高一數學《考點題型技巧》精講與精練高分突破系列（人教A 版2019必修第二冊）8 .3 .2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

高一數學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊）

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

【考點梳理】

考點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積

圖形表面積公式

底面積：S底=2n3

圓柱匚側面積：S他=2“/

2-rrr表面積：S=2nr（r+l）

底面積：S底=兀，

圓錐側面積：S^=nrl

旋轉體

表面積：S=7T7<r+/）

上底面面積：S上底="，2

下底面面積：S下底

圓臺

側面積：S他=兀（廠,/+”）

表面積：s=mr'？+戶+r‘/+〃）

考點二圓柱、圓錐、圓臺的體積

幾何體體積說明

圓柱底面圓的半徑為r,面積為

圓柱丫圜柱=S7i=也女

S,高為6

圓錐底面圓的半徑為〃面積為

圓錐V版惟兀/力

S,高為/?

丫圓臺+、/^一)〃圓臺上底面圓的半徑為/,面

圓臺積為S',下底面圓的半徑為r,

=1n(r2+rr,+r'2)h

面積為S,高為h

知識點三球的表面積和體積公式

1.球的表面積公式5=4—（/?為球的半徑）.

4

2.球的體積公式V=^TIR3.

【題型歸納】

題型一：圓柱的表面積和體積

1.一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（）

1Ao

A.16〃B.8乃C.—D.一

n7t

2.已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側面積的比是（）

1+2%1+4^1+1+4乃

A.--------B.--------C.--------D?--------

2萬47r7T2左

59V

3.設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為5、S2,體積分別為K、匕.若它們的側面積相等，且U=7，則于的值是（）

345

A.2B.-C.-D.一

234

題型二：圓錐的表面積和體積

4.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內

轉回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則（）

B

A.圓錐的母線長為18B.圓錐的表面積為27兀

C.圓錐的側面展開圖扇形圓心角為60°D.圓錐的體積為18岳

5.圓錐的表面積為a兀，且它的側面展開圖是一個半圓，則圓錐的體積是（）

A.—nB.4萬C.M兀D.述力

3939

2

6.若一個圓錐的高和底面直徑相等，且它的體積為士乃，則此圓錐的側面積為（）

3

A.#）兀B.6萬C.6冗D.2&

題型三：圓臺的表面積和體積

7.圓臺的上、下底面半徑分別為10和20,它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角為180。，則這個圓臺的側面積為（）

A.600兀B.300兀

C.90071D.450兀

8.已知圓臺上、下底面的半徑分別為1和2,表面積為1E,則這個圓臺的體積為（)

7而「76

A.1岳兀B.-------71\_z.--------------D.7②

33

9.如圖，在四邊形ABC。中，ND4B=90。,ZADC=135°,AB=5,CD=2五,AD=2,則四邊形ABC。繞A。所在

直線旋轉一周所成幾何體的表面積為（

A.(60+4立);rB.(60+8&)乃

C.(56+80)%D.(56+4夜)%

題型四：球的表面積和體積

10.若一個球的外切正方體的表面積等于6cm2,則此球的體積為（）

A.-cm3B,""crrPC.—cm3D.娓"cnP

6836

11.已知正四棱錐P-ABCD的所有頂點都在球。的球面上，且正四棱錐的底面面積為6,側面積為6戶,

則球O的表面積為（）

32OR77

A.—71B.竺匕乃C.16萬D.324

33

12.底面為正方形，頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐的五個頂點在同一球面上，若該棱錐的底

面邊長為2月，側棱長為2面，則這個球的表面積為（）

A.327tB.367rC.487tD.727t

【雙基達標】

一、單選題

13.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3,圓臺的側面積為84兀，則圓臺較小底面的半徑為

（）

A.6B.7C.8D.9

14.已知三棱錐P-ABC的頂點都在球。的球面上，AB=AC=2,BC=2&，平面ABC,若球。的體積為

36兀，則該三棱錐的體積是（）

A.也B.5C.也D.§

333

15.已知三棱錐A-BCO的四個頂點都在球。的球面上，底面3CO是邊長為2道的正三角形，若三棱錐A-88體

積的最大值為6,則球。的表面積為（）

A.164B.18%

-567—64乃

C.——D.——

33

16.牟合方蓋是由我國古代數學家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計算球體體積的方法，該方法不直接給出球體的

