立體幾何中的探索性問題問題（原卷版）

立體幾何中的探索性問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)一．立體幾何中的探索性問題(1)解決探索性問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論成立或?qū)ο蟠嬖?，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，則說明假設(shè)成立，即存在，并可進一步證明；否則不成立，即不存在．(2)在棱上探尋一點滿足各種條件時，要明確思路，設(shè)點坐標，應(yīng)用共線向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求點坐標用λ表示，再根據(jù)條件代入，注意λ的范圍．(3)利用空間向量的坐標運算，可將空間中的探索性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題進行處理．二．立體幾何中的探索性問題答題思路母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】（2021·全國高考真題（理））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【例2】（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在直三棱柱中，，，點為棱的中點，點為線段上一動點.（Ⅰ）求證：當點為線段的中點時，平面；（Ⅱ）設(shè)，試問：是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個實數(shù)；若不存在，請說明理由.方法總結(jié)方法總結(jié)利用空間向量巧解探索性問題的策略(1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題,它無須進行復(fù)雜的作圖、論證、推理,只需通過坐標運算進行判斷.(2)解題時,把要成立的結(jié)論當作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題,所以為使問題的解決更簡單、有效,應(yīng)善于運用這一方法解題.[提醒]探索線段上是否存在點時,注意三點共線條件的應(yīng)用.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知四棱錐中，平面，，，，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在一點M，使得平面？若存在，請指出點M的位置；若不存在，請說明理由．2．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐中，底面為矩形且垂直于側(cè)面，為的中點，，．(1)證明：平面；(2)側(cè)棱上是否存在點E，使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．3．（2023·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，側(cè)面是等腰三角形，.(1)求證：；(2)若側(cè)面底面，側(cè)棱與底面所成角的正切值為，為側(cè)棱上的動點，且.是否存在實數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出實數(shù)若不存在，請說明理由.4．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分別是線段AB，PC的中點．(1)求證：MN平面PAD；(2)在線段CD上是否存在一點Q，使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．(1)求證：面面ABCD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．6．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點.(1)求四面體的體積；(2)是否存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為？若存在，請描述點的位置；若不存在，請說明理由.7．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點，．(1)求證：平面PBC；(2)在棱PC上是否存在一點G，使平面EDF？若存在，指出點G的位置；若不存在，說明理由．8．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，為線段上一點.(1)求證：；(2)在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.9．（2023·山西·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.(1)求到平面的距離；(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.10．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一