伍德里奇《計量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論》復(fù)習(xí)筆記和課后習(xí)題詳解-含有定性信息的多元回歸分析：二值變量

伍德里奇《計量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論》復(fù)習(xí)筆記和課后習(xí)題詳解■含有定

性信息的多元回歸分析：二值變量

第7章含有定性信息的多元回歸分析：二值(或虛擬)變量

7.1復(fù)習(xí)筆記

考點一：帶有虛擬自變量的回歸*****

1.對定性信息的描述

定性信息是指通常以二值信息(0-1)的形式出現(xiàn)的信息，如性別、

是否結(jié)婚等。在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，二值變量又稱為虛擬變量。

2.只有一個虛擬自變量

(1)只有一個虛擬自變量的簡單模型

考慮決定小時工資的簡單模型：wage=[30+60female+pleduc

根據(jù)多元回歸的解釋方式，表示控制不變時,

+uo60educfemale

變化1單位給wage帶來的變化。假定零條件均值假定E(u|female,

educ)=0成立,那么：50=E(wage|female=1,educ)-E

(wage|female=0,educ),其中female=1表示女性,female

=0表示男性。可以發(fā)現(xiàn)，在任意教育水平下，男性與女性的工資差異

是固定的，女性工資比男性工資多

60o

除了P0之外，模型中只需要引入一個虛擬變量。因為female+

所以引入兩個虛擬變量會導(dǎo)致完全多重共線性，即虛擬變

male=lz

量陷阱。

(2)當(dāng)因變量為log(y)時，對虛擬解釋變量系數(shù)的解釋

當(dāng)變量中有一個或多個虛擬變量，且因變量以對數(shù)的形式存在時,

虛擬變量的系數(shù)可以

理解為百分比的變化。將虛擬變量的系數(shù)乘以100,表示的是在

保持所有其他因素不變時y的百分?jǐn)?shù)差異，精確的百分?jǐn)?shù)差異為：

其中八

100-[exp(Api)-l]e

Pl是一個虛擬變量的系數(shù)。3.使用多類別虛擬變量

(1)在方程中包括虛擬變量的一般原則

如果回歸模型具有g(shù)組或g類不同截距，一種方法是在模型中包

含g-1個虛擬變量和一個截距?；M的截距是模型的總截距，某一組

的虛擬變量系數(shù)表示該組與基組在截距上的估計差異。如果在模型中

引入g個虛擬變量和一個截距，將會導(dǎo)致虛擬變量陷阱。

另一種方法是只包括g個虛擬變量，而沒有總截距。這種方法存

在兩個實際的缺陷：①對于相對基組差別的檢驗變得更繁瑣；②在模

型不包含總截距時，回歸軟件通常都會改變R2的計算方法。具體而

言,就是公式R2=1-SSR/SST中的總平方和SST,被一個沒有將y

i減去其均值的總平方和SST0取代，由此得到的R02=l-SSR/SST

0稱為未中心化的R2,從而有可能使得擬合優(yōu)度指標(biāo)失效。SST0的

計算公式為：

2

01SSTn

iiy==1(2)通過虛擬變量來包含序數(shù)信息

假設(shè)要估計城市信用等級對市政債券利率(MBR)的影響。城市

信用等級是一個序數(shù)變量，范圍是0~4,稱這個變量為CR?？梢詫?/p>

CR的每個值都定義一個虛擬變量。由于有5個類別，所以可包括4個

虛擬變量，將零信用等級定為基組并省略。若CR=1,則CR1=1,

否貝I」CR1=O;若CR=2,貝UCR2=1,否貝！JCR2=0,以止匕類推。

因止匕，可以轉(zhuǎn)化為估計模型：MBR=PO+61CR1+62CR2+

63CR3+64CR4+其他因素。

以61為例，系數(shù)的解釋為：61為信用等級為1級的城市和信用

等級為0級的城市之間在MBR上的差異(保持其他因素不變)。

考點二：涉及虛擬變量的交互作用★★★★

1.虛擬變量之間的交互作用

具有定量意義的變量在回歸模型中可以具有交互作用，類似的，

虛擬變量也能產(chǎn)生交互作用。虛擬變量的交互作用就是在模型中引入

虛擬變量的乘積形式。

2.容許出現(xiàn)不同的斜率

(1)不含交互項的模型

在多元回歸模型中存在任意幾個組之間的截距不同的情況。在有

些情況下，虛擬變量也可與非虛擬的解釋變量有交互作用，從而出現(xiàn)

