù)f（x)是區(qū)間（0，＋∞)上的減函數(shù)，那么f(a2－a＋1）與的大小關(guān)系為________．解析：∵a2－a＋1＝＞0，又∵f(x）在(0，＋∞）上是減函數(shù)，∴當時，a2－a＋1＞，有f（a2－a＋1)＜；當時，a2－a＋1＝，有f(a2－a＋1）＝.綜上可知，f(a2－a＋1）≤。答案：f(a2－a＋1)≤4．利用函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍已知函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍時，要注意利用數(shù)形結(jié)合的思想,運用函數(shù)單調(diào)性的逆向思維思考問題．這類問題能夠加深對概念、性質(zhì)的理解．例如：已知函數(shù)f（x)＝x2－2(1－a）x＋2在（－∞，4]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍．由于二次函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù),遇到二次函數(shù)就畫圖象，會給我們研究問題帶來很大方便．要使f(x)在（－∞，4]上是減函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象可知，只要對稱軸x＝1－a≥4即可，解得a≤－3。談重點對分段函數(shù)的單調(diào)性的理解求分段函數(shù)在定義域上的單調(diào)性問題時，不但要考慮各段上函數(shù)的類型及其單調(diào)性，而且還要考慮各段圖象之間的上下關(guān)系．【例4】已知函數(shù)是（－∞，＋∞)上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．分析：函數(shù)f(x）是一個分段函數(shù)，其圖象由兩部分組成．當x＜1時，f(x）＝(3－a)x＋4a,其圖象是一條射線(不包括端點）;當x≥1時，，其圖象由a的取值確定，若a＝0，則為一條與x軸重合的射線,若a≠0，則為反比例函數(shù)圖象的一部分（曲線)．已知函數(shù)f(x）是(－∞，＋∞）上的減函數(shù)，則在兩段上必須都是遞減的，且要保證x＜1時的圖象位于x≥1時的圖象的上方。解：由題意知，函數(shù)f(x)＝（3－a）x＋4a（x＜1）與(x≥1）都是遞減的，且前者圖象位于后者圖象的上方（如圖所示)．∴即∴a＞3.∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a＞3}．5．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值若函數(shù)在給定的區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),可利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．若給定的單調(diào)區(qū)間是閉區(qū)間，函數(shù)的最值在區(qū)間的兩個端點處取得，也就是說，若函數(shù)f（x)在某一閉區(qū)間[a，b］上是增函數(shù),則最大值在右端點b處取得,最小值在左端點a處取得;若函數(shù)f(x)在某一閉區(qū)間［a，b]上是減函數(shù)，則最大值在左端點a處取得，最小值在右端點b處取得．解題時也可結(jié)合函數(shù)的圖象，得出問題的答案．【例5－1】求的最小值．分析：求函數(shù)的最小值，可先利用單調(diào)函數(shù)的定義判斷其在定義域上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求出最值．解：的定義域為［1,＋∞)，任取x1，x2∈［1,＋∞），且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0,則Δy＝f(x2）－f（x1)＝(x2＋)－(x1＋)＝（x2－x1）＋(－）＝(x2－x1）＋＝（x2－x1)·.∵Δx＝x2－x1＞0,1＋＞0，∴f（x2)－f(x1)＞0?！鄁(x)在［1，＋∞）上為增函數(shù)，∴f(x）min＝f(1）＝1。【例5－2】已知函數(shù)(x∈[－3，－2])，求函數(shù)的最大值和最小值．解：設(shè)－3≤x1＜x2≤－2,則f(x1）－f（x2）＝＝＝.由于－3≤x1＜x2≤－2，則x1－x2＜0，x1＋1＜0,x2＋1＜0。所以f（x1）＜f（x2)．所以函數(shù)在[－3,－2]上是增函數(shù)．又因為f（－2)＝4，f(－3）＝3，所以函數(shù)的最大值是4，最小值是3。6．利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)的單調(diào)性具有可逆性,即f（x)在區(qū)間D上是遞增的，則當x1，x2∈D且f(x1）＞f(x2)時，有x1＞x2〔事實上，若x1≤x2，則f(x1）≤f(x2)，這與f(x1)＞f(x2)矛盾〕．類似地，若f（x）在區(qū)間D上是遞減的，則當x1，x2∈D且f（x1）＞f(x2)時，有x1＜x2.利用函數(shù)單調(diào)性的可逆性，可以脫去某些函數(shù)符號，把抽象的不等式化為具體的不等式．此時要特別注意處在自變量位置的代數(shù)式必須滿足定義域要求，最后取幾個不等式的解的交集即可．利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量值的大小，在解決比較函數(shù)值的大小問題時,要注意將對應的自變量放在同一個單調(diào)區(qū)間上．【例6】已知y＝f（x）在定義域(－1，1）上是減函數(shù)，且f（1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范圍．分析：由于函數(shù)y＝f（x)在定義域(－1，1)上是減函數(shù),且f(1－a)＜f（a2－1)，所以由單調(diào)函數(shù)的定義可知1－a∈（－1,1），a2－1∈（－1,1)，且1－a＞a2－1，解此關(guān)于a的不等式組,即可求出a的取值范圍．解：由題意可得由①得0＜a＜2,由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|＜，∴,且a≠0。由③得a2＋a－2＜0,即(a－1)(a＋2）＜0，∴或∴－2＜a＜1.綜上可知0＜a＜1，∴a的取值范圍是0＜a＜1。7．復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法一般地，如果f(x）,g(x)在給定區(qū)間上具有單調(diào)性，則可以得到如下結(jié)論:（1）f(x)，g(x）的單調(diào)性相同時，f（x）＋g（x）的單調(diào)性與f（x)，g(x)的單調(diào)性相同．（2）f（x），g(x)的單調(diào)性相反時，f（x）－g（x）的單調(diào)性與f（x）的單調(diào)性相同．（3）y＝f(x)在區(qū)間I上是遞增(減)的,c，d都是常數(shù)，則y＝cf（x）＋d在I上是單調(diào)函數(shù)．若c＞0，y＝cf(x）＋d在I上是遞增（減）的；若c＜0,y＝cf（x)＋d在I上是遞減(增)的．（4)f(x)恒為正或恒為負時,y＝eq\f(1,fx）與y＝f(x)單調(diào)性相反．(5）若f(x）＞0,則函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\r(fx)具有相同的單調(diào)性．(6)復合函數(shù)y＝f[g(x)］的單調(diào)區(qū)間求解步驟：①將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f（u),u＝g（x);②分別確定各個函數(shù)的定義域；③分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;④若兩個函數(shù)在對應區(qū)間上的單調(diào)性相同，則y＝f[g（x)]為增函數(shù)；若不同,則y＝f[g(x）］為減函數(shù)．該法可簡記為“同增異減”．值得注意的是：在解選擇題、填空題時我們可直接運用此法，但在解答題中不能利用它作為論證的依據(jù)，必須利用定義證明．【例7】求的單調(diào)區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性．分析：這是一個復合函數(shù)，應先求出函數(shù)的定義域,再利用復合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則確定其單調(diào)性．解：要使函數(shù)有意義，需滿足x2＋2x－3≥0,即（x－1)(x＋3)≥0。∴或∴x≥1，或x≤－3?！嗪瘮?shù)的定