第08講平面向量基本定理及坐標表示（原卷版）-2022年高一數(shù)學寒假課（人教A版2019）

第08講平面向量基本定理及坐標表示【學習目標】掌握平面向量基本定理。學會用平面向量的坐標表示，體會其幾何意義?！净A(chǔ)知識】平面向量基本定理定義：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．平面向量的正交分解及坐標表示(1)在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，a為坐標平面內(nèi)的任意向量，以坐標原點O為起點作eq\o(OP,\s\up6(→))＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.我們把實數(shù)對(x，y)叫作向量a的坐標．記作a＝(x，y)．(2)設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(x，y)就是終點A的坐標，即若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，則A點坐標為(x，y)，反之亦成立．(O為坐標原點)平面向量坐標運算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).注意：向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b共線．平面向量數(shù)量積的坐標運算設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(3)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))；(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.注意：（1）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則|a|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(平面內(nèi)兩點間的距離公式)．（2）直線l的方向向量給定斜率為k的直線l，則向量m＝(1，k)與直線l共線，我們把與直線l共線的向量m稱為直線l的方向向量．【考點剖析】考點一：平面向量基本定理例1．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：

由題意知P，B，C三點共線，則存在實數(shù)使，所以，即，又因為，所以，即且因此，所以當時，xy取得最大值；當或時，xy取得最小值，所以xy的取值范圍為故選考點二：平面向量正交分解及坐標表示例2．與向量平行的單位向量是A. B.

C.或 D.或【答案】C【解析】解：

與向量平行的單位向量為

故選：考點三：平面向量加減運算的坐標表示例3．

在下列向量組中，可以把向量表示出來的是A. B.

C. D.【答案】BD【解析】解：根據(jù)，

選項A：，則，，無解，故選項A不能；

選項B：，則，，解得，，，故選項B能；

選項C：，則，，無解，故選項C不能；

選項D：，則，，解得，，，故選項D能．

故選

考點四：平面向量數(shù)乘運算的坐標表示例4．已知向量，，，若，則實數(shù)A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】解：向量，，

，

，，

，

解得

故選：

考點五：平面向量數(shù)量積的坐標表示例5．已知向量，，，若，則的最小值為A. B. C. D.【答案】C【解析】解：向量，，，

，

所以，

則，

則當時，的最小值為，

故選【真題演練】如圖所示，平面內(nèi)有三個向量，，，與夾角為，與夾角為，且，，若，則

A.1 B. C. D.6已知點，，向量，則向量A. B. C. D.如果用，分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且，，則可以表示為A. B. C. D.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是A. B.與可以作為一組基底

C. D.與方向相反已知平行四邊形的三個頂點，，，則第四個頂點的坐標可能是A. B. C. D.若向量，，則與共線的向量可以是A. B. C. D.已知向量，，且，則A. B. C.6 D.8已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小值是A. B. C. D.【過關(guān)檢測】如圖，在的邊AB、AC上分別取點M、N，使，BN與CM交于點P，若，，則的值為A. B. C. D.6如圖，在平行四邊形ABCD中，分別為線段的中點，，則

A. B.

C. D.已知，，若，則點D的坐標為A. B. C. D.已知，則下列說法不正確的是A.A點的坐標是

B.B點的坐標是

C.當B是原點時，A點的坐標是

D.當A是原點時，B點的坐標是已知在平面直角坐標系中，點，當P是線段的一個三等分點時，點P的坐標為A. B. C. D.已知，

求的坐標；

當k為何實數(shù)時，k與平行，平行時它們是同向還是反向？已知平面向量，，且，則_