V%4

體積，而是先計算牟合方蓋的體積.劉徽通過計算，“牟合方蓋''的體積與球的體積關系為一，并且推理出了“牟

合方蓋”的八分之一的體積計算公式，即第=匕幡羞，從而計算出％=；》產.如果記所有棱長都為r的正四棱錐

的體積為V,則5群：丫=（）

A.芋B.1C.y/2D.2&

17.已知一個母線長為1的圓錐的側面展開圖的圓心角等于240°,則該圓錐的側面積為（）

.2忑18?475c2

A.------7iDB.—C.——D.-TC

8181813

18.已知正四面體AB8的表面積為26，且A、B、C,。四點都在球。的球面上，則球。的體積為（）

A.2&B.3C.延式D.37t

42

19.已知圓柱的母線長是2,它的兩個底面圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的表面積為（）

A.4亞兀B.（8+6右）%C.T06兀D.（10+4石）%

20.已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何

體的表面積為（）.

A.-B.生色C.87tD.4缶

33

21.已知圓錐的頂點為S,底面圓心為0,以過SO的平面截該圓錐，所得截面為一個面積為4的等腰直角三角形,

則與該圓錐同底等高的圓柱的側面積為（）

A.8&乃B.8乃C.4萬兀D.16萬

【高分突破】

-：單選題

22.一個長、寬、高分別為80cm、60cm、100cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現(xiàn)放入一個直徑為40cm的

木球（水沒有溢出）.如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）

人5萬n10乃〃204、80乃

A.——cmB.-----cmC.-----cmD.-----cm

369996

23.已知三棱錐P—ABC的頂點都在球。的球面上，AB=AC=2,BC=20,依_L平面ABC,若該三棱錐的體

Q

積是:，則球。的表面積是（）

A.32乃B.32夜乃C.24揚D.24乃

24.已知三棱錐P-ABC的底面是正三角形，AB=M,PA=2,PAYBC,PBLAC,PC，A3,則三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為（）

A.3B,電

327

C.4冗D.—兀

3

25.在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊喝冷飲降溫，如圖是一個高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器

內有一定量的水.若在高腳杯內放入一個半徑為2cm的球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經過冰

塊的球心。（水沒有溢出），則原來高腳杯內水的體積是（）

26.若圓臺的高為4,母線長為5,側面積為45兀，則圓臺的上、下底面的面積之和為（）

A.9兀B.36兀

C.45兀D.81兀

4

27.已知圓錐的頂點為S,母線SASB所成角的余弦值為于SA與圓錐底面所成角為60。，若△S45的面積為12,則

該圓錐的側面積為（）

A.157B.207rC.30"D.40萬

二、多選題

28.圓臺的上、下底面半徑分別是10和20,它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180。，則圓臺的（）

A.母線長是20B.表面積是llOOr

C.高是10及D.體積是70°；有不

29.已知一個圓柱底面半徑為2,高為4乃，則下列關于此圓柱描述正確的是（）

A.側面展開圖是一個正方形B.表面積是16/+8萬

C.體積是16萬2D.此圓柱有內切球

30.如圖所示的圓錐的底面半徑為3,高為4,則（）

A.該圓錐的母線長為5B.該圓錐的體積為12萬

C.該圓錐的表面積為15萬D.三棱錐S-ABC體積的最大值為12

31.已知一圓錐底面圓的直徑為3,高為地，在該圓錐內放置一個棱長為。的正四面體，并且正四面體在圓錐內

2

可以任意轉動，則。的值可以為（）

冗冗

A.7B.C.1D.7

32.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結論正確的是（)

A.圓柱的側面積與球的表面積相等

B.圓錐的側面展開圖的圓心角為萬

C.圓柱的表面積為4〃R2

D.圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和

33.在南方不少地區(qū)，經?？吹饺藗冾^戴一種用木片、竹建或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，隨著旅游

