2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(二)(其次章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.下列量不是向量的是 ()A.位移 B.速度 C.功 D.力【解析】選C.位移、速度、力都是矢量,也是向量,而功只有大小,沒有方向,不是向量.2.若a+b+c=0,則a,b,c()A.都是非零向量時(shí)也可能無法構(gòu)成一個(gè)三角形B.肯定不行能構(gòu)成三角形C.都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形D.肯定可構(gòu)成三角形【解析】選A.當(dāng)a,b,c為非零向量且不共線時(shí)可構(gòu)成三角形,而當(dāng)a,b,c為非零向量且共線時(shí)不能構(gòu)成三角形.【誤區(qū)警示】解答本題往往會(huì)忽視非零向量共線的狀況而錯(cuò)誤地選擇C答案.3.(2024·楊浦區(qū)高一檢測(cè))設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+= ()A. B.QUOTE C. D.QUOTE【解析】選A.+=QUOTE(+)+QUOTE(+)=QUOTE(+)=.4.設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且=,=2,=2,則++與()A.反向平行 B.同向平行C.相互垂直 D.既不平行也不垂直【解析】選A.++=++++-=+QUOTE+-QUOTE-QUOTE-=QUOTE(-)+QUOTE=QUOTE+QUOTE=-QUOTE.5.△ABC中,已知A=90°,=(k,6),=(-2,3),則k的值是 ()A.-4 B.-3 C.4 D.9【解析】選D.因?yàn)椤鰽BC中,A=90°,所以⊥,所以·=0.因?yàn)?(k,6),=(-2,3),所以-2k+18=0,解得k=9.6.(2024·太原高一檢測(cè))已知非零向量a,b不共線,實(shí)數(shù)x,y滿意(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y的值為 ()A.3 B.-3 C.0 D.2【解析】選A.由原式可得QUOTE解得QUOTE所以x-y=3.7.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=QUOTE,則向量a與b的夾角為 ()A.30° B.45° C.60° D.以上都不對(duì)【解析】選C.因?yàn)閍+b+c=0,所以c=-(a+b),所以c2=(a+b)2,即|c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>,所以19=4+9+12cos<a,b>,所以cos<a,b>=QUOTE.又因?yàn)?°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=60°.8.設(shè)向量a,b滿意:|a|=3,|b|=4,a·b=0,以a,b,a-b的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選B.對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置正好是三角形的內(nèi)切圓,此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn),對(duì)于圓的位置稍右移或其他的改變,能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的狀況,但4個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn).9.在△ABC中,AB邊上的高為CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則= ()A.QUOTEa-QUOTEb B.QUOTEa-QUOTEbC.QUOTEa-QUOTEb D.QUOTEa-QUOTEb【解析】選D.因?yàn)閍·b=0,所以⊥.所以AB=QUOTE=QUOTE.又因?yàn)镃D⊥AB,所以△ACD∽△ABC.所以QUOTE=QUOTE.所以AD=QUOTE=QUOTE.所以=QUOTE=QUOTE(-)=QUOTE(a-b)=QUOTEa-QUOTEb.10.在矩形ABCD中,=QUOTE,=QUOTE,設(shè)=(a,0),=(0,b),當(dāng)⊥時(shí),QUOTE的值為 ()A.3 B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.如圖,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.=+=-+QUOTE=(0,-b)+QUOTE=QUOTE,因?yàn)椤?所以QUOTE-QUOTE=0,所以QUOTE=QUOTE.11.在△ABC中,已知向量與滿意·=0,且=QUOTE,則△ABC是()A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形【解析】選A.因?yàn)榉橇阆蛄颗c滿意·=0,所以∠BAC的平分線垂直于BC,所以AB=AC.又cos∠BAC==QUOTE,所以∠BAC=60°,所以△ABC為等邊三角形.12.如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則·的最小值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】選A.如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,連接AC,由題意知,∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,則D(0,0),A(1,0),B(QUOTE,QUOTE),C(0,QUOTE).設(shè)E(0,y)(0≤y≤QUOTE),則=(-1,y),=(-QUOTE,y-QUOTE),所以·=QUOTE+y2-QUOTEy=QUOTE+QUOTE,所以當(dāng)y=QUOTE時(shí),·有最小值QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,半圓的直徑AB=4,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的隨意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn),則·的最小值是()A.2B.0C.-1D.-2【解析】選D.由平行四邊形法則得+=2,故(+)·=2·,又||=2-||,且,反向,設(shè)||=t(0≤t≤2),則(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].因?yàn)?≤t≤2,所以當(dāng)t=1時(shí)(+)·有最小值,最小值為-2.二、填空題(每小題5分,共20分)13.已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),則合力F=F1+F2+F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是.

【解析】因?yàn)镕=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)+(1,1)=(9,1).答案:(9,1)14.(2024·全國Ⅰ卷)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=.

【解析】因?yàn)閍,b為單位向量,所以QUOTE=QUOTE=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1,解得:2a·b=-1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.(2024·襄陽高一檢測(cè))如圖所示,在菱形ABCD中,AB=QUOTE,AC=2BD,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),則·=.