不同的斜率。

考慮模型：log(wage)=(pO+SOfemale)+(01+

Slfemale)educ+u。當(dāng)female=0時，模型可以寫成：log

(wage)=pO+pleduc+u;當(dāng)female=1時，模型變?yōu)椋簂og

度量的是男性和女性

(wage)=(30+60+(pl+51)educ+uo60

在截距上的差異，而61度量男性和女性在斜率(即受教育回報)上的

差異。

(2)含有交互項的模型

考慮模型：log(wage)=p0+80female+pleduc+

一個重要的假設(shè)是，男性和女性受教育的回報是

81female-educ+uo

相同的，這可以表述成H0:81=0。這意味著log(wage)對educ

的斜率對男性和女性而言無差異。在這個虛擬假設(shè)之下，允許在不同

教育水平下，男性和女性的工資存在差異，但性別工資差異在各種相

同教育水平上必須相同。

若對受教育程度相同的男性和女性的平均工資相同這個假設(shè)感興

趣，則50和61都必須同時為零。必須使用F檢驗來檢驗虛擬假設(shè)H0:

80=0,81=0o

3.檢驗不同組之間回歸函數(shù)上的差別

在含有k個解釋變量和1個截距項的一般模型中，假設(shè)有兩組g二

和。對和將模型寫成:

1g=2g=lg=2y=Pg,O+pg,lxl+pg,

2x2+...+0g,kxk+uo

檢驗這兩組的截距和所有斜率都相同，就意味著產(chǎn)生了k+1個約

束?？梢哉J(rèn)為無約束模型除了截距和變量本身外，還有一組虛擬變量

和交互項，那么其自由度為n-2(k+1).無約束模型的殘差平方和

可通過兩個分離的回歸得到，這兩個不同回歸分別對應(yīng)著兩個不同的

組，令SSR1(SSR2)表示針對第一組(第二組)估計式所得到的殘

差平方和，它涉及nl(n2)個觀測。而約束模型的殘差平方和就是將

兩組混合在一起并估計同一個方程時所得到的SSRp。

在此基礎(chǔ)上，就可以計算F統(tǒng)計量：F={[SSRp-(SSR1+

SSR2)]/(SSRl+SSR2)}-{[n-2(k-1)]/(k+1)}o其中，n為

總觀測次數(shù)。在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，這也被稱為鄒至莊統(tǒng)計量。鄒至莊檢

驗的一個重要局限是原假設(shè)要求各組之間不存在任何差異。但在更多

情況下，允許組間的截距不同，然后再來檢驗斜率的差別會更有意義。

鄒至莊檢驗的步驟包括：

(1)分別對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸估計得到殘差平方和SSR1和SSR2,

兩者之和即為無約束模型的殘差平方和。

(2)將兩組數(shù)據(jù)混合進(jìn)行估計得到殘差平方和SSRp,這就是為

受約束回歸殘差平方和。

(3)構(gòu)造F統(tǒng)計量，并與給定顯著水平下F的臨界值進(jìn)行比較。

若F值大于臨界值，

則拒絕原假設(shè)，即說明兩個回歸函數(shù)存在差異。

考點三：二值因變量：線性概率模型★★★★

1.線性概率模型

考慮模型：y=BO+Blxl+02x2+...+Bkxk+uo在零條件均

值假定MLR.4成立時，E(y|x)=po+plx1+p2x2+...+pkxke

當(dāng)y是一個取值為0和1的二值變量時，P(y=l|x)=E(y|x)

總是成立的。因此有:P(y=1|x)=p0+plx1+p2x2+...+pkx

ko這意味著成功的概率p(x)=P(y=l|x)是所有x變量的一個

線性函數(shù)。

方程P(y=1|x)=p0+plx1+p2x2+...+0kxk是二值響應(yīng)

模型的一個例子，P(y=l|x)被稱為響應(yīng)概率。因為響應(yīng)概率是所

有參數(shù)P的線性函數(shù)，所以這類模型又被稱為線性概率模型(LPM)。

在LPM中，在保持其他因素不變時，印度量因xj的變化導(dǎo)致成功概

率的變化(j=1,2k):?P(y=l|x)=Pj?xje

2.線性概率預(yù)測

以二值變量為因變量進(jìn)行預(yù)測時，預(yù)測的概率可能不會落在0~1

區(qū)間內(nèi)。令八yi表示擬合值，定義預(yù)測值iy在八yi1.5時取值為1,

并在八

yi

<0.5時取值為0?，F(xiàn)在，便得到一組預(yù)測值iy,這些預(yù)測值和y

i一樣，取值不是。便是1。利用yi和iy

的數(shù)據(jù),就可以得到正確預(yù)測yi=1和yi=0的頻率以及全部正

確預(yù)測的比例。若用百分比表示全部正確預(yù)測的比例，便是二值因變

量擬合優(yōu)度的一個廣泛使用的指標(biāo)。

3.線性概率模型可能存在異方差性

當(dāng)y是二值變量時，以x為條件的方差為:Var(y|x)=p(x)

[1-p(x)]0其中，p(x)=pO+plxl+...+pkxko這意味著，除

非概率與任何一個自變量都不相關(guān)，否則，線性概率模型中就一定存

在著異方差性。因此，由于y的二值特性，線性概率模型違背了一個

高斯?馬爾可夫假定。

4.離散因變量的回歸結(jié)果解釋

一般地，在假設(shè)MLR.1和MLR.4下：E(y|xl,x2,xk)