和文化交流活動的開展，斗笠也逐漸成為了一種時尚旅游產品.有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，根據

人的體型、高矮等制作成大小不一的型號供人選擇使用，不同型號的斗笠大小經常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底

面圓直徑長）兩個指標進行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬20力厘米，關于此斗笠，下面說

法正確的是（）

A.若每100平方厘米的斗笠面需要價值1元的材料?，此斗笠的制作費為26乃元

B.用此斗笠盛水，則需要1000萬立方厘米的水才能將斗笠裝滿

C.斗笠軸截面（過頂點和底面中心的截面圖形）的頂角為120

D.過斗笠頂點和斗笠側面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為1008平方厘米

三、填空題

34.已知某圓柱的上、下底面圓周均在半徑為26的球面上，且該圓柱的側面積和體積的數值相等，則該圓柱的高

h=.

35.點A,B,C在球。表面上，AB=2,BC=2百，ZABC=90°,若球心O到截面ABC的距離為2近,則該球

的體積為.

36.已知圓錐的表面積為3兀cn?,且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為cm3.

37.如圖所示的圓臺002,在軸截面ABC。中，8=243,且鉆=AD=3C=2cm,則該圓臺的體積為

cm3;側面積為cm'.

38.如圖，半球內有一內接正四棱錐5-4JCD,該四棱錐的體積為逑，則該半球的表面積為

3

39.如圖1所示的幾何模型是由一個半圓和矩形組成的平面圖形，將半圓沿直徑A8折成直二面角（如圖2）后發(fā)

現(xiàn)，E在半圓弧（不含A、8點）上運動時，三棱錐E-48。的外接球始終保持不變，若4B=3,AD=4,則該三

棱錐外接球的表面積為

40.圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180。，那么圓臺的表面積是多

少？（結果中保留兀）

41.己知底面為正三角形，頂點在底面的正投影是正三角形的中心的三棱錐的高為1,底面邊長為2",其內有一

個球和該三棱錐的四個面都相切.求：

（1）棱錐的全面積；

（2）球的半徑.

42.已知圓錐的側面展開圖為半圓，母線長為2G.

（1）求圓錐的底面積；

（2）在該圓錐內按如圖所示放置一個圓柱，當圓柱的側面積最大時，求圓柱的體積.

43.（1）如圖1,在直角梯形ABCD中，AB//CD,BCLCD,CD=2AB=6,NAOC=45°,梯形繞著直線A3旋

轉一周，求所形成的封閉幾何體的表面積；（2）有一個封閉的正三棱柱容器，高為12,內裝水若干（如圖2,底面

處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖3,一個側面處于水平狀態(tài)），這時水面與各棱交點兒E,K分別為所在

棱的中點，求圖2中水面的高度.

圖3

圖1

44.如圖所示，四邊形A8CQ是直角梯形，其中AD//BC,若將圖中陰影部分繞AB旋轉一周.

(1)求陰影部分形成的幾何體的表面積.

(2)求陰影部分形成的幾何體的體積.

【答案詳解】

1.c

【詳解】

解：設圓柱的底面半徑為廠，高為力，

因為圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，

所以Zir=4,A=4,

2

所以〃=4,/*=—,

71

所以圓柱的體積為萬=3.

71

故選：C.

2.A

【詳解】

設正方形邊長為。，圓柱底面半徑為，易知圓柱高為。，2m?=”，r=三,

2乃

全面積為S=2++/=2萬X仁J+a2K+]12,而側面積為S，=/,

所以全面積與側面積之比這《=，-+1=與生.

SZ.TC21

故選：A.

3.B

【詳解】

設兩個圓柱的底面半徑和高分別為4,4和九，h，

5,_9犯29，43

由不=1，得一~=T>貝！|一=一

S?4M42

由圓柱的側面積相等，得2町％=2.也，即胸一色，

所以￡=巴守=二4

V27tr2/?,r22

故選：B.