【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,所以分別以AC,BD所在直線為x,y軸,建立如圖平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳C=2BD,所以設(shè)A(-2x,0),B(0,-x),C(2x,0),D(0,x),x>0,且AB=QUOTE,所以4x2+x2=5,解得x=1,所以A(-2,0),C(2,0),D(0,1),且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),所以EQUOTE,所以=(4,0),=QUOTE所以·=12.答案:1216.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,若向量a,b滿意=2a,=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是.(寫出全部正確結(jié)論的編號(hào))

①a為單位向量;②b為單位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.【解析】因?yàn)?4|a|2=4,所以|a|=1,故①正確;因?yàn)?-=(2a+b)-2a=b,且△ABC為等邊三角形,所以||=|b|=2,故②錯(cuò)誤;因?yàn)閎=-,所以a·b=QUOTE·(-)=QUOTE×2×2×cos60°-QUOTE×2×2=-1≠0,故③錯(cuò)誤;因?yàn)?b,故④正確;因?yàn)?4a+b)·b=(+)·(-)=-=4-4=0,所以(4a+b)⊥,故⑤正確.答案:①④⑤三、解答題(共70分)17.(10分)在平行四邊形ABCD中,=a,=b,(1)如圖①,假如E,F分別是BC,DC的中點(diǎn),試用a,b分別表示,.(2)如圖②,假如O是AC與BD的交點(diǎn),G是DO的中點(diǎn),試用a,b表示.【解析】(1)=+=+QUOTE=-QUOTE=-QUOTEa+b.=+=-QUOTE=a-QUOTEb.(2)=-=b-a.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn),G是DO的中點(diǎn),所以=QUOTE=QUOTE(b-a),所以=+=a+QUOTE(b-a)=QUOTEa+QUOTEb.18.(12分)(2024·三明高一檢測(cè))已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c.(1)求3a+b-3c.(2)求滿意a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n.【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)因?yàn)閙b+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,所以QUOTE解得QUOTE19.(12分)已知e1,e2是平面上的一組基底,a=e1+λe2,b=-2λe1-e2.(1)若a與b共線,求λ的值.(2)若e1,e2是夾角為60°的單位向量,當(dāng)λ≥0時(shí),求a·b的最大值.【解析】(1)因?yàn)閍∥b,所以存在實(shí)數(shù)μ,使得b=μa.所以QUOTE解得λ=±QUOTE.(2)因?yàn)閑1,e2是夾角為60°的單位向量,所以e1·e2=QUOTE.所以a·b=(e1+λe2)·(-2λe1-e2)=-λ2-3λ-QUOTE.在λ∈[0,+∞)上是減函數(shù),所以λ=0時(shí),a·b取最大值-QUOTE.20.(12分)已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中a=(1,2).(1)若|b|=2QUOTE,且a∥b,求b的坐標(biāo).(2)若|c|=QUOTE,且2a+c與4a-3c垂直,求a與c的夾角θ.【解析】(1)設(shè)b=(x,y),因?yàn)閍∥b,所以y=2x.①又因?yàn)閨b|=2QUOTE,所以x2+y2=20.②由①②聯(lián)立解得x1=2,y1=4,x2=-2,y2=-4.所以b=(2,4)或b=(-2,-4).(2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c即(2a+c)·(4a-3c)=8a2-3c2-2a又|a|=QUOTE,|c|=QUOTE,解得a·c=5,所以cosθ=QUOTE=QUOTE.因?yàn)棣取蔥0,π],所以a與c的夾角θ=QUOTE.21.(12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,|AB|=3,|BC|=2,e1=,e2=,與的夾角為QUOTE.(1)若=xe1+ye2,求x,y的值.(2)求·的值.(3)求與的夾角的余弦值.【解析】(1)因?yàn)閑1=,e2=,|AB|=3,|BC|=2,所以=+=3e1+2e2=xe1+ye2,所以x=3,y=2.(2)由向量的運(yùn)算法則知,=-=2e2-3e1,所以·=(2e2+3e1)·QUOTE=4QUOTE-9QUOTE=-5.(3)因?yàn)榕c的夾角為QUOTE,所以e1與e2的夾角為QUOTE,又|e1|=|e2|=1,所以||=|+|=|2e2+3e1|=QUOTE=QUOTE,所以||=|-|=|2e2-3e1|=QUOTE=QUOTE.設(shè)與的夾角為θ,可得cosθ==QUOTE=-QUOTE,所以與的夾角的余弦值為-QUOTE.22.(12分)已知四邊形ABCD,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若∥,求y=f(x)的解析式.(2)在(1)的條件下,若⊥,求x,y的值以及四邊形ABCD的面積.【解析】(1)=-(++)=(-x-4,2-y),因?yàn)椤?所以x(2-y)-(-x-4)y=0,整理得x+2y=0,所以y=-QUOTEx.(2)因?yàn)?+=(x+6