2024陜西高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

陜西省2024年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

（Word版）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

L業(yè)二()

1+Z

A.1+2/B.1—2/C.2+zD.2—/

2.設(shè)集合A={1,2,4},B=|X|X2-4X+W=0}.若A「B={1},則8=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百

八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層

燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A,1盞B.3盞C.5盞D,9盞

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某

幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部

分所得，則該幾何體的體積為（）

A.904B.634

C.427rD.36兀

2x+3y-3<0

5.設(shè)x,），滿(mǎn)意約束條件2A:-3〉+320,則z=2x+y的最小值是（）

y+3>0

A.—15B.—9C.1D.9

6.支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共

有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成果.老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀,

2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果，給乙看丙的成果，給丁看甲的成果.看后甲對(duì)大家說(shuō):

我還是不知道我的成果.依據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成果［開(kāi)始］

B.丁可以知道四人的成果

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成果

D.乙、丁可以知道自己的成果

8.執(zhí)行右面的程序框圖，假如輸入的〃=-1,則輸出的

S=（）

A.2B.3C.4D.5

9,若雙曲線(xiàn)C：r-==1（。＞0,8＞。）的一條漸

a~

近線(xiàn)被圓（工一2）2十）,2-4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的

/輸出S/

離心率為（）

［結(jié)束］

A.2B.C.V2D.3叵

3

10.已知直三棱柱ABC-A|B|G中，ZABC=120AB=2,BC=CC)=1,則異面直線(xiàn)AB1

與BQ所成角的余弦值為（）

正B巫

U?------D.

V-5

11.若二=-2是函數(shù)“r）=，+or-l）e*T的極值點(diǎn),則/（刈的微小值為（）

A.-1B.-2/c.5e'3D.1

12.已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則Pa,（P8+PC）的最小值是（）

34

A.-2B.C.D.-1

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽

到的二等品件數(shù)，則DX=.

14.函數(shù)f(x)=sirPx+gcosx-二xw0,巳）的最大值是

2

15.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，為=3,04=10,則支"二

k-l\

16.已知F是拋物線(xiàn)C：V=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N.若M為FN

的中點(diǎn)，則|FN|二

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必做題，每個(gè)試

題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

AABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為。也c,已知sin（A+C）=8sin20.

2

⑴求cosB

（2）若a+c=6,A48C面積為2,求反

18.（12分）

淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,

測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率直方圖如下：

I.設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事務(wù)：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的

箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率；

2.填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99席的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)與，且"2</(/)<2一3.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系X勿中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)G的極坐標(biāo)

方程為pcos0=4.

(1)附為曲線(xiàn)G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在線(xiàn)段仍上，且滿(mǎn)意|OM|"OP|=16,求點(diǎn)戶(hù)的軌跡G的

直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)力的極坐標(biāo)為(2,工)，點(diǎn)8在曲線(xiàn)C,上，求面積的最大值.

3'

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知。>()力>0,/+護(hù)=2,證明：

(1)+/)24；

(2)a+b<2.

參考答案

1.D

2.C

【解析】1是方程f—4x+〃?=0的解，戈=1代入方程得〃?=3

???--4x+3=0的解為x=l或工=3,.??3={1，3}

3.B

【解析】設(shè)頂層燈數(shù)為4,q=2、邑=辿2)=381,解得4=3.

1-2

4.B

【解析】該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半.

12,12,

V=K,--V|=7i-310--n-3-6=6371

5.A

【解析】目標(biāo)區(qū)域如圖所示，當(dāng)直線(xiàn))，=-2r+z取到點(diǎn)(-6,-3)時(shí)，所求？最小值為-15.

6.D

【解析】只能是一個(gè)人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作.

由此把4份工作分成3份再全排得C：.A；=36

7.D

【解析】四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最終甲說(shuō)的話(huà).

甲不知自己成果T乙,丙中必有一優(yōu)一良，(若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己成果；兩良亦然)T

乙看了丙成果，知自己成果一丁看甲，甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己成果.

8.B

【解析】S=0,&=1,。=-1代入循環(huán)得，％=7時(shí)停止循環(huán)，S=3.

9.A

【解析】取漸近線(xiàn))，=2工，化成一般式法-〃)，=(),圓心(2,0)到直線(xiàn)距離為/產(chǎn)，

a\l(r+b-

得d=4/,/=4,e=2.

10.C

【解析】M,N,P分別為9，網(wǎng)，B￡中點(diǎn),則AkBG夾角為例N和NP夾角或其補(bǔ)角(異

面線(xiàn)所成角為|0,1)

可知=崗=冬NP=gBC、=與,

作8c中點(diǎn)Q,則可知△PQM為直角三角形.