=P0+plxl+p2x2+...+pkxkopj是指在其他條件不變時，xj的增

加對y的期望值的影響。給定一組xj值，擬合值

A

p0+Aplxl+Ap2x2+...+Apkxk就是E(y|xl,x2,,xk)

的一個估計。因此Mj是當(dāng)?xj=1時，對y的平均變動的估計(保持

其他因素不變)。

7.2課后習(xí)題詳解

一、習(xí)題

1.利用SLEEP75中的數(shù)據(jù)(也可參見第3章習(xí)題3),我們得到

如下估計方程：

sleep=3840X3-0.1bytotwrk-11.7\educ-8.70砍c+().1+87.75mHc

(235.11)(0.018)(5.86)(11.21)(0.134)(34.33)

/i?706?R)?0/23.F-0.117

變量sleep是每周晚上睡眠的總分鐘數(shù)，totwrk是每周花在工作

上的總分鐘數(shù)，educ和age則以年為單位，而male是一個性別虛擬

變量。

(i)所有其他因素不變，有沒有男性比女性睡眠更多的證據(jù)？這

個證據(jù)有多強(qiáng)？

（ii）工作與睡眠之間有統(tǒng)計顯著的取舍關(guān)系嗎？所估計的取舍關(guān)

系是什么樣的？

（iii）為了檢驗?zāi)挲g在其他因素不變的情況下對睡眠沒有影響這

個原假設(shè)，你還需要另外做什么回歸？

答：（i）變量male的回歸系數(shù)是87.75,根據(jù)估計結(jié)果可知，男

性每周的睡眠時間要比女性每周的睡眠時間多近一個半小時。又因為

tmale=87.75/34.33-2.56

其值接近于99%的置信水平下的雙側(cè)檢驗的臨界值（大約為

2.58）,因此男性比女性睡眠更多的證據(jù)是相當(dāng)強(qiáng)的。

（ii）變量totwrk的t統(tǒng)計量的值為：

ttotwrk=-0.163/0.018*-9.06

這是非常顯著的。這個系數(shù)表明每周平均多工作一個小時（60分

鐘），對應(yīng)的平均每周晚上睡眠將減少0.163x60,9.8（分鐘）。

（iii）需要對不含變量age和age2的模型進(jìn)行回歸，以便得到R

r2,即受約束模型的R2。當(dāng)模型中含有變量age和age2時，當(dāng)且僅

當(dāng)兩個變量age和age2前的系數(shù)均為0時,才表明年齡在其他因素

不變的情況下對睡眠沒有影響這個原假設(shè)成立。

2BWGHT中的數(shù)據(jù)，可估計出如下方程：

log（hwfiht）=4.66一0.0044c/g,v+0.0093log（^famine）+0.016parity

（0.22）（0.0009）（0.0059）（0.006）

+O.O27male+0.055white

（0.010）（0.013）

/1=I388.R2=0.0472

和

log(hwfiht)=4.65-O.OO52c7g.v+0.011Olog(famine)

(0.38)(0.0010)(0.0085)

+0.017parity+0.034/wa/e

(0.006)(0.011)

+0,045while-0.0030molheduc+0.0032fatheduc

(0.015)(0.0030)(0.0026)

^=1191./?2=0.0493

變量定義和例4.9中一樣，但我們增加了兩個虛擬變量：一個虛擬

變量表明孩子是不是男孩，另一個虛擬變量則表明這個孩子是不是白

人。

(i)在第一個方程中，解釋變量cigs的系數(shù)。具體而言，每天多

抽10根煙對出生體重有何影響？

(ii)在第一個方程中，保持其他因素不變，預(yù)計一個白人孩子的

出生體重比一個非白人孩子重多少？這個差異是統(tǒng)計顯著的嗎？

(iii)評價motheduc的估計影響和統(tǒng)計顯著性。

(iv)從這些給定信息中，為什么不能計算出檢驗motheduc和

fatheduc聯(lián)合顯著性的F統(tǒng)計量？為了計算這個統(tǒng)計量，還需要做些

什么？

答［(i:如果變量cigs每增加10根,即每天多抽10根煙,則：

Alog(6wg/?/)=-0.0044x10=-0.044

即嬰兒出生體重將減少大約4.4%。

(ii)在第一個方程中，保持其他因素不變，預(yù)計一個白人孩子比

一個非白人孩子的出生體重多5.5%。另外，twhite*4.23,在一般常

用的顯著性水平下都是顯著的。因此，一個白人孩子與一個非白人孩

子的出生體重在統(tǒng)計上是有顯著差異的。

(iii)如果母親的教育年限每增加1年，孩子的出生體重將增加

這個影響是很小的，其因此母親的受教育年

0.3%,