4.D

【詳解】

設圓錐的母線長為/,以S為圓心，曲為半徑的圓的面積為5=萬『,

又圓錐的側面積$回他惻=乃”=3兀I,

因為圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了3周，

所以力2=3x3用,解得/=9,

所以圓錐的母線長為9,故選項A錯誤；

圓錐的表面積S=5碗惻+S底=3x萬x9+;rx32=36萬，故選項B錯誤；

因為圓錐的底面周長為2》x3=6萬，

設圓錐的側面展開圖扇形圓心角為a,

2萬

則6乃=a?9,解得a=餐，

所以圓錐的側面展開圖扇形圓心角為120°,故選項C錯誤；

圓錐的高。=-r2=J81-9=6A/2?

所以圓錐的體積為V=gx；rx32x6a=18&%，故選項D正確.

故選：D.

5.D

【解析】

【分析】

設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,根據圓錐的表面積為a兀，得到；r，+；r”=a；r,再由它的側面展開圖是一個半圓,

得到"=獷，聯(lián)立求得半徑和母線即可.

【詳解】

設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,

因為圓錐的表面積為a%

所以7rr2+7rrl=an,解得r2+rl=a

又因為它的側面展開圖是一個半圓，

所以仃/=："『，解得

所以『=得=24

所以圓錐的體積為：吟

故選：D

6.A

【解析】

【分析】

由已知求得圓錐的高和底面直徑，再求得母線長可得側面積.

【詳解】

〃屋2r二萬

設底面半徑為人由高為人=2r，所以V==r=1,h=2,

33

所以母線長為/=尸方=6，

所以側面積為S=7rrl=x1xV5=亞兀.

故選：A.

7.A

【解析】

【分析】

根據給定條件求出圓臺的母線長，再利用圓臺側面積公式計算得解.

【詳解】

圓臺的上底面圓半徑/=10,下底面圓半徑尸=20,

27x20=萬(/+x)

設圓臺的母線長為/,扇環(huán)所在的小圓的半徑為X,依題意有:

2)xl0=?x

x=20

得

/=20'

所以圓臺的側面積S=膜/+r)l=乃(20+10)x20=600萬.

故選：A

8.C

【解析】

【分析】

根據圓臺的上下底面積可計算出其上下底面的半徑與周長，根據周長之比計算出展開圖的扇形半徑之比，根據扇環(huán)

的面積求出母線/的長度，由兩個半徑、高、母線構成的直角梯形中求出圓臺的高，帶入圓臺的體積公式即可得出

答案.

【詳解】

依題意知圓臺上底面半徑為r=l,下底面半徑為R=2

O

如圖所示圓臺展開為一個圓環(huán)的一部分即ABCQ,其小扇形弧長幾=2萬，大扇形弧長公=4萬，由f=2知道

OA=AB=l,上底面的面積為T，下底面的面積為4萬，

則圓臺的側面積S=11萬-1-4萬=5席|0回一g0』。川=6n,

解得1=2,所以高力=J4-1=G,

圓臺的體積^=!乃力（廠2+”?+7?2）=遞%，

33

故選：C.

9.A

【解析】

【分析】

首先根據題意得到四邊形繞AD所在直線旋轉一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，再計算其表面積

即可.

【詳解】

四邊形ABCD繞AZ）所在直線旋轉一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，

如圖所示：

因為4=A8=5,所以圓臺下底面面積￡=25萬，

又因為CD=2五，ZACD=\35,所以￡。=4=2,1=次+（5-2）?=5,

所以圓臺的側面積S2"（4+4）/2=T（2+5）X5=35TT.

圓錐的側面積S3=；x2;zv;x/|=1x2兀x2x2亞=4叵兀.

所以幾何體的表面積為S=岳+$2+&=25t+35萬+4岳=（60+4夜年.

故選：A

10.A

【解析】

【分析】

設球的半徑為Rem,正方體棱長為a

cm,根據表面積和棱長的關系求出棱長，進而可得半徑，再用體積公式求球的體積即可.

【詳解】

設球的半徑為Rem,正方體棱長為acm,

6?2=6,.,.a—1cm,即2R=1,二R=；cm,

...球的體積V=&萬/?3=—cm3.

336

故選：A.

