安徽省合肥市第五十五中學2024-2025學年上學期九年級期中數(shù)學試題

/2025學年度第一學期九年級期中考試數(shù)學試卷溫馨提示：親愛的同學，你拿到的試卷共八大題，滿分150分，時間120分鐘．希望你仔細審題，認真作答，遇到困難時請不要輕易放棄，相信你一定會取得好成績．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分共40分）1.拋物線y＝4(2x﹣3)2+3的頂點坐標是（）A.(，3) B.(4，3) C.(3，3) D.(﹣3，3)2.拋物線y=2(x+4)2-3的對稱軸是()A.直線x=4 B.直線x=－4 C.直線x=3 D.直線x=－33.下列四條線段中，不是成比例線段的是（）A. B.C. D.4.將拋物線先向上平移2個單位，再向左平移1個單位，則平移后所得拋物線表達式為（）A. B. C. D.5.如果當時，反比例函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（）A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限6.如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）A. B. C. D.7.如圖，在三角形紙片ABC中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（）A. B.C D.8.如圖，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）圖象交于點，，與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點，連接．若四邊形的面積為6，則（）A.6 B. C.3 D.9.如圖，在矩形中，，動點M自點A出發(fā)沿方向以每秒的速度向點B運動，同時動點N自點A出發(fā)沿折線以每秒的速度運動，到達點B時運動同時停止．設的面積為，運動時間為x（秒），則下列圖象中能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.10.如圖，將矩形紙片折疊，折痕為，點，分別在邊AD，上，點，的對應點分別為，且點在矩形內(nèi)部，的延長線交與點，交邊于點．，，當點為三等分點時，的長為（）A. B.4或 C. D.4或二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分共20分）11.拋物線與x軸有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是______．12.校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”．如圖，點P為AB的黃金分割點（），如果AB的長度為，那么的長度為_________．13.如圖，是正方形邊上一點，且，是的中點，則________．14.如圖，已知反比例函數(shù)，在第一象限的圖象，過上任意一點A，作x軸的平行線交于點B，交y軸于點C，過點A作x軸的垂線交于點D，交x軸于點E，連接，則：①的面積為______；②______．-三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分共16分）15.已知拋物線的頂點坐標是，且過點，求拋物線的解析式．16.已知，且，求的值．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分共16分）17.某化工材料經(jīng)售公司購進了一種化工原料，進貨價格為每千克30元．物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價每千克70元時日均銷售；單價每千克降低一元，日均多售．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按一天計算）．（1）如果日均獲利1950元，求銷售單價；（2）銷售單價為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少．18.觀察與發(fā)現(xiàn)：如圖：小明將一個邊長為的正方形紙片折疊，使得點D落在邊上的點E處（不與A，B重合），折痕交于點F，交于點H，點C落在Q處，與交于點G，（1）小明認，你同意嗎？請說明理由．（2）實踐與探究：在上圖中，當時，請你計算的周長．五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分共20分）19.如圖，直線，與反比例函數(shù)的圖象交于點A與點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求不等式的解集20.如圖，P是的邊的延長線上任意一點，分別交和于點M和N．（1）若，求的值；（2）求證：．六、解答題（本大題共2小題，每小題12分，滿分共24分）21.近年來我國無人機設備發(fā)展迅猛，新型號無人機不斷面世，科研單位為保障無人機設備能安全投產(chǎn)，現(xiàn)針對某種型號的無人機的降落情況進行測試，若該型號無人機在跑道起點處著陸后滑行的距離（單位：）與滑行時間（單位：）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若跑道長度為，請通過計算說明是否夠此無人機著陸；（3）當跑道長度足夠時，請求出無人機著陸后最后兩秒滑行的距離．22.（1）如圖1，和均等腰直角三角形，，連接，，則_______（2）如圖2，正方形的邊長為，為邊上一動點，以為斜邊在正方形內(nèi)部作等腰直角三角形，，連接，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖3，連接，求面積的最大值．七、解答題（本大題共14分）23.如圖，平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點A?4,0，，交軸于點C0,6，在軸上有一點，連接．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為以為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標即可；若不存在，請說明理由．

2024/2025學年度第一學期九年級期中考試數(shù)學試卷溫馨提示：親愛的同學，你拿到的試卷共八大題，滿分150分，時間120分鐘．希望你仔細審題，認真作答，遇到困難時請不要輕易放棄，相信你一定會取得好成績．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分共40分）1.拋物線y＝4(2x﹣3)2+3的頂點坐標是（）A.(，3) B.(4，3) C.(3，3) D.(﹣3，3)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頂點式的頂點坐標為求解即可【詳解】解：拋物線的頂點坐標是故選A【點睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式的頂點坐標為，掌握頂點式求頂點坐標是解題的關(guān)鍵．2.拋物線y=2(x+4)2-3的對稱軸是()A.直線x=4 B.直線x=－4 C.直線x=3 D.直線x=－3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)y=a（x-h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h即可得解．【詳解】解：∵拋物線的頂點式方程為y=a（x-h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h，∴拋物線y=2（x+4）2-3的對稱軸是x=-4；故選B．【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，熟練掌握y=a（x-h）2+k的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.