PQ=1,MQ=-AC

△A5C中，AC2=AB2+BC2-2AB-cosZABC

=4+l-2x2xl?（-；）=7,AC=y/l

則例Q=4I,則△AIQP中，MP=y）MQ2+PQ2

則△PMN中，cosNPNM=MN+"S

2MHNP

又異面線(xiàn)所成角為jo,：,則余弦值為平.

11.A

【解析】/'(%)=[/+(a+2)x+a—l}e*T,

則/,(-2)=[4-2(?+2)+6/-1].￡-3=0=>?=-1,

則/(x)=(x2_x_1)./T,尸(x)=+x_2).

令r(x)=。，得x=—2或x=l,

當(dāng)xv-2或x>l時(shí)，/(八)>0,

當(dāng)-2c<】時(shí)，r(“<o,

貝IJf(x)微小值為/(l)=-L

12.B

【解析】幾何法：

如圖，PB+PC=2PD（。為8C中點(diǎn)）,

則PA\PB+PC^=IPDPA.

要使抬尸。最小，則以，PO方向相反，即P點(diǎn)在線(xiàn)段AQ上,

貝lj2P/>E4min=-2|PA|-|PD|,

即求|/7才|以|最大值，

又網(wǎng)+四=|回=2x半=5

乙

則網(wǎng)呼I嗎t(yī)=圖1,

33

則22。％“加=-2x-=—-.

42

解析法：

建立如圖坐標(biāo)系，以4c中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

A(0,G),B(-l,0),c(l,0).

設(shè)P(X，y),

PA=(-x,>/3-y),PB=(-1-x,-y)

PC=(\-x,-y),

???PA(PB+PC)=2x2-2y[2y+2y2

則其最小值為2x（—：）=—?!，此時(shí)x=0,）'=等.

13.1.96

【解析】有放回的拿取，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中〃=0.02,〃=100

則0V=np(\-p)=100x0.02x0.98=1.96

14.1

【解析】/(A)=sin2x+V3cosx--xe

41

3

/(A)=1-COS?X+石COSJ-j

令cosx=t且fw[0,1]

y=-r+G+-

4

、2

I2J

則當(dāng)"當(dāng)時(shí)，/（X）取最大值1.

15.空

〃+1

【解析】設(shè)｛4｝首項(xiàng)為％,公差為d.

則/=4+2d=3

54=4%+6J=10

?./?(?+!)

求得4=1,d=\則M=〃，S?=---

1_2222

MS*1x22x3/?(/!-1)+

16.6

【解析】V=8x則〃=4,焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線(xiàn)/:x=—2,

如圖，M為b、N中點(diǎn)，

故易知線(xiàn)段BM為梯形AFMC中位線(xiàn),

??.CN=2,AF=4,

.,.\ME\=3

B

又由定義=A

且|MN|=|陰,

：.\NF\=\NM\+\MF\=6

【解析】(1)依題得：sinB=8sii?0=8?1-c°s"=火|一cosB).

Vsin2B+cos2B=l,

16(1-cosB)2+cos28=1,

(17cosB-15)(cosB-l)=0,

c15

??COSD=---9

Q

(2)由⑴可知sin8=—.

ac?sinA=2,

cosB=——.

17

.a2+c2-b215

?-------------------=-----I

lac17

?*-a2+c2-b2=15,

(a+c)2-2ac-/?2=15,

.?.36-I7-Z?2=15,

?*?/?=2.

18.

【解析】(1)記：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”為事務(wù)8

“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”為事務(wù)C

而月⑻=0.040x5+0.034x5+0.024x5+0.014x5+0.012x5

=0.62

P(C)=0.068x5+0.046x5+0.010x5+0.008x5

=0.66

P(4)=P(8)P(C)=0.4092

(2)

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

中/華-資*源5

6238

庫(kù)舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法3466

由計(jì)算可得K?的觀測(cè)值為

200x(62x66-38x34/

=15.705

100x100x96x104

15.705>6.635

二?P(K?26.635卜0.001

..?有99%以上的把握產(chǎn)量的養(yǎng)殖方法有關(guān).

(3)1-5=0.2,0.2-(0.004+0.020+0.044)=0.032

QQ

0.032-0.068=—,一x5=2.35

1717

50+2.35=52.35,，中位數(shù)為52.35.

19.【解析】

(1)令%中點(diǎn)為產(chǎn)，連結(jié)防，BF,CE.

?「E,F為PD,必中點(diǎn)，JEF為△24。的中位線(xiàn)，AEF^AD.