11.C

【解析】

【分析】

根據底面積和側面積計算正四棱錐的的高，再求解外接球的半徑進而求解外接球的表面積.

【詳解】

設正四棱錐的高為力，頂點到底邊的距離為/?’,外接球的半徑為R,則根據題意有

4x-Lx76/2-=677解得廳=#1,

22

又正四棱錐的高，底邊的一半和頂點到底邊的距離為直角三角形的三邊長

h2+解得力=3根據外接球的性質可知,

(/?-/;)2+R2

.\R=2

，球。的表面積為4兀箝=16兀，選項C正確.

故選：C.

12.A

【解析】

【分析】

設底面中心為E,根據題意PE_L平面ABC。，則根據球的性質可知，球心0在線段PE上，進而利用勾股定理求出

球的半徑，然后求出球的表面積.

【詳解】

如圖，設底面中心為E,根據題意PEL平面ABCQ,則根據球的性質可知，球心。在線段PE上，因為該棱錐的底

面邊長為26,側棱長為2面,

所以AC=J（2Gy+（2百『=2"，則CE=V^,

利用勾股定理：尸￡="2#）2-（#）2=3五,設外接球的半徑為R,

故（3拒-/?『+（"）2=叱，解得R=2近.

所以S球=4兀?（2a）=32兀.

故選：A.

13.B

【解析】

【分析】

設圓臺較小底面半徑為廠，由圓臺的側面積公式可計算出結果.

【詳解】

設圓臺較小底面半徑為r,則另一底面半徑為3r.由5=乃（「+3,>3=84%，

解得r=7.

故選：B.

14.A

【解析】

【分析】

三棱錐P-ABC放入長方體內，所以長方體的體對角線即為外接球直徑，即PC為球直徑，由球的體積求出PC的長

度，再求出尸8,由三棱錐體積公式求解即可.

【詳解】

因為A3=AC=2,BC=2近，

易知三角形ABC為等腰直角三角形，

又平面4BC,所以尸B為三棱錐P-43c的高，

則可將三棱錐P-ABC放入長方體內，如圖，

長方體的體對角線即為外接球直徑，即PC為球直徑,

:.PC=6

又PC=yJPB2+BC2=y/PB2+8=6，

解得PB=25,

所以三棱錐的體積V=1xLx2x2x2V7=垃，

323

故選：A

15.D

【解析】

【分析】

由三棱錐體積求出高，進而得出球體半徑和球心到底面8c。距離關系，結合勾股定理可求出球體半徑，即可求解

球。的表面積.

【詳解】

如圖，設。為球體球心，。為底面△38的中心，連接OAq。,。。,

因為底面58為邊長為2石的正三角形，所以叩邛x26=2,

所以當三棱錐A-BCD體積的最大值時，40。三點共線，

2

此時VA-HCD=1xx(2A/3)xAO,=6,解得AQ=273,

則球的半徑R=AO=￡?O,貝l]0a=2g-R,

在△ODQ中，由勾股定理可得g=OO；+DO;，即齊=22+(26-R『,

4.64江

解得R=耳，故球。的表面積s=4萬代=等.

故選：D

16.C

【解析】

【分析】

計算出力解,V,即可得出結論.

【詳解】

由題意，%最基=/-<%.=/-5*3'：、乃*尸=:，,

oo7T53

所有棱長都為"的正四棱錐的體積為/=gxrxrxb^3=《尸,

6

故選：C.

17.D

【解析】

【分析】

根據扇形的圓心角、弧長和半徑的關系以及扇形的面積求解.

【詳解】

解：將圓心角240?；癁榛《葹椋喝O圓錐底面圓的半徑為「

47r2

由圓心角、弧長和半徑的公式得：2R=(X1,即r=:

由扇形面積公式得：S=^-x|xl=y

所以圓錐的側面積為年.

故選：D.

18.C

【解析】

【分析】

由正四面體的性質特征，可知它的各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為“，則根據正四面體*的

表面積即可得出°=血,從而得出對應的正方體的棱長為1,而正方體的外接球即為該正四面體的外接球，由正方

體的外接球性質可得出外接球的半徑為正，最后根據球的體積公式即可得出結果.