下列四條線段中，不是成比例線段的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查線段成比例的知識，可以根據(jù)定義判定，也可以計算最大最小數(shù)的積以及中間兩個數(shù)的積，判斷是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．【詳解】解：A、，，，故四條線段是成比例線段，不符合題意；B、，，，故四條線段是成比例線段，不符合題意；C、，，，故四條線段不是成比例線段，符合題意；D、，，，故四條線段是成比例線段，不符合題意．故選：C．4.將拋物線先向上平移2個單位，再向左平移1個單位，則平移后所得拋物線表達式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移變換，解題的關(guān)鍵是：直接利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進而得出平移后的解析式．【詳解】解：將拋物線先向上平移2個單位，再向左平移1個單位，平移后的拋物線的解析式為：，即．故選：B．5.如果當時，反比例函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（）A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限【答案】B【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)：與y軸交于，當時，在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當時，在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．①的圖象在一、二、三象限；②的圖象在一、三、四象限；③的圖象在一、二、四象限；④的圖象在二、三、四象限．反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；當，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．由反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷k的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限．【詳解】解：由題意得：，，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選：B．6.如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對相等的角是確定其他條件的關(guān)鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法．【詳解】解：，，A．添加，可用兩角法判定，故本選項錯誤；B．添加，可用兩角法判定，故本選項錯誤；C．添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項錯誤；D．添加，不能判定，故本選項正確；故選：D．7.如圖，在三角形紙片ABC中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定分別進行判斷即可得出答案即可．【詳解】解：在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．A．因為，對應邊，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；B．因為，對應邊，又∠A＝∠A，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項正確；C．因為，對應邊，即：，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；D、因為，對應邊，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等切夾角相等的兩三角形相似是解題關(guān)鍵．8.如圖，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點，，與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點，連接．若四邊形的面積為6，則（）A.6 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵、的圖象均在第一象限，∴，，∵點，均在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴，故選：B．9.如圖，在矩形中，，動點M自點A出發(fā)沿方向以每秒的速度向點B運動，同時動點N自點A出發(fā)沿折線以每秒的速度運動，到達點B時運動同時停止．設的面積為，運動時間為x（秒），則下列圖象中能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查動點問題的函數(shù)圖象問題；根據(jù)自變量不同的取值范圍得到相應的函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，分三段（，，）分別求解與的解析式，從而求解．【詳解】解：當時，分別在線段上，此時，，，為二次函數(shù)，圖象為開口向上的拋物線；當時，分別在線段上，此時，底邊上的高為，，為一次函數(shù)，圖象為直線；當時，分別在線段上，此時，底邊上高為，，為二次函數(shù)，圖象為開口向下的拋物線；結(jié)合選項，只有A選項符合題意，故選：A．10.如圖，將矩形紙片折疊，折痕為，點，分別在邊AD，上，點，對應點分別為，且點在矩形內(nèi)部，的延長線交與點，交邊于點．，，當點為三等分點時，的長為（）A. B.4或 C. D.4或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點為三等分點，分兩種情況分別計算，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，得到，證明，求出的長，過點作于點，則，設根據(jù)勾股定理列方程求出即可．【詳解】解：當時，，將矩形紙片折疊，折痕，，，，，，，，，，，，，，，過點作于點，如圖，則四邊形為矩形，∴，，設，則，∵，，∵，，，，解得：；當時，，，，，，，，，，解得：，．故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟悉上述知識點的性質(zhì)和分類討論思想的應用．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分共20分）11.拋物線與x軸有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】且##且【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸有兩個交點的問題，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式求參數(shù)的取值范圍．直接利用根的判別式列不等式解答，再結(jié)合，即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴，又∵，∴k的取值范圍是且；故答案為：且．12.校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”．如圖，點P為AB的黃金分割點（），如果AB的長度為，那么的長度為_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割比為，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點，，∴，∵AB長度為，∴，∴，故答案為：．13.如圖，是正方形邊上一點，且，是的中點，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形對應角相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，本題中求證是解題的關(guān)鍵．