又ZE4D=ZABC=90°,/.BC//AD.

又「A8=8C='A。，.*?BC2L.-AD,EF￡￡C.

2~2

二.四邊形Bar為平行四邊形，,CE//BF.

又??,8/u面R48,「.CE〃面248

(2)以4)中點(diǎn)。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)44=4C=1,則0(0,0,0),A(0,-1,0),8(1,-1,0),C(1,0,0),以0,1,0),

P(0,0,6).

M在底面48CD上的投影為M',???MW_L8W.???ZMS”=45。，

^MBM'為等腰直角三角形.

?「△POC為直角三角形，|OC|=等|OP|,二/尸。0=60。.

設(shè)=|GWZ|=—?,|O"|=1-旦????M0,0.

3313，

怛M[=J(,a)+r+0、=J3"+1=a=a=*.|OM[=1一曰a=I一日.

.,.”卜一日,0,0,M1一4,0,告]

，及?向

AM=,AB=(\,0,0),設(shè)平面的法向量〃?=(0,y,z).

22)

y+乎4=0,in=(0?一瓜,2)

人力=((),2,0),人8=(1,0,0).設(shè)平面AB。的法向量為〃=((),0,z2),

n=(0,0,1).

.-m-nVio

??cos<rn,n>=?~~r-j-r一行?

KTH

二二面角M—的余弦值為巫

5

20.

【解析】⑴設(shè)P(x,y),易知N(x,0)

NP=Q,y)又NM=%NP

%yj,又M在橢圓上.

?皆+(3)=1,即丁+丁=2.

⑵設(shè)點(diǎn)2(-3，%),P(xp，?),(為豐0),

由已知：OP,PQ=(Xp,?)-(-3-?,%-)》)=1，

OP(OQ-OP]=OPOQ-y)F^=1,

OPOQ=|O葉+1=3,

設(shè)直線(xiàn)OQ：y=^-x

—3

因?yàn)橹本€(xiàn)/與L垂直.

3

“

故直線(xiàn)/方程為>,=—(.V--Vp)+yp,

令1y=0,得"％=3(工一%),

一§."Q=Xf，

i

x=_/.)b+x〃，

yPyQ=3+3與，

3"〃

若％=()，則-3.%=3,=-l,?=±1,

直線(xiàn)。。方程為丁=0,直線(xiàn)/方程為x=-l,

直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(-1,0),為橢圓C的左焦點(diǎn).

21.

【解析】⑴因?yàn)閒(x)=x(or-a-lnx)20,x>0,所以a.a-lnx'O.

令g(x)=ar-a-lnx,則g(l)=0,g，(x)==,

當(dāng)aWO時(shí),gf(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，但g(l)=0,x>l時(shí)，g(x)<。；

當(dāng)a>0時(shí)，令g[x)=O,得x=L

當(dāng)0<x/時(shí)，g\x)<0,g(x)單調(diào)減;當(dāng)時(shí)，g[x)>0,g(x)單調(diào)增.

aa

若0<4<1,則g(x)在(1,：)上單調(diào)減，g\)<g(l)=o；

若a>1,則g(x)在小1)上單調(diào)增，gg卜(1)=0;

若4=1,則g(x)min=g('=g(1)=。，g(x)2O.

綜上，67=1.

(2)f(x)=x2-x-jinx,/z(x)=2x-2-lnx,x>0.

1?v_1

令力(力=2工一2-Inx,則〃'(x)=2——=-,x>0.

令介'(x)=0得x=g,

當(dāng)OvxJ時(shí),//(x)<0,力(工)單調(diào)遞減；當(dāng)%>工時(shí)，”(x)>0,/?")單調(diào)遞增.

22

所以，h(x)=//-|=l-2+ln2<0.

\/mm2J

因?yàn)??(e-2)=2e-2>0,刈2)=2-山2>0,2s(；,+oo

所以在（°，；）和（g，+8）上，即/'（'）各有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)/‘“）在（0,§和（；，+8）上的零點(diǎn)分別為5,%因?yàn)閞（x）在（o，；）上單調(diào)減,

所以當(dāng)0＜x＜.”時(shí)，r（x）＞0,/（x）單調(diào)增；當(dāng)天＜]＜；時(shí)，ff（x）＜0,/（x）

單調(diào)減.因此，為是f（x）的極大值點(diǎn).

因?yàn)?，尸（刈在傳?oo]上單調(diào)增，所以當(dāng);＜/＜天時(shí)，/（工）＜0,/（“單調(diào)減，

12J2

時(shí)