2

【詳解】

解：正四面體各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為〃，

所以該正四面體的表面積為S=4xgxaxJ/—=&/=26,

所以又正方體的面對角線可構成正四面體，

若正四面體棱長為&,可得正方體的棱長為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，

所以外接球的直徑為右，半徑為半，所以球。的體積為［乃x［亭）=告兀.

故選：C.

19.D

【解析】

【分析】

先根據圓柱的外接球的性質，利用勾股定理求出圓柱的底面圓的半徑，再由圓柱的表面積公式S=2萬產+2乃〃，

求出圓柱的表面積.

【詳解】

解：由題可知，圓柱的母線長/=2,

則圓柱的底面圓的半徑為：7（研一12=有,

所以圓柱的表面積為：S=24r+24/7=2乂4乂（石）+24xj^x2=（10+45后）方.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查球的內接圓柱問題，考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象觀察能力，關鍵在于利用圓柱的外接

球的性質求出圓柱的底面圓的半徑.

20.D

【解析】

【分析】

由等腰直角三角形繞斜邊旋轉所得幾何體一圓錐體的性質，應用圓錐側面積公式求幾何體表面積即可.

【詳解】

曲面圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，如下圖示,

其表面積是兩個圓錐的側面積之和，圓錐的底面圓半徑為近，母線長為2,

則該幾何體的表面積S=2nrl=2兀x夜x2=4夜兀.

故選：D

21.B

【解析】

【分析】

依題意求得圓錐的底面半徑和高，進而可求得與該圓錐同底等高的圓柱的側面積.

【詳解】

設圓錐的底面半徑為，依題意知圓錐的高〃=/，則gx2rxr=4,所以r=2,

所以與該圓錐同底等高的圓柱的側面積S=2%，=8%.

故選：B.

22.B

【解析】

【分析】

根據木球在水中的體積等于水槽上升的體積，即可求解出水槽中水面上升的高度.

【詳解】

直徑為40cm的木球，一半在水中，一半在水上，

可得木球在水中的體積=3詈c〃八

?.?木球在水中的體積等于水槽上升的體積，

水槽上升的體積為Sh.

???水槽上升的高度人=(=罟

故選：B.

23.D

【解析】

【分析】

根據題意證求出總的長，因為三棱錐P-ABC放入長方體內，所以長方體的體對角線即為球直徑，即PC為球直徑,

因此求出PC的長度結合球的表面積公式即可求出結果.

【詳解】

解：因為AB=AC=2,BC=2應，

易知三角形4BC為等腰直角三角形，

又P8_L平面ABC,所以PB為三棱錐P-ABC的高，

11Q

因為三棱錐的體積V=§X5X2X2XP8=3,所以P8=4,

則可將三棱錐P-ABC放入長方體內，如圖

22

長方體的體對角線即為球直徑，即PC為球直徑，PC=ylPB+BC=2A/6

設球。的半徑為r,則，=(PC=卡，

所以球0的表面積5=4萬戶=24萬.

故選：D.

24.D

【解析】

【分析】

根據題意畫出圖形，證得三棱錐P-A8C為正三棱錐，結合球的截面性質求得外接球的半徑，利用球的表面積公式,

即可求解.

【詳解】

如圖所示，過點尸作PG_L平面A8C,連接AG交2C于D,

所以PGLBC,又由PA_L8C且所以BC_L平面PAG,可得BCLA。，

同理可證/WJ_CG,則G為等邊AABC的垂心，即中心，

則三棱錐P-ABC為正三棱錐，

設其外接球的球心為0,則。再PG上，連接。4,

在等邊AABC中，由AB=G，可得46=|，3-（日）2=1，則PG=J^^W=G，

設三棱錐P-MC的外接球的半徑為R,則N=（G-/?）?+『，解得尺=空，

3

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為S=4萬心=4"x（羊）2=殍.

故選：D.

25.A

【解析】

【分析】

由圖形，分別求圓錐的底面半徑和高，由圓錐和球的體積求出高腳杯內水的體積.