根據(jù)和是的中點，可以求得，即可求證，所以根據(jù)該相似三角形的對應邊成比例得到．【詳解】解：在正方形中，，，是的中點，，又，，，即．故答案為：．14.如圖，已知反比例函數(shù)，在第一象限的圖象，過上任意一點A，作x軸的平行線交于點B，交y軸于點C，過點A作x軸的垂線交于點D，交x軸于點E，連接，則：①的面積為______；②______．-【答案】①.②.【解析】【分析】設點，可得，進而可求的坐標，根據(jù)即可求解；②證即可求解．【詳解】解：①設點由題意得：∵均為圖象上的點∴∴②由①得：∴故答案為：①②【點睛】本題考查了反比例函數(shù)得性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)反比例函數(shù)的解析式設點是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分共16分）15.已知拋物線的頂點坐標是，且過點，求拋物線的解析式．【答案】【解析】【分析】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設拋物線的解析式為，根據(jù)頂點坐標得到．把代入解析式求出a的值，即可得到拋物線的解析式．【詳解】解：設拋物線的解析式為．∵拋物線的頂點坐標是，∴．把代入得，，解得，∴拋物線的解析式為．16.已知，且，求的值．【答案】22【解析】【分析】設，，，確定，計算即可，本題考查了比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解:∵，∴設，，，∵，∴，解得，∴，，，∴．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分共16分）17.某化工材料經(jīng)售公司購進了一種化工原料，進貨價格為每千克30元．物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價每千克70元時日均銷售；單價每千克降低一元，日均多售．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按一天計算）．（1）如果日均獲利1950元，求銷售單價；（2）銷售單價為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少．【答案】（1）65；（2）當單價為65時，日獲利最大，最大利潤為1950元．【解析】【分析】（1）若銷售單價為x元，則每千克降低（70-x）元，日均多銷售出2（70-x）千克，日均銷售量為[60+2（70-x）]千克，每千克獲利（x-30）元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：每千克利潤×銷售量-500元=總利潤，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可；（2）運用配方法配成頂點式，得頂點坐標，結(jié)合x的取值范圍即可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）設銷售單價為x元，由題意得：（x-30）[60+2（70-x）]-500=1950，解得：x1=x2=65，∵銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，∴x=65符合題意，答：銷售單價為65元時，日均獲利為1950元；（2）設銷售單價為x元，可獲得利潤為y，由題意得：y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70），∴y=-2x2+260x-6500可化為y=-2（x-65）2+1950的形式，∴頂點坐標為（65，1950），∵30＜65＜70，當單價定為65元時，日均獲利最大，最大利潤為1950元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出日均銷售量，以及每千克的利潤．18.觀察與發(fā)現(xiàn)：如圖：小明將一個邊長為的正方形紙片折疊，使得點D落在邊上的點E處（不與A，B重合），折痕交于點F，交于點H，點C落在Q處，與交于點G，（1）小明認為，你同意嗎？請說明理由．（2）實踐與探究：在上圖中，當時，請你計算的周長．【答案】（1）同意，理由見解析（2）的周長為．【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)角之間的關(guān)系通過等量代換可得；結(jié)合，利用相似三角形的判定定理即可解答；（2）設，則，由勾股定理求出的長；接下來利用相似三角形的性質(zhì)求出和的長度，然后利用周長的計算公式計算即可．【小問1詳解】解：同意．理由如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得．∵，∴．∵，∴；【小問2詳解】解：設，則，∴，∴，即，．∵，∴，即，∴，∴的周長為．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分共20分）19.如圖，直線，與反比例函數(shù)的圖象交于點A與點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的交點問題，能用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．．（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得m值，進而利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出點A的坐標，再根據(jù)圖象，找到一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方部分點的橫坐標的取值范圍即可求解．【小問1詳解】解：，在一次函數(shù)的圖象上，∴，，在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的表達式為；【小問2詳解】解：聯(lián)立，解得：或∴觀察圖象，當或時，一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方，∴不等式的解集是或．20.如圖，P是的邊的延長線上任意一點，分別交和于點M和N．（1）若，求的值；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)：（1）由平行四邊形對角相等且平行得到，，則可證明，再證明，即可得到；（2）通過證明，，可得，據(jù)此即可得結(jié)論．【小問1詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】證明：∵在中，，，，，，∵在中，，，，，，，．六、解答題（本大題共2小題，每小題12分，滿分共24分）21.近年來我國無人機設備發(fā)展迅猛，新型號無人機不斷面世，科研單位為保障無人機設備能安全投產(chǎn)，現(xiàn)針對某種型號的無人機的降落情況進行測試，若該型號無人機在跑道起點處著陸后滑行的距離（單位：）與滑行時間（單位：）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若跑道長度為，請通過計算說明是否夠此無人機著陸；（3）當跑道長度足夠時，請求出無人機著陸后最后兩秒滑行的距離．【答案】（1）（2）跑道長度不夠無人機降落（3）無人機著陸后最后兩秒滑行的距離為【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出最值，與進行比較，判斷即可；（3）求出時的函數(shù)值，進行計算即可．【小問1詳解】解：∵函數(shù)圖象過點，∴設函數(shù)解析式為，把代入，得：，解得：，∴；【小問2詳解】解：∵，∴當時，有最大值為，∵，∴跑道長度不夠無人機降落；【小問3詳解】解：∵，有最大值為，此時無人機停止，∴當時，，∵，∴無人機著陸后最后兩秒滑行的距離為．22.（1）如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，則_______