【詳解】

作OOLAC,垂足為。，則球的半徑/"=00=2,此時OA=2r=4,水面半徑R=0C=4xtan30。=迪,

3

設加入小球后水面以下的體積為V',原來水的體積為V,球的體積為匕『

所以水的體積為1~-“=；兀（￥3x4-|兀乂23=暇

故選：A

26.C

【解析】

【分析】

設圓臺的兩底面半徑分別為、公利用圓臺側面積公式求得4+2=9,利用勾股定理求得(a=9,進而求得

/=45,然后利用圓的面積公式求得上下底面積的和.

【詳解】

設圓臺的兩底面半徑分別為4，"則側面積萬({+4)/="(4+4)x5=45萬，

?"+4=9；

又???圓臺的高為4,母線長為5,二川+(4-4『=尸,即16+(4一4)2=25,

???(4-4)2=9,

2(/+42)=6_4)2+(4+￡)2=9+81=90,

4?+4=45,

，圓臺的上下底面積的和為町=45%，

故選：C

27.B

【解析】

【分析】

43

由cosZASB=g,可得sinNASB=g,再由ASAB的面積求出SA，由線面角可求出圓錐的底面半徑，進而可求出側

面積

【詳解】

44

由圓錐的頂點為S,母線&4，S3所成角的余弦值為:，BPcosZASB=1,

可得sinNASB=、1-"=工

V255

113

由△SAB的面積為12,可得-SA?sinNASB=12,即一5個乂一=12,

225

解得SA=2V10，

由SA與圓錐底面所成角為60。,

可得圓錐的底面半徑為:x&4=Jid,

所以該圓錐的側面積S=,x2;rrxSA=1x2;rxJidx2j^=20;r,

22

故選：B

28.ABD

【解析】

【分析】

如圖所示，設圓臺的上底面周長為C,由已知求得母線長，即可求得高，再利用表面積和體積公式即可求得表面積

和體積，從而得出答案.

【詳解】

解：如圖所示，

設圓臺的上底面周長為C,因為扇環(huán)的圓心角為180。，所以C=".SA,又C=10x2開，所以54=20,同理SB=40,

故圓臺的母線AB=SB-SA=20,高/?='AB?-(2o-io1=10&,

體積1/=3乃乂106、(102+10*20+202)=四寫叵］，

表面積S=^(10+20)x20+100^-+400^-=1100^.

故選：ABD.

29.ABC

【解析】

【分析】

根據圓柱的幾何性質對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

依題意，圓柱的底面半徑/'=2,高。=4萬，

A,底面周長為2;rx2=4乃=〃，所以側面展開圖是一個正方形，A正確.

B,圓柱的表面積為萬x2?x2+4萬x4萬=16/+8萬，B正確.

C,圓柱的體積為乃*22*4%=16/，C正確.

D,由于底面直徑為4,4<4萬，所以此圓柱沒有內切球，D錯誤.

故選：ABC

30.ABD

【解析】

【分析】

利用圓錐的的幾何特征和面積，體積公式求解.

【詳解】

該圓錐的母線長為由不=5,A正確：

該圓錐的體積為^*萬*3葭4=12］，B正確；

該圓錐的表面積為萬x3x(3+5)=24;r,C錯誤；

當O3_LAC時，AABC的面積最大，此時兀18c=gx6x3=9,三棱錐S—A8C體積的最大值為:x9x4=12,D正

確.

故選：ABD

31.ACD

【解析】

【分析】

根據題意可知，當“最大時，該正四面體外接于圓錐的內切球，結合內切、外接球問題，即可求解.

【詳解】

根據題意可知，當。最大時，該正四面體外接于圓錐的內切球.

設圓錐內切球的圓心為P,半徑為乙圓錐的底面圓心為。，半徑為R,頂點為S,作出軸截面，連接OS,PB,

如圖所示.

因為QA=OB=g,os=”,所以S4=SB=JOS2+OT=3,

所以△SAB為等邊三角形，且尸為△SAB的中心，

貝iJr=OP=OB-tanNP8O=R-tan30=-.

2

結合正方體的外接球問題，易知棱長為。的正四面體的外接球半徑為"a,